Calcul du barême de points de handicap suivant l'écart de classement

Y. Morel

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Position du problème


Dans tous les sports existe un système de classement officiel. Le classement d'une personne donne une évaluation de son niveau dans la pratique de ce sport, niveau en particulier comparativement à celui des autres.
Ainsi, si deux adversaires s'affrontent, on s'attend "normalement" à ce que celui de plus haut classement l'emporte.
Ce "normalement" exprime, les joueurs le savent bien, un critère statistique et probabiliste.
Plus le classement de mon adversaire est fort par rapport au mien, mois j'ai de chances de gagner. Une telle rencontre sportive est donc dès le départ déséquilibrée.

Les règles du jeu sont très généralement symétriques afin d'assurer un minimum d'équité (les mêmes pièces aux échecs, l'alternance des services et des changements de côtés au tennis, le changement de côté à la mi-temps au foot, la mesure de la vitesse du vent lors des championnats d'athlétisme, … ).
On peut donc aussi se poser la question de cette équité face aux classements, ou plutôt de: comment rétablir cette équité face aux éventuels déséquilibres de classement ?
Dans les sports ou jeux ou il a un décompte de points, mettons que le premier à 10 l'emporte, quel handicap doit-on attribuer au joeur de meilleur classement afin que la probabilité que chacun l'emporte soit égale ?

Modèle et paramètres - Partie classique, sans handicap


La question portant sur un nombre de points de handicap, il est naturel d'utiliser comme paramètre de base non pas la probabilité de victoire d'une partie complète, mais la probabilité de victoire d'un seul point.
On note dans toute la suite $p$ cette probabilité.
On notera de plus $N$ le nombre de points de la partie. On suppose dans un premier temps que le premier arrivé à ce score l'emporte (pas de "deux points d'écart", ni autre règle de ce type).

Exemple simple d'une partie en $N=2$ points


Pour une partie en deux points, le premier arrivant à 2 ayant gagné, la situation se représente à l'aide d'un arbre. Le joueur A affronte le joeur B, chaque branche représente l'issue d'un point disputé. Le vainqueur du point est indiqué à l'extrémité. En indice, le score est indiqué, score de A en premier. À chaque point, indépendamment les uns des autres, le joueur $A$ gagne avec la probabilité $p$ et perd avec la probabilité $q=1-p$.
\[\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(-.2,-1.7)(6,1.8) \psline(1,1)(0,0)(1,-1) \rput[l](1.1,1){$A_{1/0}$}\rput(.4,.65){$p$} \rput[l](1.1,-1){$B_{0/1}$}\rput(.4,-.7){$q$} \psline(3,1.5)(2,1)(3,.5) \rput[l](3.1,1.5){\blue$A_{2/0}$}\rput(2.5,1.4){$p$} \rput[l](3.1,.5){$B_{1/1}$}\rput(2.5,.5){$q$} \psline(3,-1.5)(2,-1)(3,-.5) \rput[l](3.1,-.5){$A_{1/1}$}\rput(2.5,-.6){$p$} \rput[l](3.1,-1.5){\red$B_{0/2}$}\rput(2.5,-1.5){$q$} \psline(5,1)(4,.5)(5,.5) \rput[l](5.1,1){\blue$A_{2/1}$}\rput(4.5,.9){$p$} \rput[l](5.1,.5){\red$B_{1/2}$}\rput(4.5,.25){$q$} \psline(5,-1)(4,-.5)(5,-.5) \rput[l](5.1,-.5){\blue$A_{2/1}$}\rput(4.5,-.3){$p$} \rput[l](5.1,-1){\red$B_{1/2}$}\rput(4.5,-1.){$q$} \end{pspicture}\]


Sa probabilité de victoire de la rencontre est, somme des probabilités des événements en bleu (formule des probabilités totales, pour être savant),
\[\bgar{ll}P_2&=p\tm p+p\tm q\tm p+q\tm p\tm p\\[.6em] &=p^2+2p^2q\enar\]



Deuxième exemple avec $N=3$ points


On peut traîter de même ce cas suivant, du premier qui arrive à 3 points afin d'essayer d'en déduire une formule générale pour le cas $N$ quelconque.

\[\psset{unit=1.1cm}\begin{pspicture}(-.2,-3.5)(10.5,3.5) \psline(1,2)(0,0)(1,-2) \rput[l](1.1,2){$A_{1/0}$} \rput[l](1.1,-2){$B_{0/1}$} % \psline(3,2.5)(2,2)(3,1.5) \rput[l](3.2,2.5){$A_{2/0}$} \rput[l](3.2,1.5){$B_{1/1}$} % \psline(3,-2.5)(2,-2)(3,-1.5) \rput[l](3.2,-1.5){$A_{1/1}$} \rput[l](3.2,-2.5){$B_{0/2}$} % \psline(5,3)(4,2.5)(5,2.5) \rput[l](5.2,3){\blue$A_{3/0}$} \rput[l](5.2,2.5){$B_{2/1}$} \psline(7,3)(6,2.5)(7,2.5) \rput[l](7.2,3){\blue$A_{3/1}$} \rput[l](7.2,2.5){$B_{2/2}$} \psline(9,3)(8,2.5)(9,2.5) \rput[l](9.2,3){\blue$A_{3/2}$} \rput[l](9.2,2.5){\red$B_{2/3}$} % \psline(5,2)(4,1.5)(5,1) \rput[l](5.2,2){$A_{2/1}$} \rput[l](5.2,1){$B_{1/2}$} \psline(7,2)(6,2)(7,1.5) \rput[l](7.2,2){\blue$A_{3/1}$} \rput[l](7.2,1.5){$B_{2/2}$} \psline(9,2)(8,1.5)(9,1.5) \rput[l](9.2,2){\blue$A_{3/2}$} \rput[l](9.2,1.5){\red$B_{2/3}$} % \psline(7,1)(6,1)(7,.5) \rput[l](7.2,1){$A_{2/2}$} \rput[l](7.2,.5){\red$B_{1/3}$} \psline(9,1)(8,1)(9,.5) \rput[l](9.2,1){\blue$A_{3/2}$} \rput[l](9.2,.5){\red$B_{2/3}$} %% \psline(5,-3)(4,-2.5)(5,-2.5) \rput[l](5.2,-3){\red$B_{0/3}$} \rput[l](5.2,-2.5){$A_{1/2}$} \psline(7,-3)(6,-2.5)(7,-2.5) \rput[l](7.2,-2.5){$A_{2/2}$} \rput[l](7.2,-3){\red$B_{1/3}$} \psline(9,-3)(8,-2.5)(9,-2.5) \rput[l](9.2,-2.5){\blue$A_{3/2}$} \rput[l](9.2,-3){\red$B_{2/3}$} % \psline(5,-2)(4,-1.5)(5,-1) \rput[l](5.2,-1){$A_{2/1}$} \rput[l](5.2,-2){$B_{1/2}$} \psline(7,-2)(6,-2)(7,-1.5) \rput[l](7.2,-2){\red$B_{1/3}$} \rput[l](7.2,-1.5){$A_{2/2}$} \psline(9,-2)(8,-1.5)(9,-1.5) \rput[l](9.2,-2){\red$B_{2/3}$} \rput[l](9.2,-1.5){\blue$A_{3/2}$} % \psline(7,-1)(6,-1)(7,-.5) \rput[l](7.2,-1){$B_{2/2}$} \rput[l](7.2,-.5){\blue$A_{3/1}$} \psline(9,-1)(8,-1)(9,-.5) \rput[l](9.2,-.5){\blue$A_{3/2}$} \rput[l](9.2,-1){\red$B_{2/3}$} \end{pspicture}\]

Pour gagner, $A$ peut:
  • soit gagner 3 points successivement sans jamais perdre de point; il y a une seule telle façon, de probabilité $p^3$;
  • gagner 3 points et en perdre 1 (score 3/1); il y a 3 telles façons: perdre le 1er point, le 2ème ou le 3ème. Chaque tel chemin a une probabilité $p^3q$
  • gagner 3 points et en perdre 2 (score 3/2): il y a $6=\lp\bgar{c}5\\2\enar\rp$ telles façons: le nombre de façons de positionner les 2 points perdus sur 5 points joués. Chaque tel chemin a une probabilité $p^3q^2$

    On note $\lp\bgar{c}n\\p\enar\rp$ le coefficient binomial égal au nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$.
En ajoutant toutes ces probabilités, on trouve que $A$ gagne la partie avec une probabilité
\[P_3=p^3+3p^3q+6p^3q^2\]



Généralisation: partie en $N$ points


Le raisonnement précédent se généralise. Pour gagner une partie en $N$ points, $A$ peut
  • gagner $N$ points et n'en perdre aucun. Il y a une seule telle façon, de probabilité $p^N$
  • gagner $N$ points et en perdre un seul. Il y a $\lp\bgar{c}N\\1\enar\rp$ façons: les façons de choisir où le point est perdu parmi les $N+1$ points joués, sauf le dernier que $A$ doit forcément gagner pour remporter la partie.
    Chaque chemin a une probabilité $p^Nq^1$.
  • gagner $N$ points et en perdre 2. Il y a $\lp\bgar{c}N+1\\2\enar\rp$ façons: les façons de choisir où les 2 points perdus se sitent parmi les $N+1$ points joués ($N+2$ moins le dernier)
    Chaque chemin a une probabilité $p^Nq^2$.
  • …
  • gagner $N$ points et en perdre $i$. Il y a $\lp\bgar{c}N+i-1\\i\enar\rp$ façons: les façons de choisir où les $i$ points perdus se sitent parmi les $N+i-1$ points joués ($N+i$ moins le dernier) Chaque chemin a une probabilité $p^Nq^i$.


En ajoutant toutes ces probabilités, on trouve que $A$ gagne la partie avec une probabilité
\[\bgar{ll}P_N&=p^N+ \lp\bgar{c}N\\1\enar\rp p^Nq^1+ \lp\bgar{c}N+1\\2\enar\rp p^Nq^2+\dots\\[1.2em] &=\dsp\sum_{i=0}^{N-1}\lp\bgar{c}N+i-1\\i\enar\rp p^Nq^i\enar\]



Partie avec points de handicap


On garde les mêmes notations que précédemment, et on considère que $A$ est le joueur le mieux classé, et que $B$ commence la partie avec un certain nombre de points $H$.


Par exemple, pour la partie en $N=2$ points, et avec un point de handicap contre $A$, on a la partie:
\[\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1,-1.5)(4,2) \rput[r](-.2,0){\small$0/1$} \psline(1,1)(0,0)(1,-1) \rput[l](1.1,1){$A_{1/1}$} \rput[l](1.1,-1){\red$B_{0/2}$} \psline(3,1.5)(2,1)(3,.5) \rput[l](3.1,1.5){\blue$A_{2/1}$} \rput[l](3.1,.5){\red$B_{1/2}$} \end{pspicture}\]

et la probabilité de victoire pour $A$ est seulement
\[P_2=p^2\]

On généralise ce résultat, en notant $P(N,H)$ la probabilité pour $A$ de gagner la rencontre qui se distpute en $N$ points alors que son adversaire $B$ débute la partie avec $H$ points. Comme le montre l'exemple précédent, il suffit de tronquer la somme:
\[P(N,H)=\dsp\sum_{i=0}^{N-1-H}\lp\bgar{c}N+i-1\\i\enar\rp p^Nq^i\]



Partie équitable


La question se pose maintenant, en terme de probabilité: déterminer le handicap $H$ tel que
\[P(N,H)=\dfrac12\]

c'est-à-dire le handicap qui rééquilibre la différence de niveau entre les deux joueurs, ou encore de telle sorte que $A$ ait maintenant la même probabilité de gagner que son adversaire.


On peut résoudre numériquement ce problème, en calculant toutes les probabiltés $P(N,H)$ pour tous les points de handicap possibles, et sélectionner la bonne valeur de $H$.

Il reste encore pour faire ces calculs à définir la probabilité $p$ de victoire d'un point.

Estimation de la probabilité $p$ de victoire d'un point


Cette probabilité est finalement celle qui peut être la plus difficile à exprimer. Elle doit dépendre de l'écart entre les classements des deux joueurs et vérifier:
  • à classement égal, pour un écart $e=0$, on doit avoir $p=1/2$
  • pour un écart "important", cette probabilité peut tendre vers 1
On peut choisir par exemple un comportement proportionnel: pour un écart de classement $e$,
\[p=\dfrac12+\dfrac{e}{2M}\]

où $M$ est le nombre de classements différents qui peuvent se rencontrer.
Cela correspond au choix fait dans cet article où une dépendance proportionnelle est trouvée entre les écarts de classements et la propabilité $p$.
Néanmoins, une probabilité de gain trop proche de 1 conduit à des points de handicap très élevés, la totalité des points de la rencontre moins 1 ou 2 points.
Dans l'article précédent, les auteurs préconisent de limiter le nombre de points de handicap (à 7 points au maximum sur 11, le contexte traîté étant celui du tennis de table).

On peut aussi atténuer les probabilités de gain d'un point, par exemple en prenant pour cette probabilité
\[p=\dfrac12+\dfrac{e}{2M^\alpha}\]

$\alpha$ étant un nombre réel supérieur à 1.

Parties avec 2 points d'écart



Exemple d'une partie en $N=2$ points


Une règle généralement utilisée consiste à imposer que le vainqueur ait au minimum deux points de plus que son adversaire.
À chaque situation d'égalité, la partie est relancée.

\[\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(-.2,-2.4)(8.8,2.4) \psline(1,1.5)(0,0)(1,-1.5) \rput[l](1.1,1.5){$A_{1/0}$} \rput[l](1.1,-1.5){$B_{0/1}$} \psline(3,2)(2,1.5)(3,1) \rput[l](3.1,2){\blue$A_{2/0}$} \rput[l](3.1,1){\magenta\fbox{\black$B_{1/1}$}} \psline(3,-2)(2,-1.5)(3,-1) \rput[l](3.1,-1){\magenta\fbox{\black$A_{1/1}$}} \rput[l](3.1,-2){\red$B_{0/2}$} \psline(5,1.5)(4,1)(5,1) \rput[l](5.1,1.5){$A_{2/1}$} \psline(7,2)(6,1.5)(7,1.5) \rput[l](7.1,2){\blue$A_{3/1}$} \rput[l](7.1,1.5){\magenta\fbox{\black$B_{2/2}$}} \rput[l](8.1,1.5){\dots} \rput[l](5.1,1){$B_{1/2}$} \psline(7,.5)(6,1)(7,1) \rput[l](7.1,1){\magenta\fbox{\black$A_{2/2}$}} \rput[l](8.1,1){\dots} \rput[l](7.1,.5){\red$B_{1/3}$} \psline(5,-1.5)(4,-1)(5,-1) \rput[l](5.1,-1){$A_{2/1}$} \rput[l](5.1,-1.5){$B_{1/2}$} \psline(7,-2)(6,-1.5)(7,-1.5) \rput[l](7.1,-2){\red$B_{1/3}$} \rput[l](7.1,-1.5){\magenta\fbox{\black$A_{2/2}$}} \rput[l](8.1,-1.5){\dots} \psline(7,-.5)(6,-1)(7,-1) \rput[l](7.1,-1){\magenta\fbox{\black$B_{2/2}$}} \rput[l](8.1,-1){\dots} \rput[l](7.1,-.5){\blue$A_{3/1}$} \end{pspicture}\]

Le calcul de la probabilité de gain de la rencontre pour $A$ ne semble pas évident à première vue car il y des chemins infinis dans cet arbre.
En fait, on peut faire simplement le calcul en évitant un calcul de somme infinie en posant $P_{eq}$ la probabilité pour $A$ de gagner la rencontre à partir d'une situation d'égalité.
Avec cette notation, on a ici la probabilité de victoire pour $A$ dans une partie en $N=2$ points:
\[P_2=p^2+2pq P_{eq}\]

Il reste à déterminer $P_{eq}$. Pour ceci, en regardant de plus près à partir d'une quelconque situation d'égalité, on a:
\[P_{eq}=p^2+2pqP_{eq}\]

ce qui nous permet d'obtenir directement, en isolant $P_{eq}$,
\[P_{eq}=\dfrac{p^2}{1-2pq}\]

En résumé, la probabilité de gain pour $A$ dans une partie en 2 points et avec 2 points d'écart est
\[P_2=p^2+\dfrac{2p^3q}{1-2pq}\]



Partie en $N$ points


On peut rapidement généraliser le résultat précédent. Sans deux points d'écart, on avait:
\[P_N=\dsp\sum_{i=0}^{N-1}\lp\bgar{c}N+i-1\\i\enar\rp p^Nq^i\]

Dans cette expression, pour $i=N-1$ les termes expriment une égalité. On adapte ainsi la formule en
\[P_N=\dsp\sum_{i=0}^{N-2}\lp\bgar{c}N+i-1\\i\enar\rp p^Nq^i +\lp\bgar{c}2N-2\\N-1\enar\rp p^{N-1}q^{N-1} P_{eq}\]

et donc, avec l'expression de $P_{eq}$:
\[P_N=\dsp\sum_{i=0}^{N-2}\lp\bgar{c}N+i-1\\i\enar\rp p^Nq^i +\lp\bgar{c}2N-2\\N-1\enar\rp \dfrac{p^{N+1}q^{N-1}}{1-2pq}\]



Partie en $N$ points avec $H$ points de handicap


Si on attribue initialement $H$ points de handicap contre $A$ (pour son adversaire), on a alors
\[P_N=\dsp\sum_{i=0}^{N-2-H}\lp\bgar{c}N+i-1\\i\enar\rp p^Nq^i +\lp\bgar{c}2N-2-H\\N-1-H\enar\rp \dfrac{p^{N+1}q^{N-1-H}}{1-2pq}\]



Outil de calcul du barême de points de handicap

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