Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques terminale générale, spécialité mathématiques: calcul algébrique, dérivée, sens de variation, suite récurrence},
pdftitle={Devoir de mathématiques},
pdfkeywords={calcul algébrique, dérivée, sens de variation, suite récurrence, devoir corrigé, Mathématiques, terminale générale spécialité mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \href{/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/Sujets-Devoirs-Corriges/2020-2021/}{xymaths - Terminale, spécialité maths/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-2.5em}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\fbox{A} On trouve une unique solution: $x=2$ et $y=-3$. \\
\fbox{B} On trouve une unique solution: $x=3$ et $y=-2$.
\enex
\bgex cf. cours.
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item On a $f=e^u-v$ avec $u(x)=2x-1$ donc $u'(x)=2$ et $v(x)=2x$ donc $v'(x)=2$.
On obtient alors $f'=u'e^u-v'$, soit $f'(x)=2e^{2x-1}-2$.
Maintenant,
\[\bgar{ll}f'(x)>0
&\iff 2e^{2x-1}-2>0 \\
&\iff e^{2x-1}>1=e^0\\
&\iff 2x-1>0
\enar\]
car la fonction exponentielle est strictement croissante.\\
On en déduit donc que
$f'(x)>0\iff x> \frac12$, et donc les variations
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $\frac12$ && $+\infty$ \\\hline
$f'(x)$ && $-$ &\zb& $+$ &\\\hline
&&&&&\\
$f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&0&&\\
\hline\end{tabular}\]
\item En $-\infty$, on a $\dsp\lim_{x\to-\infty}2x-1=-\infty$, et donc, par composition des limites, $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^{2x-1}=0$, puis, par addition des limites,
$\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$.
\medskip
En $+\infty$, on a une forme indéterminée $"+\infty-\infty"$.\\
En factorisant, on a pour $x>0$,
\[f(x)=x\lp\dfrac{e^{2x-1}}{2x}-2\rp
=x\lp\dfrac{e^{x}}xe^{x-1}-2\rp\]
où, d'après le théorème de croissances comparées
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}x=+\infty$,
et $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{x-1}=+\infty$, et alors,
par produits et addition des limites, on obtient
$\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
\item D'après le tableau de variation précédent, on a trouvé que, pour tout réel $x$, $f(x)$ est positif, soit $f(x)\geqslant0$, c'est-à-dire
\[\bgar{ll}e^{2x-1}-2x\geqslant0
&\iff e^{2x-1}\geqslant2x\\
&\iff \dfrac{e^{2x}}e\geqslant2x\enar\]
soit encore, en multipliant par $e>0$, on obtient
$e^{2x}\geqslant2ex$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $f(x)=x^2+2$ et $C_f$ sa courbe représentative.
\bgen[a)]
\item L'équation réduite de la tangente à $C_f$ en $A$ est
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$, soit ici,
avec $f'(x)=2x$, on obtient l'équation
$y=2a(x-a)+a^2+2=2ax-a^2+2$.
\item La tangente passe par l'origine si et seulement si le point $O(0;0)$ lui appartient, soit
\[0=2a\tm0-a^2+2\iff a^2=2\iff a=\pm\sqrt2\]
On trouve ainsi deux points $A_1\lp\sqrt{a};f(\sqrt{a})\rp$, soit
$A_1(\sqrt2;4)$ et $A_2(-\sqrt2;4)$.
\enen
\enex
\clearpage
\bgex
Dans l'espace rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal
$(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k })$, on consid\`ere les points
$A(-2;2;1)$ et $B(4;1;-3)$ et le plan $P$ d'équation cartésienne
$2x-y+3z+2=0$.
\bgen[a)]
\item Pour $A$, $2x-y+3z+2=2\tm(-2)-2+3\tm1+2=-1\not=0$,
donc $A\notin P$.
Pour $B$, $2x-y+3z+2=2\tm4-1+3\tm(-3)+2=0$,
donc $B\in P$.
\item $\V{AB}(6;-1;-4)$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$, et donc
une représentation paramétrique de $(AB)$ est
\[(AB):\la\bgar{lcrcr}
x&=&-2&+&6t\\
y&=&2&-&t\\
z&=&1&-&4t
\enar\right.,t\in\R\]
\item $\vec{n}(2;-1;3)$ est un vecteur normal au plan $P$.
Comme $\Delta$ est aussi orthogonale à $P$, $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $P$.
Ainsi, une représentation paramétrique de $\Delta$ est
\[\Delta:\la\bgar{lcrcr}
x&=&-2&+&2t\\
y&=&2&-&t\\
z&=&1&+&3t
\enar\right.,t\in\R\]
\item Soit $I(x;y)$ l'intersection de la droite $\Delta$ et du plan $P$ (qui existe bien, et est unique, car $\Delta$ et $P$ sont orthogonaux), alors
il existe un réel $t$ tel que
\[\Delta:\la\bgar{l}\bgar{lcrcr}
x&=&-2&+&2t\\
y&=&2&-&t\\
z&=&1&+&3t\enar\\
2x-y+3z+2=0
\enar\right.\]
La dernière équation donne alors,
\[\bgar{l}
2(-2+2t)-(2-t)+3(1+3t)+2=0\\
\iff14t-1=0\\
\iff t=\dfrac1{14}
\enar\]
On trouve alors les coordonnées de $I(x;y;z)$
\[I:\la\bgar{lclcrcr}
x&=&-2&+&2\tm\dfrac1{14}&=&-\dfrac{13}7\\[1em]
y&=&2&-&\dfrac1{14}&=&\dfrac{27}{14}\\[1em]
z&=&1&+&3\tm\dfrac1{14}&=&\dfrac{17}{14}
\enar\right.\]
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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