Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques en Terminale générale, spécialité mathématiques


Etude de fonction et convexité

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Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: convexité, position relative, TVI
Niveau
Terminale générale, spécialité mathématiques
Table des matières
  • QCM (Baccalauréat général, spécialité mathématiques, Asie 8 juin 2021)
  • Intersection et position relative - Distane maximale entre deux points sur deux courbes (Baccalauréat, terminale générale spécialité mathématiques, 15 mars 2021)
  • Étude fonction et convexité (Baccalauréat général, spécialité mathématiques, Métropole 8 juin 2021)
Mots clé
convexité, point d'inflexion, position relative, TVI
Voir aussi:

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Source Latex de la correction du devoir

\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques: convexité - position relative},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={convexité, position relative, devoir corrigé, Mathématiques, terminale générale spécialité mathématiques}
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt       % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}   % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \href{/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/Sujets-Devoirs-Corriges/2020-2021/}{xymaths - Terminale, spécialité maths/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\hfill{\bf\Large{Correction du devoir de math\'ematiques}}\hfill\fbox{A}

\vspace*{.5cm}

\bgex \textit{QCM 1 - Baccalauréat général, spécialité mathématiques, Asie 8 juin 2021}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = \lp x^2 - 2x - 1\rp e^x= x^2e^x - 2x e^x - e^x$.

Comme $\dsp\lim_{x \to - \infty} e^x = 0$, et que, par croissances comparées, 
$\dsp\lim_{x \to - \infty} 2x e^x = 0$ et 
$\dsp\lim_{x \to - \infty} x^2 e^x = 0$, 
on obtient, par somme de limites: 
$\dsp\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$. 

\textbf{Réponse C.}

\item  On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{3}{5+e^x}$.

\bgit
\item On a $\dsp\lim_{x \to - \infty} f(x) = \dfrac{3}{5}$ : la droite d'équation $y = \dfrac{3}{5}$ est asymptote horizontale en moins l'infini

\item On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale au voisinage de plus l'infini. 
\enit

\textbf{Réponse C}.

\item  On voit sur la figure que $f''(- 3) = f''(2) = f''(5) = 0$ : 
  la dérivée seconde s'annule trois fois donc la fonction $f$ admet 
  trois points d'inflexion. 
  
  \textbf{Réponse B}.

\item $u_n=n^2 - 17n + 20$ est un trin\^ome du second degré qui 
  a un minimum en $n_0=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{17}{2}$. 

  Le minimum de la suite est donc $u_8$ ou $u_9$ qui est aussi 
  un minorant de la suite. 
  
  \textbf{Réponse A}.
\item \textbf{Réponse A}.
\end{enumerate}
\enex


\bgex \textit{Baccalauréat, terminale générale spécialité mathématiques, 15 mars 2021}


%\textbf{La question 3 est indépendante des questions 1 et 2.}
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
  \bgen[a)]
  \item Les abscisses des points d'intersection de 
    $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont les points d'abscisses $x$ 
    solutions de l'équation $f(x)=g(x)$, 
    soit 
    \[f(x)=g(x) \iff x^2e^{-x}=e^{-x}\iff (x^2-1)e^{-x}=0\]

    Pour tout réel $x$, $e^{-x}>0$ donc en particulier $e^{-x}\neq 0$, 
    et alors 
    \[f(x)=g(x) \iff x^2-1=0 \iff x=-1 \text{ ou } x=1\]
    Pour $x=-1$, $g(x)=e$, et pour $x=1$, $g(x)=e^{-1}$.

    Les coordonnées des points d'intersection sont donc 
    $\lp-1~;~e\rp$ et $\lp1~;~e^{-1}\rp$.
		
  \item \'Etudier la position relative de  
    $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, revient à étudier le signe de 
    la différence $\varphi$ définie par 
    \[\varphi(x)=f(x)-g(x)=(x^2-1)e^{-x}\]
    soit 
\[\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{1cm}}
\begin{array}{|c | *7{c} |} 
\hline
x  & -\infty & \esp & -1 & \esp & 1 & \esp & +\infty \\\hline
x^2-1 &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &\\\hline
e^{-x} &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\\hline
(x^2-1)e^{-x} &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &\\
\hline
\end{array}\]

Donc sur les intervalles $]-\infty~;~-1[$ et $]1~;~+\infty[$, 
la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$, 
et sur l'intervalle $]-1~;~1[$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous 
de la courbe $\mathcal{C}_g$, 		
\enen

\item 
  \bgen[a)]
  \item On a $d(x)=(1-x^2)e^{-x}$, soit $d=uv$ 
    avec $u(x)=1-x^2$ donc $u'(x)=-2x$, 
    et $v(x)=e^{-x}$ soit $v=e^w$ donc $v'=w'e^w$ et donc 
    $v'(x)=-e^{-x}$. 
    On a alors $d'=u'v+uv'$, soit 
    \[\bgar{ll}d'(x)&=-2xe^{-x}+\lp1-x^2\rp\lp-e^{-x}\rp\\
    &=e^{-x}\lp-2x-1+x^2\rp
    \enar\]
				
  \item Dans la dérivée précédente, on a $e^{-x}>0$ pour tout réel $x$, 
et le trin\^ome du second degré a pour discriminant 
$\Delta=(-2)^2+4=8>0$ et admet donc deux racines 
$x_1=\dfrac{2-\sqrt8}2=1-\sqrt2$ et $x_2=1+\sqrt2$. 

On a alors 
\[\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{0cm}}
\begin{array}{|c | *{11}{c} |} \hline
x  & -\infty & \esp & -1 & \esp & 1-\sqrt{2} & \esp & 1 & \esp & 1+\sqrt{2} & \esp & +\infty \\\hline
e^{-x} &  & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + &\\\hline
x^2-2x-1&  & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & - &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & + &\\\hline
d'(x)&  & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & - &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & + &\\\hline
&&&&&&&&&&&\\
$d$&&&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.8,-.3)(1,.8)&&&
\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.7,.8)(1.4,-.3)&&&&
\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.8,-.3)(1,.8)&\\
&&&&&&&&&&&\\\hline
\end{array}\]

\bgit
\item Sur l'intervalle $\left [-1~;~1 - \sqrt{2}\right [$, $d'(x)>0$ donc $d$ est strictement croissante.
\item Sur l'intervalle $\left ]1-\sqrt{2}~;~1\right ]$, $d'(x)<0$ donc $d$ est strictement décroissante.
\enit
		
\item D'après la question précédente, la distance $d(x)$ est maximale 
  pour $x_0= 1-\sqrt{2}$, et vaut alors 
  $d\left(1-\sqrt{2}\right)\approx 1,3$
\enen

\item On étudie la fonction $h$. \\
  La fonction $h$ est dérivable, donc continue ssur $\R$, avec 
  $h'(x)=-e^{-x}-1$ donc, comme $e^{-x}>0\iff-e^{-x}<0$, 
  et donc $h'(x)=-e^{-x}-1<-1<0$ et la fonction $h$ est 
  donc strictement décroissante sur $\R$.

\bgit
\item $h(-1)=e^{1}+1-2= e-1>0$; comme $h$ est strictement décroissante, $h(x)>0$ pour $x<-1$, donc $h$ ne s'annule pas sur l'intervalle $]-\infty~;~-1[$.

\item $h(0)=e^{0}-2 = -1 <0$; comme $h$ est strictement décroissante, $h(x)<0$ pour $x>0$, donc $h$ ne s'annule pas sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

\item Sur l'intervalle $[-1~;~0]$, la fonction $h$ est continue et strictement décroissante, et on sait que $h(-1)>0$ et $h(0)<0$; donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, ou théorème de la bijection, 
l'équation $h(x)=0$ admet une solution unique.
\enit

La droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}_g$ ont donc  un unique point d'intersection dont l'abscisse est comprise entre $-1$ et $0$.
\enen
\enex


\bgex \textit{Baccalauréat général, spécialité mathématiques, Métropole 8 juin 2021}

\begin{center}\textbf{Partie 1}\end{center}

\begin{enumerate}
\item
\begin{list}{\textbullet}{D'après la courbe représentant la fonction dérivée $f'$:}
\item la fonction $f'$ est positive sur $]-\infty~;~1[$ donc la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle;
\item la fonction $f'$ est négative sur $]1~;~+\infty[$ donc la fonction $f$ est décroissante sur cet intervalle.
\end{list}

\item 
\begin{list}{\textbullet}{D'après la courbe représentant la fonction dérivée $f'$:}
\item la fonction $f'$ est décroissante sur $]-\infty~;~0[$ donc la fonction $f$ est concave sur cet intervalle; 
\item la fonction $f'$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$ donc la fonction $f$ est convexe sur cet intervalle.
\end{list}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie 2}\end{center}

\smallskip

On admet que la fonction $f$ mentionnée dans la Partie 1 
est définie sur $\R$ par: $f(x) = (x + 2)e^{-x}.$


\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $x$, 
  $f(x) = (x + 2)e^{-x}=xe^{-x}+2e^{-x}= \dfrac{x}{e^{x}}+ 2e^{-x}$.

  Par croissances comparées on a: 
  $\dsp\lim_{x \to ++ \infty} \dfrac{e^{x}}{x}= +\infty$ 
  donc  $\dsp\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{e^{x}}= 0$.

  De plus $\dsp\lim_{x \to + \infty}e^{-x}= 0$ 
  donc $\dsp\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.

  On en déduit que la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $y=0$, 
  c'est-à-dire l'axe des abscisses, comme asymptote horizontale en $+\infty$.

\item 
  \begin{enumerate}[a)]
  \item $f'(x)=1\tm e^{-x} + (x+2)\tm (-1)e^{-x} = (1-x-2)e^{-x}=(-x-1)e^{-x}$.

  \item Pour tout $x$, $e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-x-1$; 
    donc $f'(x)$ s'annule et change de signe en $x=-1$.

    $f(-1) = (-1+2)e^{1}=e$; 
    on établit le tableau de variations de $f$ sur $\R$:

    \[
      {\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
        \psset{nodesep=1pt,arrowsize=5pt 3}
        \def\esp{\hspace*{2.5cm}}
        \def\hauteur{0pt}
        \begin{array}{|c|l*4{c}|}
          \hline
          x & -\infty  & \esp & -1 & \esp & +\infty \\ 
          \hline
          -x-1 &    &   + & \vline\hspace{-2.7pt}0 & - & \\ 
          \hline
          f'(x) &    &   + & \vline\hspace{-2.7pt}0 & - & \\ 
          \hline
          &  &  &   \Rnode{max}{e}  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\  
          f(x) &   &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
          &  \Rnode{min1}{-\infty} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur}    
          \ncline{->}{min1}{max} 
          \ncline{->}{max}{min2} 
          \\ 
          \hline
        \end{array}
      }
  \]
	
\item Sur l'intervalle $[-2~;~-1]$, la fonction $f$ est strictement croissante 
et continue car dérivable sur cetintervalle. $f(-2)=0<2$ et $f(-1)=e>2$ donc, 
d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires 
(ou théorème de la bijection), 
l'équation $f(x)=2$ admet une solution unique sur l'intervalle $[-2~;~-1]$. 

Avec la calculatrice, on trouve $\alpha\simeq-1,6$. 
		
		
	\end{enumerate}
\item% Déterminer, pour tout nombre réel $x$, l'expression de $f''(x)$ et étudier la convexité de la fonction~$f$. 
$f''(x)=(-1)\tm e^{-x} + (-x-1)\tm(-1)e^{-x} = (-1+x+1)e^{-x}=x e^{-x}$

$e^{-x}>0$ pour tout $x$, donc $f''(x)$ est du signe de $x$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Sur $]-\infty~;~0[$, $f''(x)<0$ donc la fonction $f$ est concave.
\item Sur $]0~;~+\infty[$, $f''(x)>0$ donc la fonction $f$ est convexe.
\item En $x=0$, la dérivée seconde s'annule et change de signe donc le point A d'abscisse 0 de $\mathcal{C}$ est le point d'inflexion de cette courbe.
\end{list}


%Que représente pour la courbe $\mathcal{C}$ son point A d'abscisse $0$ ?
\end{enumerate}
\enex



\label{LastPage}
\end{document}

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