Modélisation et simulation de la propagation d'une onde


Y. Morel

Modélisation et équations physiques de la propagation d'une onde

Équation de Helmholtz

La propagation d'une onde, acoustique ou électromagnétique, est régie par l'équation de Helmholtz, pour t≥0 et x∈D, le domaine géométrique étudié (par exemple, D peut être un intervalle pour modéliser une onde se propageant dans une seule direction, sur une corde par exemple, ou une surface pour modéliser une membrane vibrante):
∂2f / ∂t2 (x,t) − c2Δf(x,t) = 0
où
  • c désigne la célérité de l'onde dans le milieu considéré c = 3.108 m.s-1 pour la lumière dans le vide, c = 340 m.s-1 pour le son dans l'air, par exemple),
  • la fonction f désigne l'amplitude de l'onde au point x et à l'instant t
  • et enfin, le laplacien Δf fait intervenir la dérivée seconde, en espace, de la fonction:
    • En 1D, on a Δf = ∂2f / ∂x2
    • En 2D, on a Δf = ∂2f / ∂x2 + ∂2f / ∂y2
    • En 3D, on a Δf = ∂2f / ∂x2 + ∂2f / ∂y2 + ∂2f / ∂z2


Modélisation mathématique complète, avec conditions limites

Cette équation n'est pas suffisante pour décrire complètement la propagation de l'onde; il faut la compléter de conditions initiales (état et vitesse de l'onde à l'instant initial t = 0), ainsi que des conditions au bord (comportement de l'onde lorsqu'elle rencontre les limites physiques du domaine étudié).
Ces conditions peuvent se formuler suivant:
f (x,0) = h1(x) , ∀x∈D ∂f/∂t(x,0) = h2(x) , ∀x∈D f (x,t) = g(t) , ∀t > 0, ∀x∈∂D
les fonctions h1, h2 et g étant des données du problème.
  • la fonction h1 décrit l'état initial (t = 0) de l'onde
  • la fonction h2 donne la vitesse initiale (aussi t = 0) de l'onde
  • la fonction g donne les conditions au bord du domaine D (noté en général ∂D), par exemple si structure, corde ou membrane, est fixée rigidement aux extrémités (et alors g = 0)


Dans le cas général, c'est-à-dire pour un domaine D quelconque, on ne sait pas résoudre ces équations, c'est-à-dire qu'on ne sait pas exprimer explicitement la fonction f solution de ces équations.
On peut néanmoins essayer de calculer de manière approchée les valeurs de l'amplitude de l'onde f (x, t) en certains points x et en certains instants t.
C'est ce que l'on appelle discrétiser le problème.

Les deux cas suivants sont traités par la suite:
  • le domaine D est un segment [0 , L]. En d'autres termes, on étudie la propagation d'une onde sur une corde (de guitare ou de piano par exemple).

  • le cas 2-D: le domaine D est un rectangle [0 , L ] × [0 , L' ]



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