Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
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pdfkeywords={Mathématiques, BTS, MI, maintenance industrielle,
fonction, fonctions, étude de fonction, dérivée}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\newcommand{\Lim}[2]{\left.\begin{array}{lcr} #1\\ #2 \end{array}\right\}}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=26.cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm
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\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Définition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
%\renewcommand\thesection{\Roman{section}}
%\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Concernant la mise en page des algo:
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\nwc{\Prog}[3]{%
%\par\vspd%
\bgmp[t]{#2+0.5cm}%\linewidth}
\hspace*{-0.3pt}\hspace*{-\parindent}\hspace*{-1ex}%
\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=graypc]{
\emph{\textcolor{white}{\!\!#1}}} \\
\vspace*{-0.5ex}\\
\bgmp{#2}
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\pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=grayp]%
(-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)(\plgng,0)%
(\plgng,\phgtqg)(\plgtqg,-\phgng)(-0.5ex,-\phgng)
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(-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)%
(\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
\par
\bgmp{\linewidth}#3\enmp
\enmp
\enmp
\vspd
}
% et pour les progs casio:
\nwc{\return}{
\psset{unit=1cm,arrowsize=4pt}
\psline{<-}(0,0.1)(0.3,0.1)(0.3,0.25)}
\nwc{\disp}{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0)(0.2,0)(0.2,0.15)}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Fonctions d'une variable réelle}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/BTS/}}
\rfoot{\TITLE\ - BTS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\psset{arrowsize=6pt}
\vspace*{1.5cm}
\ct{\LARGE\textcolor{blue}{\TITLE}}
\smallskip
\ct{\Large\textcolor{blue}{BTS}}
\vspace*{1.5cm}
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\setlength{\baselinebase}{\baselineskip}
\setlength{\baselineskip}{0.6cm}
\tableofcontents
\setlength{\baselineskip}{\baselinebase}
\setlength{\parskip}{2ex plus 1ex minus 1ex}
\setlength{\parindent}{0cm}
\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Fonctions usuelles}
\vspace{-0.5cm}
\subsection{Fonctions en escalier}
\vspace{-0.8cm}
\bgdef{
Une fonction en escalier est une fonction constante par intervalles.
}
\bgex La fonction définie sur $[-8~;+\infty~[$ par $f(x)=
\left\{\begin{array}{rcl}
-2 & \text{si} & -8 \leq x < -2 \\
6 & \text{si} & -2 \leq x \leq 0 \\
3 & \text{si} & 0 < x < 4 \\
1 & \text{si} & 4 \leq x \\
\end{array}\right.$ \quad est une fonction en escalier.
\vspace{-0.8cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.5}
\begin{pspicture}(-9,-3)(15,7)
\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0](-9,-3)(15,7)
\psaxes[linewidth=1.3pt,Dx=2,Dy=2,arrowsize=7pt]{->}(0,0)(-9.2,-3.2)(15.5,7.5)
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red]{*-[}(-8,-2)(-2,-2)
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=blue]{*-*}(-2,6)(0,6)
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=orange]{]-[}(0,3)(4,3)
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=green]{*-}(4,1)(15.2,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\enex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonctions affines}
\vspace{-0.8cm}
\bgdef{
$a$ et $b$ sont deux réels donnés. La fonction définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ est appelée \underline{fonction affine}. \\
Sa représentation graphique est la droite d'équation $y = ax+b$, où:
\bgit
\item Le réel $a$ est le coefficient directeur de cette droite.
\item Le réel $b$ est l'ordonnée à l'origine.
\enit
}
Une fonction affine est dérivable sur $\R$ de dérivée $f'(x)=a$.
D'où les tableaux de variation suivants :
\bgmp{8cm}
\begin{center}
$a>0$ \\
\vspace{0.1cm}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $-\frac{b}{a}$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe de $f'(x)$ & & & $+$ & & \\
\hline
variations & \psline{->}(1,-0.5)(3.5,0.1) & & & & $+\infty$ \\
de $f$ & $-\infty$ & & & & \\
\hline
signe de $f$ & & $-$ & $0$ & $+$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\enmp\hfill
\bgmp{8cm}
\begin{center}
$a<0$ \\
\vspace{0.1cm}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $-\frac{b}{a}$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe de $f'(x)$ & & & $-$ & & \\
\hline
variations & $+\infty$ \psline{->}(0,0.1)(2.6,-0.3) & & & & \\
de $f$ & & & & & $-\infty$ \\
\hline
signe de $f$ & & $-$ & $0$ & $+$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\enmp
\noindent
\bgmp{11.5cm}
\bgex
Le graphique ci-contre représente les droites d'équation:
\vsp
$d_1:y=x+1$ \\
$d_2:y=2$ \\
$d_3:y=-3x-2$ \\
$d_4:x=-1$ \\
$d_5:y=\dfrac34x-3$ \\
\enex
\enmp\hfill
\bgmp{6cm}%\vspace*{-0.8cm}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0](-4,-4)(4,4)
\psaxes[arrowsize=6pt,labels=none]{->}(0,0)(-4,-4)(4.5,4.5)
\rput(-0.25,-0.25){$0$}
\rput(1,-0.3){$1$}
\rput(-0.3,1){$1$}
\psline[linewidth=0.05,linecolor=red](-4,2)(4,2)
\rput(-3.3,2.3){\textcolor{red}{$d_2$}}
\psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](-1,-4)(-1,4)
\rput(-0.6,3.5){\textcolor{blue}{$d_4$}}
\psline[linewidth=0.05,linecolor=orange](-4,-3)(3,4)
\rput(-3,-1.5){\textcolor{orange}{$d_1$}}
\psline[linewidth=0.05,linecolor=green](-2,4)(0.67,-4)
\rput(1,-3.8){\textcolor{green}{$d_3$}}
\psline[linewidth=0.05](-1.33,-4)(4,0)
\rput(3,-1.2){$d_5$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspace{-0.6cm}
\subsection{Fonction logarithme}
\vspace{-0.8cm}
\bgdef{
La fonction \underline{logarithme népérien}, notée $\ln$, est l'unique primitive de la fonction $x\to \dfrac1x$ définie sur $]~0~;~+\infty~[$ qui s'annule en $1$.
}
Conséquences directes :
\begin{itemize}
\item $\ln(1)=0$,
\item la fonction logarithme népérien est dérivable sur $]~0~;~+\infty~[$ et pour tout $x>0$, $\ln'(x)=\dfrac1x$.
\end{itemize}
\bgprop{
Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs et $n$ est un entier naturel, alors :
\bgen[$\bullet$]
\item $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).$
\quad$\bullet$\quad
$\ln\lp\dfrac{a}{b}\rp=\ln(a)-\ln(b)$.
\item $\ln\left(\dfrac1a\right)= -\ln(a)$
\qquad
$\bullet\ \ln(a^n)=n\ln(a)$
\qquad
$\bullet\ \ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac12\ln(a)$.
\enen
}
\vspd
\bgex
Transformations d'expressions numériques et algébriques :
\bgit
\item $\ln\left(\dfrac{192}{108}\right) =\ln\left(\dfrac{16}{9}\right) =\ln(16)-\ln(9)=\ln(2^4)-\ln(3^2) =4\ln(2)-2\ln(3)$.
\item $\ln(\sqrt{96}) =\dfrac12\ln(96) =\dfrac12\ln(2^5\times3) =\dfrac12[5\ln(2)+\ln(3)]$.
\item $\ln(x+3)+\ln(2x+1) =\ln[(x+3)(2x+1)] =\ln(2x^2+7x+3)$ pour $x\in-\left]~\dfrac12~;~+\infty~\right[$.
\enit
\enex
\bgprop{
\qquad
$\bullet$ $\lim\limits_{x \to 0^+}\ln x=-\infty$
\qquad
$\bullet$ $\lim\limits_{x \to +\infty}\ln x=+\infty$.
}
\vspd
\textbf{Conséquence graphique:}
La droite $x=0$ est donc asymptote verticale à la courbe
représentative de la fonction $\ln$.
\begin{minipage}{8cm}
D'où le tableau de variations et la courbe:
\begin{center}
% \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|lcr|}
\hline
$x$ & $0$ & $1$ & $+\infty$ \\
\hline
$f'(x)$ & & $+$ & \\
\hline
& & & $+\infty$ \\
$f$ & & $\psline[arrowsize=6pt]{->}(-.8,-0.3)(.8,0.3)$ & \\
& $-\infty$ & & \\
\hline
signe & ~~~~~~$-$ & $0$ & $+$~~~~~~\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
\psset{xunit=0.6,yunit=0.5}
\begin{pspicture}(-2,-5.2)(9,2.4)
\psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](-1,-5)(9,3)
\psaxes{->}(0,0)(-1,-5)(9,3)
\psplot[linecolor=red]{0.006}{9}{x ln}
\rput{15}(4,2){\textcolor{red}{$y=\ln(x)$}}
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](2.7,0)(2.7,1)(0,1)
\rput(2.6,-0.4){\textcolor{blue}{$e$}}
\psdot[linecolor=red](1,0)
\psdot[linecolor=red](2.7,1)
\end{pspicture}
\end{minipage}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonction exponentielle}
\vspace{-0.8cm}
\bgdef{La fonction \underline{exponentielle} est la fonction définie sur
$\R$ par $\exp(x)=e^x$, $e^x$ étant l'unique nombre réel positif dont
le logarithme vaut $x$.
}
\ul{Remarque:}
\textit{
Les fonctions exponentielle et logarithme sont réciproques l'une de
l'autre:
\[
\text{Pour tous réels $x$ et $y>0$, }\qquad
y=e^x \iff \ln(y)=x
\quad\text{ et } \quad
\ln\lp e^x\rp=x
\quad\text{ et }\quad
e^{\ln y}=y
\]
Graphiquement, les courbes sont symétriques par rapport à la première bissectrice ($y=x$) dans un repère othonormal.}
\textbf{Conséquences directes:}
$\bullet\ \exp(x)=e^x >0$ et
$\exp(1)=e^1=e\approx 2,718$.
\bgprop{
Soient $a$ et $b$ deux réels et $n$ est un entier relatif, alors :
$\bullet$
$e^a\tm e^b=e^{a+b}$
\quad$\bullet\ \dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$
\quad $\bullet\ \dfrac{1}{e^a}=e^{-a}$ \qquad
$\bullet\ \lp e^a\rp^n=e^{an}$.
}
\bgex
Transformations d'expressions numériques et algébriques :
\bgit
\item $e^2\times e^3\times \dfrac{1}{e^4}\times(e^{-2})^{-3} =e^{2+3-4+6}=e^7$.
\item $e^{x+3}\times e^{2x+1} =e^{(x+3)+(2x+1)} =e^{3x+4}.$
\item $(e^{x-2})^2 =e^{2x-4}.$
\enit
\enex
\smallskip
\bgprop{
\quad $\bullet\lim\limits_{x \to -\infty}e^x=0$.
\qquad $\bullet\lim\limits_{x \to +\infty}e^x=+\infty$.
}
\textbf{Conséquence graphique:}
La droite d'équation $y=0$ est donc une asymptote horizontale à la
courbe représentative de la fonction $\exp$.
\bgprop{
La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ de dérivée $(e^x)'=e^x$.
}
\begin{minipage}{7cm}
D'où le tableau de variations et la courbe:
\begin{center}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|lcr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & $0$ & $+\infty$ \\
\hline
$f'(x)$ & & $+$ & \\
\hline
& & & $+\infty$ \\
$f$ & & $\psline{->}(-0.8,-0.3)(.8,0.3)$ & \\
& $0$ & & \\
\hline
signe & & $+$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
\psset{xunit=0.6,yunit=0.5}
\begin{pspicture}(-7,-1)(3,6)
\psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](-5,-1)(3,6)
\psaxes[arrowsize=6pt,labels=none]{->}(0,0)(-5,-1)(3,6)
\rput(-0.3,1){1}
\rput(1,-0.5){1}
\psplot[linecolor=red]{-5}{1.8}{2.72 x exp}
\rput{72}(2,3.5){\textcolor{red}{$y=\exp(x)$}}
\end{pspicture}
\end{minipage}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonctions puissance}
\vspace{-0.8cm}
\bgdef{
Soit $\alpha$ un nombre réel, la fonction puissance (d'exposant)
$\alpha$, notée $f_{\alpha}$ est la fonction qui, à tout nombre
$x\in\R^*_+$ associe $$f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}=e^{\alpha\ln x}$$
}
\bgex
Dans le cas où $\alpha=\dfrac12$, on a $f_{\frac12}(x)=x^{\frac12}=e^{\frac12\ln x}=\sqrt{x}$.
\enex
\bgprop{
Pour tout $\alpha$, la fonction $f_{\alpha}$ est dérivable sur
$\R^*_+$ de dérivée $f'_{\alpha}(x)=\alpha x^{\alpha-1}$.
}
\textbf{Sens de variation : }\\
Dans le cas où $\alpha=0$, la fonction $f_0(x)=x^0=1$ est constante
sur $\R_+^*$.\\
Dans le cas où $\alpha\not= 0$, $f'_{\alpha}(x)=\alpha x^{\alpha-1}$
est du signe de $\alpha$ sur $\R^*_+$.
D'où les tableaux de variation suivants :
\bgmp{8cm}
\begin{center}
$\alpha<0$\\
\vspace{0.1cm}
\begin{tabular}{|c||lcr|}
\hline
$x$ & $0$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe de $f'_{\alpha}(x)$ & & $-$ & \\
\hline
variations & $+\infty$ \psline{->}(0,0.1)(1.5,-0.8) & & \\
de $f_{\alpha}$ & & & \\
& & & $0$ \\
\hline
signe de $f_{\alpha}$ & & $+$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\enmp
\bgmp{8cm}
\begin{center}
$\alpha>0$\\
\vspace{0.1cm}
\begin{tabular}{|c||lcr|}
\hline
$x$ & $0$ & & $+\infty$ \\
\hline
signe de $f'_{\alpha}(x)$ & & $+$ & \\
\hline
variations & \psline{->}(0.4,-0.8)(1.8,0) & & $+\infty$\\
de $f_{\alpha}$ & & & \\
& $0$ & & \\
\hline
signe de $f_{\alpha}$ & & $+$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\enmp
Allure des courbes représentatives des fonctions puissance:
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(5,5)
\psaxes{->}(0,0)(0,0)(5,5)
\psplot[linecolor=red]{0.2}{5}{x -1 exp}
\psplot[linecolor=blue]{0.04}{5}{x -0.5 exp}
\psplot[linecolor=green]{0.58}{5}{x -3 exp}
\rput(4,4){\textcolor{blue}{$y=x^{-0.5}$}}
\rput(4,3){\textcolor{red}{$y=x^{-1}$}}
\rput(4,2){\textcolor{green}{$y=x^{-3}$}}
\psdot(1,1)
\end{pspicture} \\
\begin{pspicture}(0,0)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=1,subgriddots=10,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(5,5)
\psaxes{->}(0,0)(0,0)(5,5)
\psplot[linecolor=red]{0}{5}{x 1 exp}
\psplot[linecolor=blue]{0}{5}{x 0.5 exp}
\psplot[linecolor=green]{0}{2.24}{x 2 exp}
\rput{15}(4,2.3){\textcolor{blue}{$y=x^{0.5}$}}
\rput{45}(4,3.5){\textcolor{red}{$y=x^1$}}
\rput{75}(2.2,3.5){\textcolor{green}{$y=x^2$}}
\psdot(1,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{multicols}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Limites}
\vspace{-0.6cm}
\subsection{Interprétation graphique}
\vspace{-0.3cm}
\underline{Limite en un point:}
\psset{xunit=0.7,yunit=0.5}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{flushleft}
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,7.)
\psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
\psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
\psplot[linecolor=red]{-3}{4}{1 3 x add sqrt add}
\psdot[linecolor=blue](-3,1)
\end{pspicture}
\end{flushleft}
\bgmp{5.4cm}
\[\lim\limits_{x\to -3}f(x)=1\]
Il n'y a pas d'asymptote.\\
\enmp
\end{minipage}
\hspace{0.2cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{flushleft}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,7.)
\psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(6,7)
\psaxes{->}(0,0)(-2,-1)(6,7)
\psplot[linecolor=red]{-2}{1.62}{1 x -2 add x -2 add mul div}
\psplot[linecolor=red]{2.38}{6}{1 x -2 add x -2 add mul div}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](2,-1)(2,7)
\end{pspicture}
\end{flushleft}
\bgmp{5.4cm}
\[\lim\limits_{x\to 2}f(x)=+\infty\]
La courbe admet une asymptote verticale d'équation $x=2$.
\enmp
\end{minipage}
\hspace{0.2cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{flushleft}
\begin{pspicture}(-6,-6)(1,2.)
\psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(1,2)
\psaxes{->}(0,0)(-6,-6)(1,2)
\psplot[linecolor=red]{-6}{-2.17}{1 2 x add div}
\psplot[linecolor=red]{-1.5}{1}{1 2 x add div}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](-2,2)(-2,-6)
\end{pspicture}
\end{flushleft}
\bgmp{5.4cm}
\[\lim\limits_{x\to -2^-}f(x)=-\infty\]
La courbe admet une asymptote verticale d'équation $x=-2$.
\enmp
\end{minipage}
\underline{Limite en $\infty$ :}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{flushleft}
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,7.)
\psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
\psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
\psplot[linecolor=red]{-2.8}{4}{2 1 3 x add div add}
\psplot[linecolor=red]{-4}{-3.32}{2 1 3 x add div add}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](-4,2)(4,2)
\end{pspicture}
\end{flushleft}
\bgmp{5.4cm}
\[\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=2\]
La courbe admet une asymptote horizontale d'équation $y=2$.
\enmp
\end{minipage}
\hspace{0.2cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{flushleft}
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,7.)
\psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(4,7)
\psaxes{->}(0,0)(-4,-1)(4,7)
\psplot[linecolor=red]{-2.65}{2.65}{x x mul}
\end{pspicture}
\end{flushleft}
\bgmp{5.4cm}
\[\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\]
Il n'y a pas d'asymptote.\\
\enmp
\end{minipage}
\hspace{0.2cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{flushleft}
\begin{pspicture}(-4,-6)(4,2.)
\psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-4,-6)(4,2)
\psaxes{->}(0,0)(-4,-6)(4,2)
\psplot[linecolor=red]{-2.65}{2.65}{1 x x mul -1 mul add}
\end{pspicture}
\end{flushleft}
\bgmp{5.4cm}
\[\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty\]
Il n'y a pas d'asymptote.\\
\enmp
\end{minipage}
\bgdef{
Soit $f$ une fonction et $d$ la droite d'équation $y=ax+b$ tel que:
\[\lim\limits_{x \to \pm\infty}\Bigl[ f(x)-(ax+b)\Bigr]=0\]
on dit alors que
la droite $d$ est une \underline{asymptote oblique} à la courbe
représentative $\mathcal{C}_f$ en $\pm\infty$.
}
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac12 x+1$.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-4)(6,4)
\psgrid[griddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-6,-4)(6,4)
\psaxes{->}(0,0)(-6,-4)(6,4)
\psplot[linecolor=red]{-6}{-0.2}{0.5 x mul 1 add 1 x div add}
\psplot[linecolor=red]{0.35}{6}{0.5 x mul 1 add 1 x div add}
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](-6,-2)(6,4)
\end{pspicture}
\end{center}
On a
$f(x)-\left(\dfrac12x+1\right)=\dfrac1x$
et donc
$\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-\left(\dfrac12x+1\right)\right]
=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{1}{x}\right)=0$.
Ainsi la courbe admet une asymptote oblique d'équation $y=\dfrac12x+1$.
\enex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Limites des fonctions usuelles}
Voici un tableau qui résume les différentes limites des fonctions de
référence (la notation \og $*$ \fg signifie qu'il faut appliquer la
\og règle des signes \fg).
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{8}{c|}}
\hline\rule[-0.5cm]{0cm}{1.2cm}
$f(x)$ & $x^n$, $n\in\N$ & $\dfrac{1}{x^n}=x^{-n}$, $n\in\N$ & $x^{\alpha}$, $\alpha>0$ & $\dfrac{1}{x^{\alpha}}$, $\alpha>0$ & $\ln x$ & $\exp x$ & $\cos x$ & $\sin x$ \\
\hline
$\lim\limits_{x \to -\infty}$ & $*\infty$ & $0^*$ & indéfini & indéfini & indéfini & $0^+$ & aucune & aucune \\
\hline
$\lim\limits_{x \to 0^-}$ & $0^*$ & $*\infty$ & indéfini & indéfini & indéfini & $1^-$ & $1^-$ & $0^-$ \\
\hline
$\lim\limits_{x \to 0^+}$ & $0^+$ & $+\infty$ & $0^+$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $1^+$ & $1^+$ & $0^+$ \\
\hline
$\lim\limits_{x \to +\infty}$ & $+\infty$ & $0^+$ & $+\infty$ & $0^+$ & $+\infty$ & $+\infty$ & aucune & aucune \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Opérations sur les limites}
Dans tout ce qui suit, la notation \og FI \fg{} désigne une Forme
Indéterminée, c'est à dire qu'on ne sait pas déterminer directement,
sans autre calcul, par une règle élémentaire.
\subsubsection{Limite d'une somme}
\vspace{-1cm}
\hspace{6cm}
\begin{tabular}{|*{6}{c|}}
\hline
$\lim~f$ & $l$ & $l$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$ \\
\hline
$\lim~g$ & $l'$ & $\pm\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ \\
\hline
$\lim~(f+g)$ & $l+l'$ & $\pm\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & FI \\
\hline
\end{tabular}
\smallskip
\bgex
Calcul de \og sommes \fg{} de limites:
\bgen[$\bullet$]
\item
$\left.\bgar{lll}
\lim\limits_{x \to 0}~e^x&=&1\\
\lim\limits_{x \to 0}~x^3&=&0
\enar\right\}
\quad \lim\limits_{x \to 0}~\left(e^x+x^3\right)=1$.
\item
$\left.\bgar{lll}
\lim\limits_{x \to -\infty}~\dfrac{1}{x}&=&0^-\\
\lim\limits_{x \to -\infty}~x^2&=&+\infty
\enar\right\}
\quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left(\dfrac{1}{x}+x^2\right)=+\infty$
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to +\infty}~\ln x&=&+\infty}{\lim\limits_{x \to +\infty}~x^2&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x \to +\infty}\left(\ln x+x^2\right)=+\infty$.
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~x&=&-\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^3&=&-\infty} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left(x+x^3\right)=-\infty$.
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^2&=&+\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^3&=&-\infty} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left(x^2+x^3\right)$ \quad est une forme indéterminée du type $\infty-\infty$.
\enen
\enex
\smallskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Limite d'un produit}
\vspace{-1cm}
\hspace{6cm}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
\hline
$\lim~f$ & $l$ & $l\neq 0$ & $\pm\infty$ & $0$ \\
\hline
$\lim~g$ &$l'$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ \\
\hline
$\lim~(f\times g)$ & $l\times l'$ & $*\infty$& $*\infty$ & FI \\
\hline
\end{tabular}
\bgex
Calcul de \og produit \fg{} de limites :
\bgen[$\bullet$]
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0}~(e^x+3)&=&4}{\lim\limits_{x\to 0}~(e^x-2)&=&-1} \quad \lim\limits_{x \to 0}~[(e^x+3)\times(e^x-2)]=-4$.
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0^+}~(x-3)&=&-3}{\lim\limits_{x \to 0^+}~\dfrac{1}{x}&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x \to 0^+}\left[(x-3)\times \dfrac{1}{x}\right]=-\infty$
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~(x-1)& =&-\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^3&=&-\infty} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}[(x-1)\times x^3]=+\infty$.
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~(x^2+1)&=&+\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~\dfrac{1}{x}&=&0^-} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left[(x^2+1)\times \dfrac{1}{x}\right]$ \quad est une forme indéterminée du type $0\times\infty$.
\enen
\enex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Limite d'un quotient}
\vspace{-1cm}
\hspace{6cm}
\begin{tabular}{|c|*{6}{c|}}
\hline
$\lim~f$ & $l$ & $l$ & $l$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ & $0$ \\
\hline
$\lim~g$ & $l'\neq 0$ & $\pm\infty$ & $0$ & $l'$ & $\pm\infty$ & $0$ \\
\hline
$\lim~\left(\dfrac{f}{g}\right)$ & $\dfrac{l}{l'}$ & $0$ & $*\infty$ & $*\infty$ & FI & FI \\
\hline
\end{tabular}
\bgex
Calcul de \og quotients \fg{} de limites :
\bgit
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0}~(e^x+3)&=&4}{\lim\limits_{x\to 0}~e^x-2)&=&-1} \quad \lim\limits_{x \to 0}~\left(\dfrac{e^x+3}{e^x-2}\right)=e^5$.
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to +\infty}~\left(\dfrac{1}{x}-3\right)&=&-3}{\lim\limits_{x \to +\infty}~x^2&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{\frac{1}{x}-3}{x^2}\right)=0^-$.
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0^+}~x-4&=&-4}{\lim\limits_{x \to 0^+}~x&=&0^+} \quad \lim\limits_{x \to 0^+}\left(\dfrac{x-4}{x}\right)=-\infty$.
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0^+}~\ln x&=&-\infty}{\lim\limits_{x \to 0^+}~(x-1)&=&-1} \quad \lim\limits_{x \to 0^+}\left(\dfrac{\ln x}{x-1}\right)=+\infty$.
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~(x-1)&=&-\infty}{\lim\limits_{x \to -\infty}~x^3&=&-\infty} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}\left(\dfrac{x-1}{x^3}\right)$ \quad est une forme indéterminée.
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0}~x^2&=&0}{\lim\limits_{x \to 0}~\sqrt{x}&=&0} \quad \lim\limits_{x \to 0}~\left(\dfrac{x^2}{\sqrt{x}}\right)$ \quad est une forme indéterminée .
\enit
\enex
\smallskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Compositions}
\vspace{-0.8cm}
\bgprop{
Soient deux fonctions : $f$ définie de $I$ dans $J$ et $g$ de $J$
dans $\R$. \\
Si $\Lim{\lim\limits_{x \to a}f(x)=b}{\lim\limits_{x \to b}g(x)=c}$
\quad alors \quad
$\lim\limits_{x \to a}~(g\circ f)(x)=\lim\limits_{x \to a}g[f(x)]=c$.
}
\bgex
Calcul de "composition" de limites :
\bgen[$\bullet$]
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to -\infty}~(x+3)&=&-\infty}{\lim\limits_{X\to -\infty}~e^X&=&0} \quad \lim\limits_{x \to -\infty}~e^{x+3}=0$.
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to +\infty}~(2x+1)&=&+\infty}{\lim\limits_{x \to +\infty}~\ln X&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x \to +\infty}~\ln(2x+1)=+\infty$.
\item $\Lim{\lim\limits_{x \to 0}~(x+4)&=&4}{\lim\limits_{X\to 4}~\sqrt{X}&=&2} \quad \lim\limits_{x \to 0}~\sqrt{x+4}=2$.
\enen
\enex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Calcul de limites dans les cas de formes indéterminées}
Dans ce cas, toutes les situations sont {\it a priori} possibles :
existence d'une limite finie, nulle ou non ; existence d'une limite
infinie ; absence de limite.
Les quatre cas d'indétermination des limites sont:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$\lim f(x)$ & $\lim g(x)$ & Limite indéterminée & type d'indétermination \\
\hline
$+\infty$ & $-\infty$ & $f(x)+g(x)$ & $\infty - \infty$ \\
\hline
$0$ & $\pm \infty$ & $f(x) \times g(x)$ & $0 \times \infty$ \\
\hline
$0$ & $0$ & $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ & $\dfrac{0}{0}$ \\
\hline
$\pm\infty$ & $\pm\infty$ & $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ & $\dfrac{\infty}{\infty}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\bgex
Indétermination du type \og $\infty-\infty$ \fg{}, par exemple:
$\lim\limits_{x\to +\infty}~(3x^2-x)$
En effet,
$\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~3x^2&=&+\infty}{\lim\limits_{x\to
+\infty}~x&=&+\infty} \quad \text{ donc }\lim\limits_{x\to +\infty}~(3x^2-x)$ est une forme indéterminée du type $\infty-\infty$.
Le terme prépondérant est $x^2$ que l'on met donc en facteur:
$f(x)=3x^2-x=x^2\left(3-\dfrac{1}{x}\right)$.
$\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~x^2&=&+\infty}{\lim\limits_{x\to +\infty}~\left(3-\dfrac{1}{x}\right)&=&1}$ d'où $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$.
\enex
\bgsk
\ul{Remarques:}
\textit{De manière générale, le comportement d'une fonction polynomiale en $\pm \infty$ est dicté par le comportement
de son terme de plus haut degré en $\pm \infty$.\\[0.3cm]
De manière tout aussi générale, pour lever l'indétermination dans une
somme ou soustraction de termes, on factorise par le terme
prépondérant (le terme de plus haut degré dans une expression polynômiale\dots)
}
\smallskip
\bgex
Indétermination du type \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg{} :
\bgit
\item $\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~(x^2+2x+1)&=&+\infty}{\lim\limits_{x\to +\infty}~(2x^2-3)&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x\to +\infty}~\left(\dfrac{x^2+2x+1}{2x^2-3}\right)$ est une forme indéterminée du type \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg{} .
\item Pour $x\not= 0$, on factorise par la puissance de $x$ maximale et on simplifie : \\
\hspace*{0.3cm} $f(x)=\dfrac{x^2+2x+1}{2x^2-3} =\dfrac{x^2\left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2-\dfrac{3}{x^2}\right)} =\dfrac{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{2-\dfrac{3}{x^2}}$.
\item $\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~\left(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)&=&1}{\lim\limits_{x\to +\infty}~\left(2-\frac{3}{x^2}\right)&=&2} \quad \lim\limits_{x\to +\infty}~f(x)=\dfrac12$.
\enit
\enex
\vspq
\ul{Remarque:}
\textit{De manière générale, le comportement d'une fraction rationnelle en $\pm \infty$ est dictée par le comportement
du quotient des deux termes de plus haut degré.}
\smallskip
\bgex
Indétermination du type \og $0\times \infty$ \fg{} :
\bgit
\item $\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~\dfrac{1}{x}& =&0}{\lim\limits_{x\to +\infty}~(x^2+1)&=&+\infty} \quad \lim\limits_{x\to +\infty}~\left[\dfrac{1}{x}(x^2+1)\right]$ est une forme indéterminée du type \og $0\times\infty$ \fg{}.
\item On développe : $f(x)=\dfrac{1}{x}(x^2+1)=x+\dfrac{1}{x}$.
\item $\Lim{\lim\limits_{x\to +\infty}~x&=&+\infty}{\lim\limits_{x\to +\infty}~\dfrac{1}{x}&=&0^+}$ d'où $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$.
\enit
\enex
\smallskip
\bgex
Indétermination du type \og $\dfrac00$ \fg{} :
\bgit
\item $\Lim{\lim\limits_{x\to 1}~(x^2-1)&=&0}{\lim\limits_{x\to 1}~(x-1)&=&0} \quad \lim\limits_{x\to 1}~\left(\dfrac{x^2-1}{x-1}\right)$ est une forme indéterminée du type $\dfrac00$.
\item On factorise : $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$.
\item $\lim\limits_{x\to 1}~(x-1)=0$ \quad donc : \quad $\lim\limits_{x\to 1}~f(x)=0$.
\enit
\enex
\smallskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Croissance comparée de l'exponentielle, du logarithme et des fonctions puissance}
\bgprop{
Pour tout nombre réel $\alpha>0$:
$\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x^{\alpha}}=0$
et,
$\dsp\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x^{\alpha}}=+\infty$,
\vspd
En particulier, pour $\alpha=1$,
$\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$,
et
$\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$.
}
\vspq
\textbf{L'idée à retenir :}
En $+\infty$, on a l'ordre de prépondérance:
"\ $\ln x<\!\!\!<x^\alpha<\!\!\!<e^x$\ "
\bgcorol{
Pour tout $\alpha>0$,
$\dsp\lim_{x\to0}\ x^\alpha\ln x=0$
et
$\dsp\lim_{x\to-\infty}\ x^\alpha e^x=0$.
\vspd
En particulier, pour $\alpha=1$,
$\dsp\lim_{x\to0}\ x\ln x=0$
et
$\dsp\lim_{x\to-\infty}\ x e^x=0$.
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Dérivation}
Dans cette partie, $f$ est une fonction numérique définie sur un intervalle $I$, $C$ sa courbe représentative dans un repère. $a$ et $x$ sont deux réels distincts de $I$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Nombre dérivé en un point}
On souhaite trouver une fonction affine (droite) qui réalise une bonne approximation de la fonction $f$ au voisinage d'un point d'une courbe.
\medskip
\bgex
Pour $h$ voisin de $0$, on a :
\bgit
\item $(1+h)^2=1+2h+h^2$ \hspace{2cm} donc, quand $h$ tend vers $0$ : $(1+h)^2 \approx 1+2h$. \\
\item $(1+h)^3=1+3h+3h^2+h^3$ \hspace{1cm} donc, quand $h$ tend vers $0$ : $(1+h)^3 \approx 1+3h$. \\
\item $\dfrac{1}{1+h}=1-h+\dfrac{h^2}{1+h}$ \hspace{2cm} donc, quand $h$ tend vers $0$ : $\dfrac{1}{1+h} \approx 1-h$.
\enit
\enex
\bgdef{
Soit $f$ une fonction définie en $a$ et au voisinage de $a$, on dit que $f$ est \underline{dérivable en $a$} s'il existe un réel $A$ est une fonction $\epsilon$ tels que, au voisinage de $h=0$, on a :
$$f(a+h)=f(a)+Ah+h\epsi(h), \text{ avec } \lim_{h\to 0}~\epsilon(h)=0.$$
A est appelé \underline{nombre dérivé} de $f$ en $a$,
et est noté $f'(a)$.
}
\smallskip
\bgex
On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$.
\[\bgar{llrcc}
f(a+h)=(a+h)^2=a^2+2ah+h^2
&=f(a)+&(2a)h&+&h\tm h \\[0.3cm]
&=f(a)+&Ah&+&h\,\epsi(h)
\enar\]
Donc, $f$ est dérivable en $a$ de nombre dérivé $A=2a$:
$f'(a)=2a$.
\enex
\smallskip
\bgdef{
\bgit
\item Le \underline{taux de variation} de la fonction $f$ entre $a$ et $x$ est le quotient :
$\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
\item Avec $x=a+h\iff x-a=h$,
ce quotient s'écrit aussi : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
\item $f$ est \underline{dérivable} en $a$ et on note cette dérivée $f'(a)$ si la limite suivante existe :
$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$
\enit
}
\smallskip
\bgex
Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$.
\bgit
\item le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est : \\
\hspace*{0.3cm} $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} =\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h} =\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h} =\dfrac{2ah+h^2}{h} =2a+h$.
\item donc, $f'(a)=\lim\limits_{h\to 0}~(2a+h)=2a$.
\item En particulier, $f'(3)=6$, $f'(0)=0$ ...
\enit
\enex
\vspd
\begin{minipage}{10.5cm}
\textbf{Interprétation graphique :}\\
Lorsque $h$ se rapproche de $0$, le point $M$ se rapproche du point~$A$. \\
Ainsi, la droite $(AM)$ se rapproche de la tangente $\mathcal{T}$
au point~$A$ \\
$f'(a)$ correspond au coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ au point d'abscisse $a$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,6)
\psaxes[labels=non]{->}(0,0)(-1,-1)(6,6)
\psplot[linewidth=0.05]{0.55}{5.46}{x x mul -1 mul 6 x mul add -4 add}
\psdot(1,1)
\rput(1.3,1){$A$}
\rput(1,-0.6){$a$}
\rput(-0.6,1){$f(a)$}
\psdot(4,4)
\rput(4,4.3){$M$}
\rput(4,-0.6){$a+h$}
\rput(-1,4){$f(a+h)$}
\rput(1.6,4.6){\textcolor{red}{$\mathcal{T}$}}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1)(0,1)
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,4)(0,4)
\psline[linecolor=blue](-0.5,-0.5)(5.5,5.5)
\psline[linecolor=blue](-0.33,-1)(4,5.5)
\psline[linecolor=blue](0.33,-1)(2.5,5.5)
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red]{<->}(0.5,-1)(2,5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Fonction dérivée}
\vspace{-0.8cm}
\bgdef{
Soit $f$ une fonction dérivable en tout point $x$ d'un intervalle $I$, alors la fonction qui à $x$ associe $f'(x)$ est appelé \underline{fonction dérivée} de $f$ sur $I$.
}
On obtient le tableau de dérivation suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Fonction $f$ & Fonction $f'$ & Ensemble de définition de $f$ \\
\hline
$k$ & $0$ & $\R$ \\
\hline
$ax+b$ & $a$ & $\R$ \\
\hline
$\dfrac{1}{x}$ & $ -\dfrac{1}{x^2}$ & $\R^*$ \\
\hline
$\sqrt{x}$ & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ &$\R_+^*$ \\
\hline
$x^{\alpha}$ & $\alpha x^{\alpha-1}$ & $\R$ si $\alpha\in\N^*$ ou $\R^*$ si $\alpha\in\Z_-^*$ ou $\R_+^*$ si $\alpha\in\R$\\
\hline
$\ln(x)$ & $\dfrac{1}{x}$ & $\R_+^*$ \\
\hline
$e^x$ & $e^x$ & $\R$ \\
\hline
$\sin(x)$ & $\cos(x)$ & $\R$ \\
\hline
$\cos(x)$ & $ -\sin(x)$ & $\R$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\smallskip
\bgex
Calculer la dérivée des fonctions suivantes:
$\bullet\ f(x)=3x-2$
\qquad
$\bullet f(x)=x^3$
\qquad
$\bullet\ f(x)=x^{\frac23}$
\qquad
$\bullet\ f(x)=x^{4321}$
\enex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Opérations}
\vspace{-0.5cm}
$u$ et $v$ sont deux fonctions définies et dérivables sur un même
intervalle $I$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Opération & Fonction & Dérivée \\
\hline
Addition & $u+v$ & $u'+v'$\\
\hline
Multiplication par un nombre & $k\times u$ avec $k\in\R$ & $k\times u'$\\
\hline
Multiplication & $u\times v$ & $u'\times v+u\times v'$\\
\hline
Puissance & $u^n$ & $n\times u'\times u^{n-1}$ \\
\hline
Division & $\dfrac{u}{v}$ & $ \dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2} $\\
\hline
Inverse & $\dfrac{1}{v}$ & $-\dfrac{v'}{v^2}$\\
\hline
Fonction composée & $f\circ g$ & $f'\circ g\times g'$ \\
\hline
exponentielle & $e^u$ & $u'~e^u$ \\
\hline
logarithme & $\ln(u)$ & $\dfrac{u'}{u}$ \\
\hline
sinus & $\sin(u)$ & $u'~\cos(u)$ \\
\hline
cosinus & $\cos(u)$ & $-u'~\sin(u)$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\smallskip
\bgex
Calcul de dérivées :
\bgen[$\bullet$]
\item $f(x)=x^3+x+3$: On utilise la formule $(u+v)'=u'+v'$ avec $u(x)=x^3$ et $v(x)=x+3$. \\[0.2cm]
On obtient $f'(x)=3x^2+1$.
\item $f(x)=3(x^2+4)$ : on utilise la formule $(ku)'=ku'$ avec $k=3$ et $u(x)=x^2+4$. \\
On obtient $f'(x)=6x$.
\item $f(x)=(-2x+3)(5x-3)$: On utilise la formule $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=-2x+3$ et $v(x)=5x-3$. \\
On obtient $f'(x)=-20x+21$.
\item $f(x)=(2x-7)^2$: on utilise la formule $(u^2)'=2uu'$ avec $u(x)=2x-7$. \\
\hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=4(2x-7)$. \\
\item $f(x)=\dfrac{3x-4}{x^2+3}$ : On utilise la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u(x)=3x-4$ et $v(x)=x^2+3$. \\
\hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=\dfrac{-3x^2+8x+9}{(x^2+3)^2}$. \\
\item $f(x)=\dfrac{1}{-3x+1}$ : On utilise la formule $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}$ avec $v(x)=-3x+1$. \\
\hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=\dfrac{3}{(-3x+1)^2}$. \\
\item $f(x)=e^{3x+1}$ : On utilise la formule $(e^u)'=u'~e^u$ avec $u(x)=3x+1$. \\
\hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=3~e^{3x+1}$. \\
\item $f(x)=ln(-2x+5)$ : On utilise la formule $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=-2x+5$. \\
\hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=\dfrac{-2}{-2x+5}$. \\
\item $f(x)=\cos(2x+1)$ : On utilise la formule $\cos'(u)=-u'\sin(u)$ avec $u(x)=2x+1$. \\
\hspace*{0.2cm} on obtient $f'(x)=-2\sin(2x+1)$.
\enen
\enex
\subsection{Dérivées successives}
\vspace{-0.8cm}
\bgdef{
Soit $f$ une fonction dérivable. Lorsque cela est possible, on définit les \underline{dérivées successives} de $f$ notées :
\[
f' \quad , \quad f'' \quad , \quad f''' \quad , \quad f^{(4)}\quad ,
\quad \dots \quad , \quad f^{(n)}.
\]
}
\smallskip
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^3-x^2+x+3$,
alors
$\bullet\ f'(x)=\ \dots$
\qquad
$\bullet \ f''(x)=\ \dots$
\qquad
$\bullet \ f'''(x)=\ \dots$
\quad
$\bullet\ f^{(4)}=\ \dots$
\qquad
$\bullet\ f^{(5)}=\dots$
\qquad
$\bullet\ f^{(107)}=\dots$
\enex
En physique et en mécanique, on utilise la notation différentielle : \qquad $\dfrac{df}{dx}=f'$ \qquad et \qquad $\dfrac{d^2f}{dx^2}=f''$
\smallskip
\begin{minipage}{9cm}
\bgex
Dans un circuit R, L, C en série, on a :
\bgit
\item $i=\dfrac{dq}{dt}$.
\item $e=-L\dfrac{di}{dt}$.
\item donc : $e=-L\dfrac{d^2q}{dt^2}$.
\enit
\enex
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{pspicture}(0,0)(5.5,3)
\psdot(2.5,0)
\psline(2.5,0)(0,0)(0,2)(0.5,2)
\psframe(0.5,1.6)(2,2.4)
\psline(2,2)(2.5,2)
\pscurve(2.5,2)(2.75,2.4)(3,2)
\pscurve(3,2)(3.25,2.4)(3.5,2)
\pscurve(3.5,2)(3.75,2.4)(4,2)
\psline(4,2)(4.5,2)
\psline(4.5,1.6)(4.5,2.4)
\psline(5,1.6)(5,2.4)
\psline(5,2)(5.5,2)(5.5,0)(3,0)
\psdot(3,0)
\rput(1.25,2.7){R}
\rput(3.25,2.7){L}
\rput(4.75,2.7){C}
\end{pspicture}
\end{minipage}
Si par exemple, $q=5\cos(t)$, alors
$i=-5\sin(t)$ et $e=-5L\cos(t)$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{\'Equation de la tangente}
\vspace{-0.6cm}
\bgprop{
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ et dérivable en $a\in I$.\\
La \underline{tangente} $\mathcal{T}_a$ en $a$ à la courbe $C_f$ a pour équation : $$\mathcal{T}_a : y=f'(a)(x-a)+f(a).$$
}
\smallskip
\bgex
Soit $f(x)=x^2+2$. Les équations des tangentes $T_0$ en $0$ et
$T_{-1}$ en $-1$ sont :
\bgit
\item $f'(x)=2x$
\item $f'(0)=0$ donc $T_0 : y=0\times(x-0)+f(0)=2$.
\item $f'(-1)=-2$ donc $T_{-1} : y=-2\times(x+1)+f(-1)=-2x+1$.
\enit
\enex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{\'Etude des variations d'une fonction}
\vspace{-0.4cm}
\subsection{Lien entre dérivation et sens de variation d'une fonction}
\vspace{-0.3cm}
Le nombre dérivé $f'(x)$ de la fonction en $x$ est le coefficient
directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x$.
Ainsi, si ce coefficient directeur $f'(x)$ est positif, la tangente
est une droite croissante, donc la courbe et la fonction aussi,
"au voisinage de $x$".
Si $f'(x)$ est négatif, la fonction est donc décroissante au voisinage
de $x$.
\vspd
Plus précisément:
\vspace{-0.7cm}
\bgprop{
On suppose que $f$ est dérivable sur $I$.
\bgit
\item $f$ est croissante sur $I \Longleftrightarrow f'(x)\geqslant0$ pour tout $x\in I$.
\item $f$ est décroissante sur $I \Longleftrightarrow f'(x)\leqslant0$ pour tout $x\in I$.
\item $f$ est constante sur $I \Longleftrightarrow f'(x)=0$ pour tout $x\in I$.
\enit
}
Il est donc possible de déterminer les variations d'une fonction à
partir du signe de sa dérivée.
\medskip
\bgex
\textbf{\'Etude d'une fonction polynôme :} $f(x)=2x^3-3x^2-12x-1$.
Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)$.
On détermine le signe du trinôme du $2^{\text{nd}}$ degré $x^2-x-2$ en
cherchant ses racines et on trouve $-1$ et $2$.
On connaît alors le signe de la dérivée et on en déduit immédiatement
les variations de la fonction $f$:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $-1$ & & $2$ & & $+\infty$\\
\hline
signe de $f'(x)$ & & $+$ & $0$ & $-$ & $0$ & $+$ &\\
\hline
& & & $6$ & & & & $+\infty$\\
variations de $f$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ &\\
& $-\infty$ & & & & $-21$ & &\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
$f$ est croissante sur $]-\infty~;-1~]$ et sur $[~2~;+\infty~[$ et décroissante sur $[~-1~;~2~]$.
\enex
\smallskip
\bgex
\textbf{Etude d'une fonction logarithme:} $g(x)=2x^2+1-\ln x$.
$g$ est définie et dérivable sur $\R_+^*$ avec,
pour tout réel $x>0$,
$g'(x)=4x-\dfrac1x= \dfrac{4x^2-1}{x} =\dfrac{(2x+1)(2x-1)}{x}$.
Le trinôme du second degré du numérateur $4x^2-1$ admet 2 racines
$-\dfrac12$ et $\dfrac12$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||lcccr|}
\hline
$x$ & $0$ & & $\frac12$ & & $+\infty$\\
\hline
$4x^2-1$ & & $-$ & 0 & $+$ & \\
\hline
$x$ & & $+$ & & $+$ & \\
\hline
signe de $g'(x)$ & & $-$ & $0$ & $+$ &\\
\hline
& $+\infty$ & & & & $+\infty$ \\
variations de $g$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ &\\
& & & $\frac32+\ln 2$ & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\enex
\smallskip
\bgex
\textbf{Etude d'une fonction exponentielle:} $h(x)=(x+2)~e^{-x}$.
$h$ est définie et dérivable sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$h'(x)=1\times e^{-x}+(x+2)\times (-e^{-x})=(1-x-2)~e^{-x}=(-x-1)~e^{-x}$.
\vspace{-0.3cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $-1$ & & $+\infty$\\
\hline
$-x-1$ & & $+$ & | & $-$ & \\
\hline
$e^{-x}$ & & $+$ & | & $+$ & \\
\hline
signe de $h'(x)$ & & $+$ & $0$ & $-$ & \\
\hline
& & & $e$ & & \\
variations de $h$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ &\\
& $-\infty$ & & & & $0$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\enex
\subsection{Extremum d'une fonction}
\vspace{-0.6cm}
\bgprop{
$f$ est une fonction dérivable sur l'intervalle $I$. \\
Si $f$ admet un extremum (minimum ou maximum) en $a$ distinct des extrémités de $I$, alors $f'(a)=0$.
}
\begin{minipage}{12.8cm}
\smallskip
\ul{Remarque:}
\textit{Attention, la réciproque n'est pas vraie : le fait que $f'(a)=0$ n'implique pas forcément qu'il existe un extremum en $a$.}
\bgex
La fonction $f(x)=x^3$ est définie et dérivable sur $\R$.
$f'(x)=3x^2$ donc, $f'(0)=0$ mais $f$ n'admet ni minimum,
ni maximum en~$0$.
\vspt
\ul{Remarque:}
\textit{La tangente à la courbe en un point $a$ où $f'(a)=0$ est parallèle à l'axe des abscisses.}
\enex
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.6}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(1,1)
\psaxes{->}(0,0)(-1,-1.1)(1,1.1)
\uput{0}[0](0.6,0.8){$y=x^3$}
\psplot[linecolor=red]{-1}{1}{x x mul x mul}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.4pt]{<->}(-0.5,0)(0.5,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\subsection{Résolution de l'équation $f(x)=\lambda$}
\vspace{-1.6cm}
\bgmp{11cm}
\bgprop{
Si $f$ est une fonction continue, dérivable et strictement
croissante [resp. décroissante] sur un intervalle $[\,a;b\,]$
alors, pour tout $\lambda \in [\,f(a);f(b)\,]$
[resp. $[\,f(b);f(a)\,]$], l'équation $f(x)=\lambda$ admet une
solution unique sur l'intervalle $[\,a;b\,]$.
}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp{7cm}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.2)(6,6)
\psaxes[labels=non]{->}(0,0)(-1,-1)(6,6)
\pscurve[linecolor=red](-1,-1)(1,1)(2,3)(4,4)(6,4.5)
\psdot(1,1)
\psdot(4,4)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1)(0,1)
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,4)(0,4)
\psline[linecolor=blue]{->}(0,3)(2,3)(2,0)
\rput(-0.6,3){\textcolor{blue}{$\lambda$}}
\rput(2,-0.6){\textcolor{blue}{$x$}}
\rput(1.3,1){$A$}
\rput(1,-0.6){$a$}
\rput(-0.6,1){$f(a)$}
\rput(4,4.3){$B$}
\rput(4,-0.6){$b$}
\rput(-0.6,4){$f(b)$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgex
Soit $f(x)=x^3+x+1=0$.
On cherche à résoudre l'équation $f(x)=0$ à $10^{-1}$ près.
\bgit
\item $f$ est définie et dérivable sur $\R$,
avec pour tout réel $x$, $f'(x)=3x^2+1$.
\item $f'$ est strictement positive sur $\R$, on en déduit que $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\item on calcule $f(-1)=-1$ et $f(0)=1$.
\item D'après le théorème, $0 \in [\,f(-1);f(0)\,]=[\,-1;1\,]$, l'équation
$f(x)=0$ admet donc une solution unique dans l'intervalle $[-1;1\,]$.
\item A la calculatrice, on trouve $f(-0,7)=-0,043<0$ et $f(-0,6)=0,184>0$.
\item La racine vaut donc $-0,7$ à $10^{-1}$ près.
\enit
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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