Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Etude de fonction et convexité
Terminale générale, spécialité mathématiques
Etude de fonction et convexité
Devoir de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: convexité, position relative, TVI- Fichier
- Type: Corrigé de devoir
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- Description
- Devoir de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: convexité, position relative, TVI
- Niveau
- Terminale générale, spécialité mathématiques
- Table des matières
- QCM (Baccalauréat général, spécialité mathématiques, Asie 8 juin 2021)
- Intersection et position relative - Distane maximale entre deux points sur deux courbes (Baccalauréat, terminale générale spécialité mathématiques, 15 mars 2021)
- Étude fonction et convexité (Baccalauréat général, spécialité mathématiques, Métropole 8 juin 2021)
- Mots clé
- convexité, point d'inflexion, position relative, TVI
- Sujet du devoir
- Voir aussi:
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Morel - \href{/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/Sujets-Devoirs-Corriges/2020-2021/}{xymaths - Terminale, spécialité maths/}} \cfoot{} \rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \hfill{\bf\Large{Correction du devoir de math\'ematiques}}\hfill\fbox{A} \vspace*{.5cm} \bgex \textit{QCM 1 - Baccalauréat général, spécialité mathématiques, Asie 8 juin 2021} \begin{enumerate} \item $f(x) = \lp x^2 - 2x - 1\rp e^x= x^2e^x - 2x e^x - e^x$. Comme $\dsp\lim_{x \to - \infty} e^x = 0$, et que, par croissances comparées, $\dsp\lim_{x \to - \infty} 2x e^x = 0$ et $\dsp\lim_{x \to - \infty} x^2 e^x = 0$, on obtient, par somme de limites: $\dsp\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$. \textbf{Réponse C.} \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{3}{5+e^x}$. \bgit \item On a $\dsp\lim_{x \to - \infty} f(x) = \dfrac{3}{5}$ : la droite d'équation $y = \dfrac{3}{5}$ est asymptote horizontale en moins l'infini \item On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale au voisinage de plus l'infini. \enit \textbf{Réponse C}. \item On voit sur la figure que $f''(- 3) = f''(2) = f''(5) = 0$ : la dérivée seconde s'annule trois fois donc la fonction $f$ admet trois points d'inflexion. \textbf{Réponse B}. \item $u_n=n^2 - 17n + 20$ est un trin\^ome du second degré qui a un minimum en $n_0=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{17}{2}$. Le minimum de la suite est donc $u_8$ ou $u_9$ qui est aussi un minorant de la suite. \textbf{Réponse A}. \item \textbf{Réponse A}. \end{enumerate} \enex \bgex \textit{Baccalauréat, terminale générale spécialité mathématiques, 15 mars 2021} %\textbf{La question 3 est indépendante des questions 1 et 2.} %\medskip \begin{enumerate} \item \bgen[a)] \item Les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont les points d'abscisses $x$ solutions de l'équation $f(x)=g(x)$, soit \[f(x)=g(x) \iff x^2e^{-x}=e^{-x}\iff (x^2-1)e^{-x}=0\] Pour tout réel $x$, $e^{-x}>0$ donc en particulier $e^{-x}\neq 0$, et alors \[f(x)=g(x) \iff x^2-1=0 \iff x=-1 \text{ ou } x=1\] Pour $x=-1$, $g(x)=e$, et pour $x=1$, $g(x)=e^{-1}$. Les coordonnées des points d'intersection sont donc $\lp-1~;~e\rp$ et $\lp1~;~e^{-1}\rp$. \item \'Etudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, revient à étudier le signe de la différence $\varphi$ définie par \[\varphi(x)=f(x)-g(x)=(x^2-1)e^{-x}\] soit \[\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \def\esp{\hspace*{1cm}} \begin{array}{|c | *7{c} |} \hline x & -\infty & \esp & -1 & \esp & 1 & \esp & +\infty \\\hline x^2-1 & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &\\\hline e^{-x} & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\\hline (x^2-1)e^{-x} & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &\\ \hline \end{array}\] Donc sur les intervalles $]-\infty~;~-1[$ et $]1~;~+\infty[$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$, et sur l'intervalle $]-1~;~1[$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous de la courbe $\mathcal{C}_g$, \enen \item \bgen[a)] \item On a $d(x)=(1-x^2)e^{-x}$, soit $d=uv$ avec $u(x)=1-x^2$ donc $u'(x)=-2x$, et $v(x)=e^{-x}$ soit $v=e^w$ donc $v'=w'e^w$ et donc $v'(x)=-e^{-x}$. On a alors $d'=u'v+uv'$, soit \[\bgar{ll}d'(x)&=-2xe^{-x}+\lp1-x^2\rp\lp-e^{-x}\rp\\ &=e^{-x}\lp-2x-1+x^2\rp \enar\] \item Dans la dérivée précédente, on a $e^{-x}>0$ pour tout réel $x$, et le trin\^ome du second degré a pour discriminant $\Delta=(-2)^2+4=8>0$ et admet donc deux racines $x_1=\dfrac{2-\sqrt8}2=1-\sqrt2$ et $x_2=1+\sqrt2$. On a alors \[\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \def\esp{\hspace*{0cm}} \begin{array}{|c | *{11}{c} |} \hline x & -\infty & \esp & -1 & \esp & 1-\sqrt{2} & \esp & 1 & \esp & 1+\sqrt{2} & \esp & +\infty \\\hline e^{-x} & & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + &\\\hline x^2-2x-1& & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & + &\\\hline d'(x)& & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & + &\\\hline &&&&&&&&&&&\\ $d$&&&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.8,-.3)(1,.8)&&& \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.7,.8)(1.4,-.3)&&&& \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.8,-.3)(1,.8)&\\ &&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}\] \bgit \item Sur l'intervalle $\left [-1~;~1 - \sqrt{2}\right [$, $d'(x)>0$ donc $d$ est strictement croissante. \item Sur l'intervalle $\left ]1-\sqrt{2}~;~1\right ]$, $d'(x)<0$ donc $d$ est strictement décroissante. \enit \item D'après la question précédente, la distance $d(x)$ est maximale pour $x_0= 1-\sqrt{2}$, et vaut alors $d\left(1-\sqrt{2}\right)\approx 1,3$ \enen \item On étudie la fonction $h$. \\ La fonction $h$ est dérivable, donc continue ssur $\R$, avec $h'(x)=-e^{-x}-1$ donc, comme $e^{-x}>0\iff-e^{-x}<0$, et donc $h'(x)=-e^{-x}-1<-1<0$ et la fonction $h$ est donc strictement décroissante sur $\R$. \bgit \item $h(-1)=e^{1}+1-2= e-1>0$; comme $h$ est strictement décroissante, $h(x)>0$ pour $x<-1$, donc $h$ ne s'annule pas sur l'intervalle $]-\infty~;~-1[$. \item $h(0)=e^{0}-2 = -1 <0$; comme $h$ est strictement décroissante, $h(x)<0$ pour $x>0$, donc $h$ ne s'annule pas sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. \item Sur l'intervalle $[-1~;~0]$, la fonction $h$ est continue et strictement décroissante, et on sait que $h(-1)>0$ et $h(0)<0$; donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, ou théorème de la bijection, l'équation $h(x)=0$ admet une solution unique. \enit La droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}_g$ ont donc un unique point d'intersection dont l'abscisse est comprise entre $-1$ et $0$. \enen \enex \bgex \textit{Baccalauréat général, spécialité mathématiques, Métropole 8 juin 2021} \begin{center}\textbf{Partie 1}\end{center} \begin{enumerate} \item \begin{list}{\textbullet}{D'après la courbe représentant la fonction dérivée $f'$:} \item la fonction $f'$ est positive sur $]-\infty~;~1[$ donc la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle; \item la fonction $f'$ est négative sur $]1~;~+\infty[$ donc la fonction $f$ est décroissante sur cet intervalle. \end{list} \item \begin{list}{\textbullet}{D'après la courbe représentant la fonction dérivée $f'$:} \item la fonction $f'$ est décroissante sur $]-\infty~;~0[$ donc la fonction $f$ est concave sur cet intervalle; \item la fonction $f'$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$ donc la fonction $f$ est convexe sur cet intervalle. \end{list} \end{enumerate} \medskip \begin{center}\textbf{Partie 2}\end{center} \smallskip On admet que la fonction $f$ mentionnée dans la Partie 1 est définie sur $\R$ par: $f(x) = (x + 2)e^{-x}.$ \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout nombre réel $x$, $f(x) = (x + 2)e^{-x}=xe^{-x}+2e^{-x}= \dfrac{x}{e^{x}}+ 2e^{-x}$. Par croissances comparées on a: $\dsp\lim_{x \to ++ \infty} \dfrac{e^{x}}{x}= +\infty$ donc $\dsp\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{e^{x}}= 0$. De plus $\dsp\lim_{x \to + \infty}e^{-x}= 0$ donc $\dsp\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. On en déduit que la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $y=0$, c'est-à-dire l'axe des abscisses, comme asymptote horizontale en $+\infty$. \item \begin{enumerate}[a)] \item $f'(x)=1\tm e^{-x} + (x+2)\tm (-1)e^{-x} = (1-x-2)e^{-x}=(-x-1)e^{-x}$. \item Pour tout $x$, $e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-x-1$; donc $f'(x)$ s'annule et change de signe en $x=-1$. $f(-1) = (-1+2)e^{1}=e$; on établit le tableau de variations de $f$ sur $\R$: \[ {\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \psset{nodesep=1pt,arrowsize=5pt 3} \def\esp{\hspace*{2.5cm}} \def\hauteur{0pt} \begin{array}{|c|l*4{c}|} \hline x & -\infty & \esp & -1 & \esp & +\infty \\ \hline -x-1 & & + & \vline\hspace{-2.7pt}0 & - & \\ \hline f'(x) & & + & \vline\hspace{-2.7pt}0 & - & \\ \hline & & & \Rnode{max}{e} & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{-\infty} & & & & \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array} } \] \item Sur l'intervalle $[-2~;~-1]$, la fonction $f$ est strictement croissante et continue car dérivable sur cetintervalle. $f(-2)=0<2$ et $f(-1)=e>2$ donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection), l'équation $f(x)=2$ admet une solution unique sur l'intervalle $[-2~;~-1]$. Avec la calculatrice, on trouve $\alpha\simeq-1,6$. \end{enumerate} \item% Déterminer, pour tout nombre réel $x$, l'expression de $f''(x)$ et étudier la convexité de la fonction~$f$. $f''(x)=(-1)\tm e^{-x} + (-x-1)\tm(-1)e^{-x} = (-1+x+1)e^{-x}=x e^{-x}$ $e^{-x}>0$ pour tout $x$, donc $f''(x)$ est du signe de $x$. \begin{list}{\textbullet}{} \item Sur $]-\infty~;~0[$, $f''(x)<0$ donc la fonction $f$ est concave. \item Sur $]0~;~+\infty[$, $f''(x)>0$ donc la fonction $f$ est convexe. \item En $x=0$, la dérivée seconde s'annule et change de signe donc le point A d'abscisse 0 de $\mathcal{C}$ est le point d'inflexion de cette courbe. \end{list} %Que représente pour la courbe $\mathcal{C}$ son point A d'abscisse $0$ ? \end{enumerate} \enex \label{LastPage} \end{document}
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