corrigé en BTS: Nombres complexes et transformations du plan complexe - équation différentielle - Séries de Fourier - Étude de fonction (dérivée, limites)

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Séries de Fourier - Transformée de Laplace et équation différentielle

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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\vphi{\varphi}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

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  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



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  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
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  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
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  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
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  \stepcounter{ntheo}
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\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{D�monstration:} #1 
  \hfill$\square$
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% "Cadre" type Objectifs....
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{S�ries de Fourier - Exercices}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
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\cfoot{\TITLE}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\Large\bf \TITLE}

\vspq

\bgex
Soit $\alpha$ un nombre r�el et $f$ la fonction p�riodique de p�riode
1, d�finie par l'expression  
\[
f(t)=\cos(3\alpha)\cos(2\pi t)+\sin(3\alpha)\sin(2\pi t)
\]

\bgen
\item D�terminer les coefficients de Fourier de $f$. 
\item D�terminer la valeur moyenne de $f$ et sa valeur efficace. 
\enen
\enex


\bgex
Soit $\alpha$ un nombre r�el, $0<\alpha<1$, 
et $\psi$ la fonction impaire et $2\pi$-p�riodique d�finie par  
\[
\psi(t)=\la\bgar{ll}
t & \mbox{ si } 0\leqslant t \leqslant \alpha\pi \\
0 & \mbox{ si } \alpha\pi< t \leqslant \pi 
\enar\right.
\]

\bgen
\item Repr�senter graphiquement la fonction $\psi$ sur 
  $[-2\pi\,;\,4\pi]$. 
\item Ecrire la s�rie de Fourier associ�e � $\psi$. 
\enen
\enex



\bgex
Soit la fonction $\pi$-p�riodique $\vphi$ d�finie par 
\[
\vphi(t)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\cos(2nt)
-\dfrac{5\sqrt{2}}{6}\sin(2nt)+\dfrac{\sqrt{6}}{8}\cos(6nt)
\]

D�terminer la valeur efficace $\vphi_{\text{eff}}$ de $\vphi$. 
\enex


\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $\R$, de p�riode $2\pi$ telle
que: 
\[
f(t)=Ke^{-t}\qquad \mbox{ si}\ t\in[0;2\pi[\,, 
\]
$K$ �tant une constante r�elle positive. 

\bgen
\item On se propose de calculer les int�grales 
  \[
  I=\int_0^{2\pi} e^{-t}\,\cos(nt)\,dt
  \qquad\mbox{ et }\qquad
  J=\int_0^{2\pi} e^{-t}\,\sin(nt)\,dt
  \]
  o� $n$ est un entier strictement positif. 

  \bgen[a.]
  \item {\it Premi�re m�thode} 
    
    En int�grant $I$ par parties, prouver que 
    $I=\dfrac{1}{n}J$. 

    En int�grant $J$ par parties, prouver que 
    $J=\dfrac{1}{n}\lp 1 - e^{-2\pi}\rp-\dfrac{1}{2}I$.

    En d�duire les valeurs de $I$ et $J$. 

    \vspd
    \item {\it Deuxi�me m�thode}

      Prouver que 
      $\dsp\int_0^{2\pi} e^{jnt}e^{-t}\,dt=\dfrac{1-e^{-2\pi}}{1-nj}$, 
      o� $j$ est le nombre complexe de module 1 et d'argument
      $\dfrac{\pi}{2}$. 

      En d�duire les valeurs de $I$ et $J$. 
  \enen

  \item Calculer les coefficients de Fourier de $f$. 

    \vspd
    Dans toute la suite, on suppose que 
    $K=\dfrac{\pi}{1-e^{-2\pi}}$. 
  \item Prouver que, si $t\not= 2k\pi$ ($k\in\Z$), on a: 
    \[
    f(t)=\dfrac{1}{2}
    +\sum_{n=1}^{+\infty}\lp 
    \dfrac{1}{n^2+1}\cos(nt)+\dfrac{n}{n^2+1}\sin(nt)
    \rp
    \]

    Quelle est la somme de la s�rie de Fourier si $t=2k\pi$ ? 

  \item Dessiner le spectre de fr�quence de $f$.
  
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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