Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Convexité - Géométrie dans l'espace

Terminale générale, spécialité mathématiques

Convexité - Géométrie dans l'espace

Devoir corrigé de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: convexité et géométrie dans l'espace
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Type: Corrigé de devoir
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: convexité et géométrie dans l'espace
Niveau
Terminale générale, spécialité mathématiques
Table des matières
  • Étude de la convexité d'une fonction
  • Étude d'une fonction: variations, limites, convexité, inégalité de convexité
  • Géométrie dans l'espace (d'après Baccalauréat général, spécialité mathématique, Amérique du Nord mai 2021, candidats libres)
Mots clé
convexité, géométrie dans l'espace, géométrie analytique, équations de plan, représentation paramétrique d&une droite de l'espace, droites parallèles, tangente à une courbe, spécialité mathématiques, terminale générale

Sujet du devoir

Quelques autres devoirs



Quelques exercices corrigés

Exercices corrigés
Position relative, convexité


Exercices corrigés
Dérivées, tangente et convexité d'une fonction avec exponentielle


Exercices corrigés
Variations et courbe d'une fonction avec une exponentielle, convexité


Exercices corrigés
Etude d'une fonction avec une exponentielle, convexité


Exercices corrigés
Convexité d'un polynome


Voir aussi:

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Source Latex 

\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
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\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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	\protect\vspace*{\fill}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
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{%
\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}

\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}



\bgex
$g$ est deux fois dérivable et $g=e^u$ avec $u(x)=-3x+4$ donc $u'(x)=-3$
et donc $g'=u'e^u$, soit 
$g'(x)=-2\tm(-3)e^{-3x+4}=6e^{-3x+4}$

On dérive une deuxième fois cette fonction: $g'=6e^u$ avec la m\^eme fonction $u$ que précédemment, et donc
$g''=(g')'=6u'e^u$ soit
$g''(x)=6(-3)e^{-3x+4}=-18e^{-3x+4}$.

Comme $e^{-3x+4}>0$ pour tout réel $x$, on trouve donc que
$g''(x)<0$ pour tout réel $x$, et donc que $g$ est concave sur $\R$. 
\enex


\bgex
\bgen
\item On a $g(x)=-x^3\lp1-\dfrac{3}x+\dfrac1{x^3}\rp$ avec
  $\dsp\lim_{x\to-\infty}-x^3=+\infty$ et 
  $\dsp\lim_{x\to-\infty}\lp1-\dfrac{3}x+\dfrac1{x^3}\rp=1$ et donc,
  par produit des limites,
  $\dsp\lim_{x\to-\infty} g(x)=+\infty$.

\item On a $g'(x)=-3x^2+6x=3x(-x+2)$ qui est un trin\^ome du second degré de racines
  0 et 2, d'où le tableau de signes et de variations
  \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ &&0&&2&&4\\\hline
  $g'(x)$ &&$-$ &0&$+$&0&$-$&\\\hline
  &$+\infty$&&&&3&&\\
  $g$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
  &&&$-1$&&&&$-17$\\\hline
  \end{tabular}\]

\item La tangente $T_1$ en 1 à pour équation
  $T_1: y=g'(1)(x-1)+g(1)=3(x-1)+1=3x-2$

\item On dérive une deuxième fois la fonction $g$:
  $g''(x)=(g')'(x)=-6x+6$, et on a donc
  \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ &&$1$&&4\\\hline
  $g''(x)$ &&$+$ & $0$ &+&\\\hline
  $g$ && Convexe &$|$& Concave &\\\hline
  \end{tabular}\]
  ainsi, $g$ est convexe sur $]-\infty;1]$ et concave sur $[1;+\infty[$
  et admet un unique point d'inflexion en $I(1;g(1))$ soit $I(1;1)$. 

\item $g$ est convexe sur $]-\infty;1]$, et en particulier,
      $C_g$ y est au-dessus de ses tangentes, de $T_1$ entre autre.\\
      En d'autres termes, sur $]-\infty;1]$, on a $g(x)\geqslant 3x-2 \iff h(x)\geqslant0$. 
      \medskip
      $g$ est concave sur $[1;+\infty[$ donc $C_g$ est cette fois au-dessous de ses tangentes, dont $T_1$ et on a donc, sur $[1;4]$, $g(x)\leqslant 3x-2 \iff h(x)\leqslant0$.
          \medskip
          En résumé, on a les signes
  \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ &&$1$&&4\\\hline
  $h(x)$ && $+$ &\zb& $-$ &\\\hline
  \end{tabular}\]
          
\enen
\enex


\bgex
\textit{Baccalaur\'eat g\'en\'eral, sp\'ecialit\'e math\'ematique, Am\'erique du Nord mai 2021 (candidats libres)}
\[\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(6,7)
\pspolygon(0.5,0.4)(5.5,0)(5.5,5)(0.5,5.4)%ABFE
\uput[dl](0.5,0.4){A} \uput[dr](5.5,0){B} \uput[u](5.5,5){F} \uput[ul](0.5,5.4){E}
\psline(5.5,0)(8.5,1.4)(8.5,6.4)(5.5,5)%BCGF
\uput[r](8.5,1.4){C} \uput[ur](8.5,6.4){G} 
\psline(8.5,6.4)(3.5,6.8)(0.5,5.4)%GHE 
\uput[u](3.5,6.8){H} \uput[u](3,5.2){I}\uput[dr](7,0.7){J}\uput[l](0.5,2.9){K}
\psline[linewidth=1.6pt](0.5,0.4)(3,5.2)%AI
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](3,5.2)(7,0.7)%IJ
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](0.5,2.9)(3.5,6.8)%KH
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.4)(3.5,1.8)(3.5,6.8)%ADH
\uput[ur](3.5,1.8){D}
\psline[linestyle=dashed](3.5,1.8)(8.5,1.4)%DC
\end{pspicture}\]

\medskip
\begin{enumerate}
\item On a A(0;0;0) et I(0,5;0;1), donc $\V{AI}(0,5~;~0~;~1)$ 
  et K(0;0;0,5) et H(0;1;1) 
  donc $\V{KH}(0~;~1~;~0,5)$. 

Ces vecteurs ne sont pas colin\'eaires, donc les droites (AI) et (KH) ne sont pas parall\`eles.

\item Un vecteur directeur de $d_1$ est $\vec{u}_1(1;-2;3)$ 
  et un vecteur directeur de $d_2$ est $\vec{u}_2(1,1,2)$. 

  Ces deux vecteurs ne sont pas colin\'eaires donc les droites ne sont pas 
  parall\`eles. 

\item Le plan a pour vecteur normal le vecteur $\vec{p}(1~;~3~;~-2)$ et $d_2$ 
  a pour vecteur directeur $\vec{u_2}(1~;~1~;~2)$.

  Or $\vec{p} \cdot \vec{u_2} =  1 + 3 - 4 = 0$: 
  les vecteurs sont orthogonaux donc la droite $d_2$ est parall\`ele 
  au plan $\mathcal P$.

\item
\textbf{M\'ethode 1.} Soit $\Delta$ la perpendiculaire \`a $\mathcal P$ contenant M. Cette droite a pour vecteur directeur le vecteur $\vec{p}$, donc une \'equation param\'etrique de $\Delta$ est :
\[\la\bgar{rcl}
x&=&5 + 1t\\
y&=&3 + 3t\\
z&=&1 - 2t\\
\enar\right., t \in \R.\]
Le projet\'e L,  de M sur le plan $\mathcal P$ a ses coordonn\'ees qui v\'erifient les quatre \'equations:
\[\left\{\begin{array}{rcl}
x&=&5 + 1t\\
y&=&3 + 3t\\
z&=&1 - 2t\\
x + 3y - 2z + 2&=&0
\end{array}\right. , t \in \R.\]
et donc, en substituant les expressions des coordonn\'ees dans la derni\`ere 
\'equation du plan, on obtient
\[5 + t  + 3(3 + 3t) - 2(1 - 2t) + 2 = 0 
\iff t = - 1\]
En reportant dans les trois premi\`eres \'equations du syst\`eme, on trouve alors 
les coordonn\'ees de L projet\'e orthogonal de M sur $\mathcal P$ :
\[\la\bgar{lcl}
x&=&5 - 1\\
y&=&3 + 3\times (- 1)\\
z&=&1 - 2\times (- 1)\\
\enar\right. \iff 
\la\bgar{l c l}
x&=&4\\
y&=&0\\
z&=&3\\
\enar\right.\]

Donc le projet\'e orthogonal de M sur le plan $\mathcal P$ est le le point L(4~;~0~;~3).

\bigskip
\textbf{M\'ethode 2.} On a $\V{ML}(-1~;~- 3~;~2)$, 
donc $\V{ML}=-\vec{p}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.

D'autre part 
\[L(4~;~0~;~3)\in\mathcal{P}\iff 4 + 3 \tm 0 - 2 \tm 3 + 2 = 6 - 6 = 0\] 
est vraie, donc L est bien le projet\'e orthogonal de M sur le plan $\mathcal P$.
\end{enumerate}
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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