Source Latex
de la correction du devoir
\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[french]{babel}
%\selectlanguage{francais}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt} % default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt} % default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in} % default=0.35in
\setlength{\parskip}{0ex}
\setlength{\parindent}{0mm}
\voffset=-1cm
\textheight=26.4cm
\textwidth=18.8cm
\topmargin=0cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-.8cm
\usepackage{ifthen}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
{\pagestyle{empty}}%
{%
\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}
\vspace*{-1cm}
\ct{\bf\LARGE{Correction du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\textbf{Partie I} \\
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item On obtient l'arbre suivant : \\
\hspace*{1cm}
\psset{levelsep=3cm,nodesep=2mm}
\pstree[treemode=R,nrot=:U]{{\Tc*{1mm}}}
{\pstree{\Tr{$A$}\naput{$0,2$}}
{\Tr{$B$}\naput{$0,4$} \Tr{$\overline{B}$}\nbput{$0,6$}}
\pstree{\Tr{$\overline{A}$}\nbput{$0,8$}}
{\Tr{$B$}\naput{$0,1$} \Tr{$\overline{B}$}\nbput{$0,9$}}} \\
\item $P_A(\overline{B})=0,6$ et $P_{\overline{A}}(\overline{B})=0,9$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=0,2\times0,4=0,08$.
\item $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)=0,2\times0,4+0,8\times0,1=0,16$.
\item $P(A)\times P(B)=0,2\times 0,16=0,032\not=P(A\cap B)$. Donc, $A$ et $B$ ne sont pas ind�pendants.
\end{enumerate}
\item $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0,08}{0,16}=0,5$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie II}
\begin{enumerate}
\item
%\begin{tabular}[t]{|c|*{4}{C{2}|}}
\begin{tabular}{|c|*{4}{p{1cm}|}}
\hline
Somme re�ue en euro & $2$ & $10$ & $15$ & $20$ \\
\hline
Probabilit� & $0,72$ & $0,08$ & $0,12$ & $0,08$ \\
\hline
\end{tabular}
\item La moyenne de la somme re�ue par appel correspond � l'esp�rance
math�matique, d'o� : \\
$E=2\times0,72+10\times0,08+15\times0,12+20\times0,08=5,64$. \\
Donc, pour $5000$ lecteurs, le centre d'appel re�evra
$5000\times5,64=28200$ euros.
\end{enumerate}
\enex
\bgex
On note les �v�nements:
$C$: "le 1er chiffre est modifi� (ou erron�)"
$D$: "le 2�me chiffre est modifi� (ou erron�)"
On consid�re que les erreurs de transmission sont des �v�nements ind�pendants,
les �v�nements $C$ et $D$ sont donc ind�pendants, et on a alors
$P_C(D)=P(D)=0,1$
$P_C\lp\overline{D}\rp=P\lp\overline{D}\rp=0,9$,
et de m�me
$P_{\overline{C}}\lp D\rp=P(D)=0,1 $,
et $P_{\overline{C}}\lp \overline{D}\rp=P\lp \overline{D}\rp=0,9$.
On a ainsi l'arbre des probabilit�s:
\[\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1.6)(8,2)
\psline(1.5,-1)(0,0)(1.5,1)
\rput[l](1.6,1){$C$}
\rput[l](0.6,0.92){$0,1$}
\rput[l](1.6,-1){$\overline{C}$}
\rput[l](0.6,-1){$0,9$}
\psline(3.5,0.5)(2,1)(3.5,1.5)
\rput[l](2.6,1.5){$0,1$}
\rput[l](2.6,0.5){$0,9$}
\psline(3.5,0.5)(2,1)(3.5,1.5)
\rput[l](3.5,1.5){$D$}
\rput[l](3.5,.5){$\overline{D}$}
\psline(3.5,-0.5)(2,-1)(3.5,-1.5)
\rput[l](3.5,-.5){$D$}
\rput[l](3.5,-1.5){$\overline{D}$}
\rput[l](2.6,-1.5){$0,9$}
\rput[l](2.6,-0.5){$0,1$}
\end{pspicture}
\]
\begin{enumerate}
\item La probabilit� de l'�v�nement $E_1=C\cap D$ est �gale $0,1\tm0,1=0,01$.
\item Si l'�v�nement $E_2$ est r�alis�, le signal re�u est $10$.
\item La probabilit� de l'�v�nement $E_2=C\cap \overline{D}$
est �gale � $0,1\tm0,9=0,09$.
\item La probabilit� de l'�v�nement $E_3=\overline{C}\cap\overline{D}$
est �gale � $0,9\tm0,9=0,81$.
\item L'�v�nement $E_4$ est le contraire de l'�v�nement
$E_3$:"Aucun des chiffres n'est modifi�".
Ainsi $P\lp E_4\rp=1-P\lp E_3\rp=1-0,81=0,19$.
\end{enumerate}
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
Télécharger le fichier source 
