Source Latex
de la correction du devoir
\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
\usepackage[french]{babel}
%%\selectlanguage{francais}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\headsep}{0in} % default=0.35in
\setlength{\parskip}{0ex}
\setlength{\parindent}{0mm}
\voffset=-1.5cm
\textheight=27.cm
\textwidth=18.5cm
\topmargin=0cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.cm
\usepackage{ifthen}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
{\pagestyle{empty}}%
{%
\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
$g$ est deux fois dérivable et $g=e^u$ avec $u(x)=-3x+4$ donc $u'(x)=-3$
et donc $g'=u'e^u$, soit
$g'(x)=-2\tm(-3)e^{-3x+4}=6e^{-3x+4}$
On dérive une deuxième fois cette fonction: $g'=6e^u$ avec la m\^eme fonction $u$ que précédemment, et donc
$g''=(g')'=6u'e^u$ soit
$g''(x)=6(-3)e^{-3x+4}=-18e^{-3x+4}$.
Comme $e^{-3x+4}>0$ pour tout réel $x$, on trouve donc que
$g''(x)<0$ pour tout réel $x$, et donc que $g$ est concave sur $\R$.
\enex
\bgex
\bgen
\item On a $g(x)=-x^3\lp1-\dfrac{3}x+\dfrac1{x^3}\rp$ avec
$\dsp\lim_{x\to-\infty}-x^3=+\infty$ et
$\dsp\lim_{x\to-\infty}\lp1-\dfrac{3}x+\dfrac1{x^3}\rp=1$ et donc,
par produit des limites,
$\dsp\lim_{x\to-\infty} g(x)=+\infty$.
\item On a $g'(x)=-3x^2+6x=3x(-x+2)$ qui est un trin\^ome du second degré de racines
0 et 2, d'où le tableau de signes et de variations
\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&0&&2&&4\\\hline
$g'(x)$ &&$-$ &0&$+$&0&$-$&\\\hline
&$+\infty$&&&&3&&\\
$g$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
&&&$-1$&&&&$-17$\\\hline
\end{tabular}\]
\item La tangente $T_1$ en 1 à pour équation
$T_1: y=g'(1)(x-1)+g(1)=3(x-1)+1=3x-2$
\item On dérive une deuxième fois la fonction $g$:
$g''(x)=(g')'(x)=-6x+6$, et on a donc
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$1$&&4\\\hline
$g''(x)$ &&$+$ & $0$ &+&\\\hline
$g$ && Convexe &$|$& Concave &\\\hline
\end{tabular}\]
ainsi, $g$ est convexe sur $]-\infty;1]$ et concave sur $[1;+\infty[$
et admet un unique point d'inflexion en $I(1;g(1))$ soit $I(1;1)$.
\item $g$ est convexe sur $]-\infty;1]$, et en particulier,
$C_g$ y est au-dessus de ses tangentes, de $T_1$ entre autre.\\
En d'autres termes, sur $]-\infty;1]$, on a $g(x)\geqslant 3x-2 \iff h(x)\geqslant0$.
\medskip
$g$ est concave sur $[1;+\infty[$ donc $C_g$ est cette fois au-dessous de ses tangentes, dont $T_1$ et on a donc, sur $[1;4]$, $g(x)\leqslant 3x-2 \iff h(x)\leqslant0$.
\medskip
En résumé, on a les signes
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ &&$1$&&4\\\hline
$h(x)$ && $+$ &\zb& $-$ &\\\hline
\end{tabular}\]
\enen
\enex
\bgex
\textit{Baccalaur\'eat g\'en\'eral, sp\'ecialit\'e math\'ematique, Am\'erique du Nord mai 2021 (candidats libres)}
\[\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(6,7)
\pspolygon(0.5,0.4)(5.5,0)(5.5,5)(0.5,5.4)%ABFE
\uput[dl](0.5,0.4){A} \uput[dr](5.5,0){B} \uput[u](5.5,5){F} \uput[ul](0.5,5.4){E}
\psline(5.5,0)(8.5,1.4)(8.5,6.4)(5.5,5)%BCGF
\uput[r](8.5,1.4){C} \uput[ur](8.5,6.4){G}
\psline(8.5,6.4)(3.5,6.8)(0.5,5.4)%GHE
\uput[u](3.5,6.8){H} \uput[u](3,5.2){I}\uput[dr](7,0.7){J}\uput[l](0.5,2.9){K}
\psline[linewidth=1.6pt](0.5,0.4)(3,5.2)%AI
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](3,5.2)(7,0.7)%IJ
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](0.5,2.9)(3.5,6.8)%KH
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.4)(3.5,1.8)(3.5,6.8)%ADH
\uput[ur](3.5,1.8){D}
\psline[linestyle=dashed](3.5,1.8)(8.5,1.4)%DC
\end{pspicture}\]
\medskip
\begin{enumerate}
\item On a A(0;0;0) et I(0,5;0;1), donc $\V{AI}(0,5~;~0~;~1)$
et K(0;0;0,5) et H(0;1;1)
donc $\V{KH}(0~;~1~;~0,5)$.
Ces vecteurs ne sont pas colin\'eaires, donc les droites (AI) et (KH) ne sont pas parall\`eles.
\item Un vecteur directeur de $d_1$ est $\vec{u}_1(1;-2;3)$
et un vecteur directeur de $d_2$ est $\vec{u}_2(1,1,2)$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colin\'eaires donc les droites ne sont pas
parall\`eles.
\item Le plan a pour vecteur normal le vecteur $\vec{p}(1~;~3~;~-2)$ et $d_2$
a pour vecteur directeur $\vec{u_2}(1~;~1~;~2)$.
Or $\vec{p} \cdot \vec{u_2} = 1 + 3 - 4 = 0$:
les vecteurs sont orthogonaux donc la droite $d_2$ est parall\`ele
au plan $\mathcal P$.
\item
\textbf{M\'ethode 1.} Soit $\Delta$ la perpendiculaire \`a $\mathcal P$ contenant M. Cette droite a pour vecteur directeur le vecteur $\vec{p}$, donc une \'equation param\'etrique de $\Delta$ est :
\[\la\bgar{rcl}
x&=&5 + 1t\\
y&=&3 + 3t\\
z&=&1 - 2t\\
\enar\right., t \in \R.\]
Le projet\'e L, de M sur le plan $\mathcal P$ a ses coordonn\'ees qui v\'erifient les quatre \'equations:
\[\left\{\begin{array}{rcl}
x&=&5 + 1t\\
y&=&3 + 3t\\
z&=&1 - 2t\\
x + 3y - 2z + 2&=&0
\end{array}\right. , t \in \R.\]
et donc, en substituant les expressions des coordonn\'ees dans la derni\`ere
\'equation du plan, on obtient
\[5 + t + 3(3 + 3t) - 2(1 - 2t) + 2 = 0
\iff t = - 1\]
En reportant dans les trois premi\`eres \'equations du syst\`eme, on trouve alors
les coordonn\'ees de L projet\'e orthogonal de M sur $\mathcal P$ :
\[\la\bgar{lcl}
x&=&5 - 1\\
y&=&3 + 3\times (- 1)\\
z&=&1 - 2\times (- 1)\\
\enar\right. \iff
\la\bgar{l c l}
x&=&4\\
y&=&0\\
z&=&3\\
\enar\right.\]
Donc le projet\'e orthogonal de M sur le plan $\mathcal P$ est le le point L(4~;~0~;~3).
\bigskip
\textbf{M\'ethode 2.} On a $\V{ML}(-1~;~- 3~;~2)$,
donc $\V{ML}=-\vec{p}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
D'autre part
\[L(4~;~0~;~3)\in\mathcal{P}\iff 4 + 3 \tm 0 - 2 \tm 3 + 2 = 6 - 6 = 0\]
est vraie, donc L est bien le projet\'e orthogonal de M sur le plan $\mathcal P$.
\end{enumerate}
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
Télécharger le fichier source 
