Devoir de maths corrigé, Intégrales
Terminale générale, spécialité mathématiques
Devoir de mathématiques, et corrigé, posé en spé maths, terminale générale, année scolaire 2022/2023
Exercice 1: Quelques calculs d'intégrales
Calculer les intégrales:
;
;
;
À l'aide d'une intégration par parties, calculer
À l'aide d'une intégration par parties, calculer
Exercice 2: Exponentielle et intégrales (Bac 2014)
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé
, une courbe et la droite
où et sont les points de coordonnées respectives et
.
On désigne par la fonction dérivable sur dont la courbe représentative est .
On suppose, de plus, qu'il existe un réel tel que pour tout réel ,
Bac S - métropole, 11 septembre 2014 - 5 points
Cacher la correction
On désigne par la fonction dérivable sur dont la courbe représentative est .
On suppose, de plus, qu'il existe un réel tel que pour tout réel ,
-
- Justifier que la courbe passe par le point .
- Déterminer le coefficient directeur de la droite .
- Démontrer que pour tout réel ,
- On suppose que la droite est tangente à la courbe
au point .
Déterminer la valeur du réel .
- D'après la question précédente, pour tout réel ,
- Démontrer que pour tout réel de l'intervalle , .
- Démontrer que pour tout réel inférieur ou égal à , .
- Démontrer qu'il existe un unique réel de l'intervalle tel que . Justifier que .
- On désigne par l'aire, exprimée en unités d'aire,
du domaine défini par:
- Écrire sous la forme d'une intégrale.
- On admet que l'intégrale
est une valeur approchée de à près.
Calculer la valeur exacte de l'intégrale .
Correction exercice 2
Bac S - métropole, 11 septembre 2014 - 5 points
-
- On a ce qui montre que le point de coordonnées , c'est-à-dire , appartient à .
- Le coefficient directeur de la droite est .
- est de la forme
,
avec donc et
donc .
Ainsi, . - Si la droite est tangente à la courbe au point d'abscisse , alors le coefficient directeur de est . Ainsi,
- On a donc, avec ,
.
- Pour tout réel , et
, donc .
Pour tout , , donc , alors, par addition, . - Pour , , donc, et . Ainsi, et alors .
- Sur , est dérivable donc continue,
avec donc la fonction est
strictement croissante sur cet intervalle donc aussi sur l'intervalle
.
Or et donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection), l'équation admet une solution unique dans l'intervalle .
Or donc et donc .
- Pour tout réel , et
, donc .
-
- Comme sur , alors .
- La fonction a pour primitive la fonction
.
La fonction (forme ) a pour primitive la fonction donc la fonction a pour primitive la fonction .
La fonction a donc pour primitive la fonction définie par .
On a alors
Cacher la correction
Exercice 3: Logarithme et son carré, aire (IPP) et distance maximale (Bac 2008)
Les courbes C et C' données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal , les fonctions et définies sur l'intervalle par et .
Bac juin 2008
Cacher la correction
- On cherche à déterminer l'aire A (en unités d'aire) de la partie grisée.
On note et .- Vérifier que la fonction définie sur l'intervalle par est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire .
- Démontrer à l'aide d'une intégration par partie que .
- Donner la valeur de A.
- Pour appartenant à l'intervalle , on note le point de la courbe C d'abscisse et le point de la courbe C' de même abscisse.
Pour quelle valeur de la distance MN est-elle maxiale ? Calculer la valeur maximale de MN.
Correction exercice 3
Bac juin 2008
-
- On dérive: avec donc et donc ,
et alors, ,
soit
ce qui montre que est bien une primtive de .
On en déduit
- On pose donc et donc et et alors, en intégrant par parties,
car . - On en déduit la valeur de A:
- On dérive: avec donc et donc ,
- Pour , on a
Pour trouver le maximum de cette fonction, il suffit de connaître ses variations.
On a
avec et donc
La distance est donc maximale en et cette distance maximale est
Cacher la correction
Voir aussi: