Source Latex: Cours de mathématiques, Fonctions
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Fonctions
Exercices de mathématiques en BTS: étude de fonction- Fichier
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- Description
- Exercices de mathématiques en BTS: étude de fonction
- Niveau
- BTS
- Mots clé
- fonction, étude de fonction, sens de variation, dérivée, limite, BTS
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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb} \usepackage[french]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{calc} \usepackage{enumerate} \usepackage{pst-all} \usepackage{multicol} \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Yoann Morel}, pdfsubject={Exercices mathématiques: Fonctions}, pdftitle={Algorithmique}, pdfkeywords={Mathématiques, BTS, exercices, fonction, fonctions, étude de fonction, dérivée} } \hypersetup{ colorlinks = true, linkcolor = black, anchorcolor = red, citecolor = blue, filecolor = red, pagecolor = red, urlcolor = red } \voffset=-1cm % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\ct}{\centerline} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \newcommand{\Lim}[2]{\left.\begin{array}{lcr} #1\\ #2 \end{array}\right\}} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N \def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0 \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R \def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z \renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e} \renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m} \def\epsi{\varepsilon} \def\lbd{\lambda} \def\tht{\theta} \def\Cf{\mathcal{C}_f} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}} \nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcounter{nex}%[section] \setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}} \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \nwc{\limcdt}[4]{ $\dsp \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar} {#3}={#4}$ } \nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ } \headheight=0cm \textheight=26.cm \topmargin=-1.8cm \footskip=0.8cm \textwidth=18cm \oddsidemargin=-1cm \parindent=0.2cm \setlength{\unitlength}{1cm} \newcounter{ntheo} \setcounter{ntheo}{1} \newlength{\ltheo} \nwc{\bgth}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } \newcounter{nprop} \setcounter{nprop}{1} \newlength{\lprop} \nwc{\bgprop}[1]{ \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}} \noindent \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{nprop} } \nwc{\bgcorol}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp } \newcounter{ndef} \setcounter{ndef}{1} \newlength{\ldef} \nwc{\bgdef}[1]{ \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}} \noindent \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } \nwc{\bgproof}[1]{ \vspq\noindent \ul{Démonstration:} #1 \hfill$\square$ } % "Cadre" type Objectifs.... \nwc{\ObjTitle}{Définition\!\!:\ \ } \newlength{\lgObjTitle} \newlength{\hgObj} \newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle} \newcommand{\Obj}[1]{% \begin{flushright}% \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle} \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}} \bgmp{17.1cm} \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp \enmp \end{flushright} } \renewcommand\thesection{\Roman{section}\ -} \renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})} % Concernant la mise en page des algo: \definecolor{grayp}{gray}{0.8} \definecolor{graypc}{gray}{0.65} \newlength{\ProgIndent} \setlength{\ProgIndent}{0.6cm} \nwc{\PI}{\hspace*{\ProgIndent}} \nwc{\DPI}{\hspace*{2\ProgIndent}} \nwc{\TPI}{\hspace*{3\ProgIndent}} \nwc{\QPI}{\hspace*{4\ProgIndent}} \newlength{\lgcoin}\setlength{\lgcoin}{3ex} \newlength{\lgshadow}\setlength{\lgshadow}{0.5ex} \newlength{\phgn}\newlength{\phgnp} \newlength{\phgng} \newlength{\plgn}\newlength{\plgng} \newlength{\phgtq}\newlength{\phgtqg} \newlength{\plgtq}\newlength{\plgtqg} \newlength{\plgcoin}\setlength{\plgcoin}{3ex} \newlength{\plgshadow}\setlength{\plgshadow}{0.5ex} \nwc{\Prog}[3]{% %\par\vspd% \bgmp[t]{#2+0.5cm}%\linewidth} \hspace*{-0.3pt}\hspace*{-\parindent}\hspace*{-1ex}% \psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=graypc]{ \emph{\textcolor{white}{\!\!#1}}} \\ \vspace*{-0.5ex}\\ \bgmp{#2} %\setlength{\fboxrule}{0.1pt} \settototalheight{\phgn}{\phantom{\bgmp{#2}#3\enmp}} \setlength{\phgn}{\phgn-2ex} \setlength{\plgn}{\linewidth} \setlength{\phgtq}{-\phgn}%\addtolength{\hgtq}{-3ex} \setlength{\phgtqg}{\phgtq}\addtolength{\phgtqg}{-\lgshadow} \setlength{\plgng}{\plgn}\addtolength{\plgng}{\lgshadow} \setlength{\plgtq}{\plgn}\addtolength{\plgtq}{-\lgcoin} \setlength{\plgtqg}{\plgtq}\addtolength{\plgtqg}{\lgshadow} \setlength{\phgnp}{\phgn}\addtolength{\phgnp}{\lgcoin} \setlength{\phgng}{\phgnp}\addtolength{\phgng}{\lgshadow} \pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=grayp]% (-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)(\plgng,0)% (\plgng,\phgtqg)(\plgtqg,-\phgng)(-0.5ex,-\phgng) \pspolygon[linewidth=0.6pt,linecolor=graypc,fillstyle=solid,fillcolor=graypc]% (\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white]% (-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)% (\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp) \par \bgmp{\linewidth}#3\enmp \enmp \enmp \vspd } % et pour les progs casio: \nwc{\return}{ \psset{unit=1cm,arrowsize=4pt} \psline{<-}(0,0.1)(0.3,0.1)(0.3,0.25)} \nwc{\disp}{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0)(0.2,0)(0.2,0.15)} % Bandeau en bas de page \newcommand{\TITLE}{Fonctions - Exercices} \author{Y. Morel} \date{} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage{lastpage} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt} \lhead{}\chead{}\rhead{} \lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/BTS/}} \rfoot{\TITLE\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}} \cfoot{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \psset{arrowsize=6pt} \vspace*{0cm} \ct{\LARGE\textcolor{blue}{\TITLE}} \vspt \hspace{-0.6cm}{\Large{\bf Courbe représentative d'une fonction}} \noindent \bgmp{9.2cm} \bgex Soit $f$ une fonction dont le tableau de varation est donné ci-contre. %On donne le tableau de variation d'une fonction $f$: Tracer, dans un repère orthogonal, l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$. \enex \enmp\hfill \bgmp{8cm} \[ \begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-4$ && \quad\,$2$\quad\, && $5$ && $+\infty$ \\\hline &$2$&&&&$+\infty$\qquad\,&&$1$&& \\ $f(x)$&&\psline{->}(-.4,.5)(.4,-.2)&& \psline{->}(-.4,-.2)(.4,.5)& \psline(-0.05,.8)(-0.05,-.6)\psline(.05,.8)(.05,-.6)& \psline{->}(-.4,-.2)(.4,.5)&& \psline{->}(-.4,.5)(.4,-.2)& \\ &&&$-3$&&\qquad\,$-\infty$&&&&$-5$ \\\hline \end{tabular} \] \enmp %\enex \noindent \bgmp{8cm} \bgex On donne ci-contre le tableau de variation d'une fonction $g$. Tracer, dans un repère orthogonal, l'allure de la courbe $\mathcal{C}_g$ représentative de la fonction $g$. \enex \enmp\hfill \bgmp{9cm} \[ \begin{tabular}{|c|*{9}{c}|}\hline $x$ & $-\infty$ && \quad\,$-2$\quad\, && $0$ && \quad\,$4$\quad\, && $+\infty$ \\\hline &$-3$&&&&$1$&&&&$+\infty$ \\ $g(x)$&&\psline{->}(-.4,.5)(.4,-.2)& \psline(-0.05,.8)(-0.05,-.6)\psline(.05,.8)(.05,-.6)& \psline{->}(-.4,-.2)(.4,.5)&& \psline{->}(-.4,.5)(.4,-.2)& \psline(-0.05,.8)(-0.05,-.6)\psline(.05,.8)(.05,-.6)& \psline{->}(-.4,-.2)(.4,.5)& \\ &&&$-\infty$\quad$-\infty$&&&&$-\infty$\quad$-\infty$&& \\\hline \end{tabular} \] \enmp \newcounter{cpt} \nwc{\cptp}{\stepcounter{cpt}\thecpt} \bgex Pour chacune des fonctions, tracer la courbe représentative et donner le tableau de signes: \vspd\noindent \cptp)\quad $f(x)=2x+3$ \qquad \cptp)\quad $f(x)=2x-3$ \qquad \cptp)\quad $f(x)=-2x+1$ \qquad \cptp)\quad $f(x)=x^2$ \qquad \cptp)\quad $f(x)=x^2-4$ \vspd\noindent \cptp)\quad $f(x)=x^2-x-2$ \qquad \cptp)\quad $f(x)=x^2+x-6$ \qquad \cptp)\quad $f(x)=x^3$ \qquad \cptp)\quad $f(x)=\dfrac{1}{x}$ \qquad \cptp)\quad $f(x)=\ln(x)$ \vspd\noindent \cptp)\quad $f(x)=e^x$ \qquad \cptp)\quad $f(x)=\cos(x)$ \qquad \cptp)\quad $f(x)=\sin(x)$ \qquad \cptp)\quad $f(x)=\sin(2\pi x)$ \vspd\noindent \cptp) $f(x)= \la\bgar{llr} 0&\text{si } x<0 \\ 1&\text{si } x\geqslant 0 \\ \enar\right.$ \quad \cptp) $f(x)= \la\bgar{clrcl} 0 &\text{si } &&x&<0 \\ 1 &\text{si } &0\leqslant &x&<2 \\ -2 &\text{si } &2\leqslant &x&<5 \\ 0 &\text{si } &&x&\geqslant 5 \enar\right.$ \quad \cptp) $f(x)= \la\bgar{llrcl} 0 &\text{si } &&x&<0 \\ x &\text{si } &0\leqslant &x&<1 \\ -2x+3 &\text{si } &1\leqslant &x&<3 \\ x-6 &\text{si } &3\leqslant &x&< 6 \\ 0 &\text{si } &&x&\geqslant 6 \enar\right.$ \enex \vspq \hspace{-0.6cm}{\Large{\bf Logarithme et exponentielle}} \bgex Simplifier l'écriture des expressions suivantes: \setcounter{cpt}{0} \vspd\noindent \cptp) $\ln\lp e^{-1}\rp$ \qquad \cptp) $\ln\lp e^{12}\rp$ \qquad \cptp) $\ln\lp \dfrac{1}{3}\rp$ \qquad \cptp) $\ln\lp \dfrac{1}{e^{3}}\rp$ \qquad \cptp) $\ln\lp \sqrt{e}\rp$ \qquad \cptp) $\ln\lp\dfrac{e^{3}}{e^{2}}\rp$ \vspd\noindent \cptp) $e^{\ln 2}$ \qquad \cptp) $e^{-\ln 3}$ \qquad \cptp) $e^{2\ln 3}$ \qquad \cptp) $e^{-2\ln 3}$ \qquad \cptp) $e^{\frac12\ln 3}$ \qquad \cptp) $e^{\ln 3+\ln 5}$ \qquad \cptp) $e^{x-1}e^{-x+2}$ \enex \vspq \hspace{-0.6cm}{\Large{\bf Signe d'une expression algébrique}} \bgex Déterminer le signe des expressions suivantes: \vspd\noindent $\bullet\ A(x)=3x-1$ \qquad $\bullet\ B(x)=2x+12$ \qquad $\bullet\ C(x)=x^2-4$ \qquad $\bullet\ D(x)=x^2-7x+12$ \qquad $\bullet\ E(x)=2x^2-3x+1$ \vspd\noindent $\bullet\ F(x)=\ln(x)$ \qquad $\bullet\ G(x)=2\ln(x)+4$ \qquad $\bullet\ H(x)=e^x$ \qquad $\bullet\ I(x)=3e^x-6$ \qquad $\bullet\ J(x)=(2x+1)(x-3)$ \vspd\noindent $\bullet\ K(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$ \qquad $\bullet\ L(x)=(2x-1)(3x+6)(-x+2)$ \qquad $\bullet\ M(x)=\dfrac{e^x-2}{x+3}$ \qquad $\bullet\ N(x)=\dfrac{\ln(x)-1}{x^2-9}$ \enex \vspq \hspace{-0.6cm}{\Large{\bf Dérivées}} \bgex Calculer la dérivée des fonctions suivantes: \vspd \setcounter{cpt}{0} \noindent \cptp) $f(x)=3x^2-2$ \qquad \cptp) $f(x)=2x^5-6x^3+3x-2$ \qquad \cptp) $f(x)=-x^3+\dfrac1x$ \qquad \cptp) $f(x)=\dfrac32 x^2+\ln x$ \qquad \vspd\noindent \cptp) $f(x)=\dfrac{x+1}{x+2}$ \qquad \cptp) $f(x)=\dfrac{x^2-3}{2x+1}$ \qquad \cptp) $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$ \qquad \cptp) $f(x)=xe^x$ \qquad \cptp) $f(x)=(x^2+2)\ln x$ \vspd\noindent \cptp) $f(x)=\lp x^2+3\rp^2$ \qquad \cptp) $f(x)=\lp x^2+3\rp^5$ \qquad \cptp) $f(x)=e^{3x+2}$ \qquad \cptp) $f(x)=3xe^{x^2+1}$ \vspd\noindent \cptp) $f(x)=\cos(2x+1)$ \qquad \cptp) $f(x)=x\,\sin\lp x^2\rp$ \qquad \cptp) $f(x)=(2x+1)e^{-2x}$ \qquad \cptp) $f(x)=\dfrac{2x\ln x}{e^{-5x}+1}$ \enex \vspq \hspace{-0.6cm}{\Large{\bf Limites et asymptotes}} \bgex Déterminer les limites en $-\infty$ et $+\infty$ de la fonction $f$. Interpréter graphiquement le résultat. \setcounter{cpt}{0} \vspd\noindent \cptp) $f(x)=3x-125$ \qquad \cptp) $f(x)=-3x^2+12$ \qquad \cptp) $f(x)=-3x^2+17x-36$ \qquad \cptp) $f(x)=x^3-x+1$ \vspd\noindent \cptp) $f(x)=\dfrac{3x^2+x+1}{x^2-12}$ \qquad \cptp) $f(t)=\dfrac{t^2+31}{(t+3)(t-3)}$ \qquad \cptp) $f(t)=e^t$ \qquad \cptp) $f(t)=\ln(t)$ \quad \cptp) $f(t)=\dfrac{1}{t}+e^{-t}$ \vspd\noindent \cptp) $f(x)=\dfrac{150}{1+e^{1-x}}$ \quad \cptp) $f(x)=xe^x$ \quad \cptp) $f(x)=\lp x^2+3x-5\rp e^x$ \quad \cptp) $f(x)=t\ln(t)$ \quad \cptp) $f(x)=\dfrac{\ln(t)}{t}$ \enex \bgex Déterminer les limites, et interpréter graphiquement. \setcounter{cpt}{0} \vspd\noindent \cptp) $\dsp\lim_{x\to 3} \dfrac{2x^2+1}{\lp x-3\rp^2}$ \qquad \cptp) $\dsp\lim_{x\to 2} \dfrac{2x-6}{\lp x-2\rp\lp x+2\rp}$ \qquad \cptp) $\dsp\lim_{x\to -3} \dfrac{x+5}{\lp x^2-9\rp}$ \qquad \cptp) $\dsp\lim_{x\to -3} \ln(x+3)$ \qquad \cptp) $\dsp\lim_{x\to 1} e^{\frac{1}{x-1}}$ \enex \vspq \hspace{-0.6cm}{\Large{\bf Etude de fonctions}} \bgex Soit $f$ la fonction définie sur $]-2;+\infty[$ par $f(x)=x-2+\dfrac{4}{x+2}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. \bgen \item Calculer $\dsp\lim_{x\to+\infty}\lp f(x)-(x-2)\rp$ et interpréter graphiquement ce résultat. \item Calculer $\dsp\lim_{x\to-2} f(x)$ et interpréter graphiquement ce résultat. \item Déterminer la dérivée $f'$ de la $f$ et en déduire le tableau de variation de $f$. \item En utilisant tous les résultats précédents (en particulier en traçant les asymptotes), tracer l'allure de~$\mathcal{C}$. \enen \enex \bgex Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=4-6te^{-3t}$. \bgen \item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. \item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et déterminer son signe. En déduire le tableau de variation de $f$. \enen \enex \bgex Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(t)=t+1-10e^{-0,5t}$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. \bgen \item Caculer la dérivée $f'$ de $f$. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$. \item %Déterminer la limite $\dsp\lim_{t\to+\infty}\lp f(t)-(t+1)\rp$. Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote oblique $\Delta$ dont on donnera une équation. \item Tracer l'allure de $\mathcal{C}$. \enen \enex \bgex \bgen \item On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=x^2-2+2\ln x$. \bgen[a)] \item Déterminer les limites en $0$ et $+\infty$ de $g$. \item Calculer la dérivée $g'$ de $g$ et en déduire le tableau de variation de $g$. \item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$. On note $\alpha$ cette solution. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$. \item Donner le signe de $g(x)$ sur $]0;+\infty[$. \enen \item On considère maintenant la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x+1-2\dfrac{\ln x}{x}$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$. \bgen[a)] \item Déterminer la limite en $0$ de $f$ et interpréter graphiquement. \item Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote oblique $\Delta$ dont on donnera une équation. \item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et montrer que pour tout $x>0$, $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$. En déduire le tableau de variation de $f$. \item En utilisant tous les résultats précédents tracer l'allure de~$\mathcal{C}$. \enen \enen \enex \label{LastPage} \end{document}
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Quelques devoirs
Devoir corrigéFonctions, dérivée, limites et tangentes
sur les fonctions, dérivée, étude, limites, courbe représentative
Devoir corrigéFonctions, dérivée et primtive, limites et tangentes
sur les fonctions, dérivée, étude, limites, courbe représentative
Devoir corrigéFonctions, dérivée et primtive, limites et tangentes
sur les fonctions, dérivée, étude, limites, courbe représentative
Devoir corrigéFonctions et équations différentielles
sur les équations différentielles et les fonctions (exponentielle, dérivée, variations, limites)