Applications des mathématiques et Mathématiques appliquées

Introduction

Les mathématiques ont cela de particulier, comparées à toutes les autres sciences, qu'elles peuvent se développer en l'abscence même de toute observation physique, de toute confrontation avec le monde réel.
Les mathématiques peuvent ainsi évoluer de manière autonome, tel un jeu possédant ses propres règles, règles par ailleurs absolument incontournables (cette inviolabilité des règles recouvre aussi la désignation de la rigueur mathématique).
Il serait néanmoins complètement faux de penser pour autant que cette discipline est totalement refermée sur elle même, et n'admet aucune interaction avec le monde extérieur.
D'une part l'observation et le désir de comprendre le monde réel sont à la source de bien des questionnements et problèmes mathématiques: comme dans toute science, on y cherche avant tout à comprendre.
D'autre part, une fois un phénomène physique analysé et modélisé, donc dans une certaine mesure compris, l'envie de pouvoir le prévoir, l'anticiper, l'utiliser ou le modifier est toujours très forte. On est toujours tenté d'utiliser ces connaissances alors développées, d'en tirer toutes les conséquences possibles, entre autre ces applications.

Une distinction assez nette peut ainsi être faite entre une science appliquée et les applications de cette science, celles-ci formant deux facettes du processus de découverte et de création.

Pour Pasteur, la situation était assez claire: les applications, développement d'outils et autres technologies, puisent directement dans le réservoir de connaissances détenu et alimenté par les recherches scientifiques.

Il n'y a pas de recherche appliquée, mais des applications de la recherche.

Louis Pasteur

Il s'agit ici d'un point de vue idéaliste selon lequel les interractions entre la recherche pure (purement intellectuelle et dénuée de tout intérêt autre que la connaissance) et ses applications (mise en pratique technologique "bassement matérielle") se font unilatéralement: la recherche pure alimente voire propose de nouvelles applications, ou de nouvelles améliorations aux anciennes, mais ne voit pas sa conduite dictée ou orientée par des envies ou besoins matériels.
Cette attitude est ancienne. Au moyen Age, la distinction était faite clairement entre les sciences physiques, ou sciences de la nature (ou encore philosophie naturelle, très empreinte de théologie) et les arts mécaniques (armement, navigation, agriculture, ...). Il semblerait que l'étymologie même du mot "mécanique", "mechanicus", vienne de moechari qui signifie "pratiquer l'adultère": la mécanique est l'art dans lequel la science se compromet avec la matière.
Il faut néanmoins ajouter que malgré cette vision péjorative de la relation avec la matière et donc du développement technologique, les ingénieurs (originairement les concepteurs de machines de guerre, et donc les porteurs de l'évolution technologique) étaient bien perçus socialement.

Ce débat n'a plus actuellement, et depuis même quelques décennies, lieu d'être. Les champs d'investigation scientifique sont de nos jours largement assez vastes pour que chaque chercheur ou ingénieur puisse doser dans ses activités de recherche la part "intellectuelle" et celle "pratique".
Il faut simplement rester conscient que le dialogue entre ces deux parties est bien maintenant bilatéral: les sciences et recherches dites pures alimentent de leurs résultats le développement de nouvelles technologies; en contrepartie, l'observation de la nature, le besoin d'outils nouveaux, plus adaptés, plus performants, ..., fournissent de bien riches problèmes à étudier et à résoudre.
Les outils et autres innovations technologiques rendent en retour de plus en plus de services; par exemple, en mathématiques, certaines démonstrations sont maintenant réalisées, ou du moins assistées, grâce à l'outil informatique ⁽¹⁾ .

Les applications technologiques de la sciences paraissent toujours plus attractives, plus bénéfiques dans le travail qu'elles permettent de fournir. Il ne faut néanmoins pas oublier d'où elles viennent, comment leur innovation a été rendue possible, et ainsi ne surtout pas résumer l'activité scientifique à ces découvertes pratiques.

La science a eu de merveilleuses applications, mais la science qui n'aurait en vue que les applications ne serait plus de la science, elle ne serait plus que de la cuisine.

Henri Poincaré

L'objectif des différentes pages suivantes et de montrer quelques applications des mathématiques.

Les différentes pages qui suivent ne se lisent pas nécessairement tel un roman, linéairement du début à la fin. Il ne faut pas hésiter par exemple à commencer par la fin (par les résultats en général) afin d'avoir une première idée de à quoi s'attendre, avant de lire le tout début détaillant le contexte, l'histoire, ... puis finalement s'attaquer, en plusieurs fois peut-être aux développements mathématiques intermédiaires.
Le niveau de ces développements est inégal, la complexité des phénomènes ou applications variant. L'explication et le développement des idéees mathématiques ont été largement privilégiés devant la rigueur des démonstrations méthématiques.

(1) Par exemple, en 1998, Hales a proposé une démonstration de la conjecture de Kepler, formulée par Johannes Kepler en 1611, tenant dans quelques 300 pages de développements mathématiques et ... 40 000 lignes de programme informatique.