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Fonctions

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Description

Exercices de mathématiques en BTS: étude de fonction

Niveau

BTS

Mots clé

fonction, étude de fonction, sens de variation, dérivée, limite, BTS

Voir aussi:

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Source Latex du cours de mathématiques

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices mathématiques: Fonctions},
    pdftitle={Algorithmique},
    pdfkeywords={Mathématiques, BTS, 
      exercices, fonction, fonctions, étude de fonction, dérivée}
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\newcommand{\Lim}[2]{\left.\begin{array}{lcr} #1\\ #2 \end{array}\right\}}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
\textheight=26.cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Définition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
  \end{flushright}
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Concernant la mise en page des algo:
\definecolor{grayp}{gray}{0.8}
\definecolor{graypc}{gray}{0.65}
\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.6cm}

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\nwc{\DPI}{\hspace*{2\ProgIndent}}
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\nwc{\Prog}[3]{%
  %\par\vspd%
  \bgmp[t]{#2+0.5cm}%\linewidth}
  \hspace*{-0.3pt}\hspace*{-\parindent}\hspace*{-1ex}%
  \psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=graypc]{
    \emph{\textcolor{white}{\!\!#1}}} \\
  \vspace*{-0.5ex}\\
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  %\setlength{\fboxrule}{0.1pt}
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  \pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=grayp]%
  (-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)(\plgng,0)%
  (\plgng,\phgtqg)(\plgtqg,-\phgng)(-0.5ex,-\phgng)
  \pspolygon[linewidth=0.6pt,linecolor=graypc,fillstyle=solid,fillcolor=graypc]%
  (\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white]%
  (-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)%
  (\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
  \par
  \bgmp{\linewidth}#3\enmp
  \enmp
  \enmp
  \vspd
}

% et pour les progs casio:
\nwc{\return}{
  \psset{unit=1cm,arrowsize=4pt}
  \psline{<-}(0,0.1)(0.3,0.1)(0.3,0.25)}
\nwc{\disp}{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0)(0.2,0)(0.2,0.15)}



% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Fonctions - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/BTS/}}
\rfoot{\TITLE\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\psset{arrowsize=6pt}
\vspace*{0cm}

\ct{\LARGE\textcolor{blue}{\TITLE}}

\vspt
\hspace{-0.6cm}{\Large{\bf Courbe représentative d'une fonction}}

\noindent
\bgmp{9.2cm}
\bgex Soit $f$ une fonction dont le tableau de varation est donné
ci-contre. 
%On donne le tableau de variation d'une fonction $f$: 

Tracer, dans un repère orthogonal, l'allure de la courbe
$\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$. 
\enex
\enmp\hfill
\bgmp{8cm}
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ && $-4$ && \quad\,$2$\quad\, && $5$ && $+\infty$ \\\hline
  &$2$&&&&$+\infty$\qquad\,&&$1$&& \\
  $f(x)$&&\psline{->}(-.4,.5)(.4,-.2)&&
  \psline{->}(-.4,-.2)(.4,.5)&
  \psline(-0.05,.8)(-0.05,-.6)\psline(.05,.8)(.05,-.6)&
  \psline{->}(-.4,-.2)(.4,.5)&&
  \psline{->}(-.4,.5)(.4,-.2)& \\
  &&&$-3$&&\qquad\,$-\infty$&&&&$-5$ \\\hline
\end{tabular}
\]
\enmp

%\enex

\noindent
\bgmp{8cm}
\bgex
On donne ci-contre le tableau de variation d'une fonction $g$. 

Tracer, dans un repère orthogonal, l'allure de la courbe
$\mathcal{C}_g$ représentative de la fonction $g$. 
\enex
\enmp\hfill
\bgmp{9cm}
\[
\begin{tabular}{|c|*{9}{c}|}\hline
  $x$ & $-\infty$ && \quad\,$-2$\quad\, && $0$ && \quad\,$4$\quad\,  && $+\infty$ \\\hline
  &$-3$&&&&$1$&&&&$+\infty$ \\
  $g(x)$&&\psline{->}(-.4,.5)(.4,-.2)&
  \psline(-0.05,.8)(-0.05,-.6)\psline(.05,.8)(.05,-.6)&
  \psline{->}(-.4,-.2)(.4,.5)&&
  \psline{->}(-.4,.5)(.4,-.2)&
  \psline(-0.05,.8)(-0.05,-.6)\psline(.05,.8)(.05,-.6)&
  \psline{->}(-.4,-.2)(.4,.5)& \\
  &&&$-\infty$\quad$-\infty$&&&&$-\infty$\quad$-\infty$&& \\\hline
\end{tabular}
\]
\enmp

\newcounter{cpt}
\nwc{\cptp}{\stepcounter{cpt}\thecpt}


\bgex
Pour chacune des fonctions, tracer la courbe représentative
et donner le tableau de signes: 

\vspd\noindent
\cptp)\quad $f(x)=2x+3$ 
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=2x-3$ 
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=-2x+1$ 
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=x^2$
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=x^2-4$

\vspd\noindent
\cptp)\quad $f(x)=x^2-x-2$
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=x^2+x-6$
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=x^3$
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=\dfrac{1}{x}$
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=\ln(x)$

\vspd\noindent
\cptp)\quad $f(x)=e^x$
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=\cos(x)$ 
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=\sin(x)$
\qquad
\cptp)\quad $f(x)=\sin(2\pi x)$

\vspd\noindent
\cptp) $f(x)=
\la\bgar{llr} 
0&\text{si } x<0 \\
1&\text{si } x\geqslant 0 \\
\enar\right.$
\quad
\cptp) $f(x)=
\la\bgar{clrcl} 
0 &\text{si } &&x&<0 \\
1 &\text{si } &0\leqslant &x&<2 \\
-2 &\text{si } &2\leqslant &x&<5 \\
0 &\text{si } &&x&\geqslant 5
\enar\right.$
\quad
\cptp) $f(x)=
\la\bgar{llrcl} 
0 &\text{si } &&x&<0 \\
x &\text{si } &0\leqslant &x&<1 \\
-2x+3 &\text{si } &1\leqslant &x&<3 \\
x-6 &\text{si } &3\leqslant &x&< 6  \\
0 &\text{si } &&x&\geqslant 6
\enar\right.$
\enex

\vspq
\hspace{-0.6cm}{\Large{\bf Logarithme et exponentielle}}

\bgex
Simplifier l'écriture des expressions suivantes: 
\setcounter{cpt}{0}

\vspd\noindent
\cptp) $\ln\lp e^{-1}\rp$
\qquad
\cptp) $\ln\lp e^{12}\rp$
\qquad
\cptp) $\ln\lp \dfrac{1}{3}\rp$
\qquad
\cptp) $\ln\lp \dfrac{1}{e^{3}}\rp$
\qquad
\cptp) $\ln\lp \sqrt{e}\rp$
\qquad
\cptp) $\ln\lp\dfrac{e^{3}}{e^{2}}\rp$

\vspd\noindent
\cptp) $e^{\ln 2}$
\qquad
\cptp) $e^{-\ln 3}$
\qquad
\cptp) $e^{2\ln 3}$
\qquad
\cptp) $e^{-2\ln 3}$
\qquad
\cptp) $e^{\frac12\ln 3}$
\qquad
\cptp) $e^{\ln 3+\ln 5}$
\qquad
\cptp) $e^{x-1}e^{-x+2}$
\enex



\vspq
\hspace{-0.6cm}{\Large{\bf Signe d'une expression algébrique}}

\bgex
Déterminer le signe des expressions suivantes: 

\vspd\noindent
$\bullet\ A(x)=3x-1$ 
\qquad
$\bullet\ B(x)=2x+12$ 
\qquad
$\bullet\ C(x)=x^2-4$ 
\qquad
$\bullet\ D(x)=x^2-7x+12$ 
\qquad
$\bullet\ E(x)=2x^2-3x+1$ 

\vspd\noindent
$\bullet\ F(x)=\ln(x)$
\qquad
$\bullet\ G(x)=2\ln(x)+4$
\qquad
$\bullet\ H(x)=e^x$
\qquad
$\bullet\ I(x)=3e^x-6$
\qquad
$\bullet\ J(x)=(2x+1)(x-3)$

\vspd\noindent
$\bullet\ K(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$
\qquad
$\bullet\ L(x)=(2x-1)(3x+6)(-x+2)$
\qquad
$\bullet\ M(x)=\dfrac{e^x-2}{x+3}$
\qquad
$\bullet\ N(x)=\dfrac{\ln(x)-1}{x^2-9}$
\enex



\vspq
\hspace{-0.6cm}{\Large{\bf Dérivées}}

\bgex
Calculer la dérivée des fonctions suivantes: 
\vspd
\setcounter{cpt}{0}

\noindent
\cptp) $f(x)=3x^2-2$ 
\qquad
\cptp) $f(x)=2x^5-6x^3+3x-2$
\qquad
\cptp) $f(x)=-x^3+\dfrac1x$
\qquad
\cptp) $f(x)=\dfrac32 x^2+\ln x$
\qquad

\vspd\noindent
\cptp) $f(x)=\dfrac{x+1}{x+2}$
\qquad
\cptp) $f(x)=\dfrac{x^2-3}{2x+1}$
\qquad
\cptp) $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$
\qquad
\cptp) $f(x)=xe^x$
\qquad
\cptp) $f(x)=(x^2+2)\ln x$

\vspd\noindent
\cptp) $f(x)=\lp x^2+3\rp^2$
\qquad
\cptp) $f(x)=\lp x^2+3\rp^5$
\qquad
\cptp) $f(x)=e^{3x+2}$
\qquad
\cptp) $f(x)=3xe^{x^2+1}$

\vspd\noindent
\cptp) $f(x)=\cos(2x+1)$
\qquad
\cptp) $f(x)=x\,\sin\lp x^2\rp$
\qquad
\cptp) $f(x)=(2x+1)e^{-2x}$
\qquad
\cptp) $f(x)=\dfrac{2x\ln x}{e^{-5x}+1}$
\enex

\vspq
\hspace{-0.6cm}{\Large{\bf Limites et asymptotes}}

\bgex
Déterminer les limites en $-\infty$ et $+\infty$ de la fonction $f$. 
Interpréter graphiquement le résultat. 
\setcounter{cpt}{0}

\vspd\noindent
\cptp) $f(x)=3x-125$ 
\qquad
\cptp) $f(x)=-3x^2+12$ 
\qquad
\cptp) $f(x)=-3x^2+17x-36$
\qquad
\cptp) $f(x)=x^3-x+1$

\vspd\noindent
\cptp) $f(x)=\dfrac{3x^2+x+1}{x^2-12}$
\qquad
\cptp) $f(t)=\dfrac{t^2+31}{(t+3)(t-3)}$
\qquad
\cptp) $f(t)=e^t$
\qquad
\cptp) $f(t)=\ln(t)$
\quad
\cptp) $f(t)=\dfrac{1}{t}+e^{-t}$

\vspd\noindent
\cptp) $f(x)=\dfrac{150}{1+e^{1-x}}$
\quad
\cptp) $f(x)=xe^x$
\quad
\cptp) $f(x)=\lp x^2+3x-5\rp e^x$
\quad
\cptp) $f(x)=t\ln(t)$
\quad
\cptp) $f(x)=\dfrac{\ln(t)}{t}$

\enex


\bgex
Déterminer les limites, et interpréter graphiquement. 
\setcounter{cpt}{0}

\vspd\noindent
\cptp) $\dsp\lim_{x\to 3} \dfrac{2x^2+1}{\lp x-3\rp^2}$
\qquad
\cptp) $\dsp\lim_{x\to 2} \dfrac{2x-6}{\lp x-2\rp\lp x+2\rp}$
\qquad
\cptp) $\dsp\lim_{x\to -3} \dfrac{x+5}{\lp x^2-9\rp}$
\qquad
\cptp) $\dsp\lim_{x\to -3} \ln(x+3)$
\qquad
\cptp) $\dsp\lim_{x\to 1} e^{\frac{1}{x-1}}$
\enex


\vspq
\hspace{-0.6cm}{\Large{\bf Etude de fonctions}}

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $]-2;+\infty[$ 
par $f(x)=x-2+\dfrac{4}{x+2}$. 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. 

\bgen
\item Calculer $\dsp\lim_{x\to+\infty}\lp f(x)-(x-2)\rp$ 
  et interpréter graphiquement ce résultat. 
\item Calculer $\dsp\lim_{x\to-2} f(x)$ 
  et interpréter graphiquement ce résultat. 
\item Déterminer la dérivée $f'$ de la $f$ et en déduire le tableau de
  variation de $f$. 
\item En utilisant tous les résultats précédents
 (en particulier en traçant les asymptotes), 
  tracer l'allure de~$\mathcal{C}$. 
\enen
\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=4-6te^{-3t}$. 

\bgen
\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. 
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et déterminer son signe. 

  En déduire le tableau de variation de $f$. 
\enen

\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par 
$f(t)=t+1-10e^{-0,5t}$ 
et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. 

\bgen
\item Caculer la dérivée $f'$ de $f$. 
  En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$. 
\item %Déterminer la limite $\dsp\lim_{t\to+\infty}\lp f(t)-(t+1)\rp$. 
  Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote
  oblique $\Delta$ dont on donnera une équation. 
\item Tracer l'allure de $\mathcal{C}$. 
\enen
\enex

\bgex
\bgen
\item On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par  
    $g(x)=x^2-2+2\ln x$. 
    \bgen[a)] 
    \item Déterminer les limites en $0$ et $+\infty$ de $g$. 
    \item Calculer la dérivée $g'$ de $g$ et en déduire le tableau de
      variation de $g$. 
    \item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution
      sur $]0;+\infty[$.     
      On note $\alpha$ cette solution. 

      Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$. 
    \item Donner le signe de $g(x)$ sur $]0;+\infty[$. 
    \enen
\item On considère maintenant la fonction $f$ définie sur
  $]0;+\infty[$ par $f(x)=x+1-2\dfrac{\ln x}{x}$. 
    On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$. 

    \bgen[a)] 
    \item Déterminer la limite en $0$ de $f$ et interpréter
      graphiquement. 
    \item Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote
      oblique $\Delta$ dont on donnera une équation. 
    \item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et montrer que pour tout
      $x>0$, $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$. 

      En déduire le tableau de variation de $f$. 
    \item En utilisant tous les résultats précédents
      tracer l'allure de~$\mathcal{C}$. 
    \enen
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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