Simulation bidimensionnelle de la propagation d'une onde

Résultats de simulations numériques

Maillage, grille de calcul, et discrétisation de l'équation des ondes

On a vu auparavant la modélisation et simulation d'une onde en 1 dimension.
On étudie maintenant la propagation d'une onde en 2 dimensions, ce qui peut correspondre en particulier à la propagation d'une onde dans une cavité, dans l'espace libre, puis sa diffraction à travers une fente. Il s'agit aussi de la modélisation des vibrations d'une membrane, ou de la propagation d'une onde de surface (onde sismique par exemple).

Cette propagation est toujours régie par l'équation des ondes: si on note u(x, y, t) l'amplitude de l'onde au point d'espace de coordonnées (x, y) et à l'instant t, alors u est solution de l'équation

∂²u / ∂t² − c²Δu = s(x, y, t)

avec le laplacien Δu = ∂²u / ∂x² + ∂²u / ∂y² et s(x, y, t) désigne l'amplitude de la source qui provoque (et/ou entretient) l'onde.

On cherche une solution approchée de cette équation des ondes en 2-D: le domaine géométrique dans lequel l'onde peut se propager est le rectangle [0, L_x] × [0, L_y].
Afin de traiter numériquement cette équation, le domaine est découpé en une grille de calcul avec un pas h en abscisse et k en ordonnée:

On notera par la suite n_x = L_x/h et n_y = L_y/k et n_t les nombres de points utilisés pour les discrétisations suivant respectivement l'axe des x, des y et des temps t.
De même que pour la simulation monodimensionnelle, on pose

u_{i, j}^k = u(x_i, y_j, t_k)

L'utilisation des formules de Taylor (cf. discrétisation de l'équation de Possion, ou/et la simulation 1D) nous permet alors de formuler l'équation des ondes sous forme discrète selon la relation de récurrence:

u_{i, j}^k+1 = 2u_{i, j}^k − u_{i, j}^k−1 +γ_x [ u_{i−1, j}^k + u_{i+1, j}^k − 2u_{i, j}^k ] +γ_y [ u_{i, j−1}^k + u_{i, j+1}^k − 2u_{i, j}^k ]

où, γ_x = c δ_t / δ_x ² et γ_y = c δ_t / δ_y ²

Pour initialiser la relation de récurrence précédente, on suppose que le milieu est au repos: la vitesse intiale de l'onde est nulle.
Ceci se traduit par u_{i, j}² = u_{i, j}¹

Si on suppose que la source est une source sinusoïdale d'amplitude 1 et de fréquence ν = 2Hz située au point S(s_x; s_y) avec par exemple s_x = L_x/3 et s_y = L_y/2
À chaque itération temporelle, et au point où se trouve la source, l'amplitude de l'onde doit donc être modifiée suivant:

u_{s_x, s_y}^k+1 = u_{s_x, s_y}^k + sin(2πνkδ_t)

Modélisation et simulation d'une onde en espace libre

Si notre domaine de calcul est infini, pour l'étude de la propagation d'une onde en espace libre (par exemple aussi l'étude radar et furtivité) il faut limiter ce calcul, artificiellement (seul un nombre fini de calculs seront fait par un ordinateur…). Il existe d'autres méthodes qui contourne cette limitation artificielle, comme les équations intégrales, mais qui ne sont pas abordées ici.

On observe alors dans le résultat de nos calculs des réflexions sur le bord de notre domaine: dans la mesure où ce domaine a été introduit artificiellement, ce sont des réflexions parasites qui n'ont pas d'existence physique.

Il faut corriger donc ceci. Pour pallier cet inconvénient, on peut introduire des conditions dites absorbantes au bord de notre domaine (CLA, pour Conditions aux Limites Absorbantes), de manière à éliminer ces réflexions parasites.
Ces conditions absorbantes peuvent être simulées de la manière suivante (en notation pseudo-Matlab, ou python avec numpy, voir aussi Programmation et simulation de l'équation de Poisson)

u(1, : , k+1) = u(2, : , k) u(n_x , : , k+1) = u(n_x−1 , : , k) u( : , 1 , k+1) = u( : , 2 , k) u( : , n_y , k+1) = u( : , n_y−1 , k)

Modélisation de la présence d'un obstacle

On peut simuler la présence d'un obstacle en imposant u_{i, j}^k = 0 pour tout k (tout instant), et pour des indices i et j qui correspondent à la position de l'obstacle.

Résultats de simulations numériques

Avec ces éléments de modélisation et simulation, on peut simuler et étudier:

Voir aussi, les simulations d'échos radar et furtivité, ainsi que celles sur les Eclair électrique: modélisation et simulation.
Toutes ces modélisations et simulations reposent sur les mêmes approximations: maillage du domaine physique / différences finies.

Pour aller plus loin, bien d'autres éléments sur la résolution approchée, ou résolution numérique, de problèmes mathématiques se trouvent sur la page Modélisation, simulation & méthodes numériques.