Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques terminale S: calcul algébrique, dérivée, sens de variation, suite récurrence},
pdftitle={Devoir de mathématiques},
pdfkeywords={dérivée, sens de variation, suite récurrence, devoir corrigé, Mathématiques, TS, terminale géénrale spécialité mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-3em}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bigskip
\bgex
Montrer que, pour tout $x$ réel, $e^x\geqslant x+1$. \\
On pourra étudier les variations de la fonction $f:x\mapsto e^x-(x+1)$.
\enex
\bigskip
\bgex
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\dfrac{e^x+2}{e^x+1}$.
\bgen
\item Déterminer les limites en $-\infty$ et $+\infty$ de $g$.
Interpréter graphiquement ces résultats.
\item \'Etudier le sens de variation de $g$.
\item Tracer l'allure de la courbe de $g$.
\enen
\enex
\bigskip
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~4] par
$f(x) = \dfrac{2 + 3x}{4 + x}$.
On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par :
$v_0 = 0,1$ et pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = f\left(v_n\right)$.
\smallskip
\begin{enumerate}
\item On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ et $D$ la droite d'équation $y=x$.
Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection de
$\mathcal{C}_f$ et de $D$.
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,
$1 - v_{n+1} = \left(\dfrac{2}{4 + v_n} \right) \left(1 - v_n\right)$.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,
$0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
\end{enumerate}
\item La suite $\left(v_n\right)$ converge-t-elle ? Si oui, préciser sa limite.
\end{enumerate}
\enex
\bigskip
\bgex
Le but de cet exercice est d'étudier la suite $(u_n)$ définie par:
$u_0=-1$
et, pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=e^{2u_n}-e^{u_n}$.
On remarquera que cette égalité peut aussi s'écrire:
$u_{n+1} = e^{u_n}\lp e ^{u_n}-1\rp$.
On pourra poser éventuellement $f(x)=e^{2x}-e^x$.
\bgen
\item Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par
$g(x)=e^{2x}-e^x-x$.
\bgen[a)]
\item Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item Calculer $g'(x)$ et prouver que, pour tout réel $x$,
$g'(x)=\lp e^x-1\rp \lp 2e^{x}+1\rp$.
\item Déterminer les variations de la fonction $g$ et donner la valeur de
son minimum.
\enen
\item
\bgen[b)]
\item En remarquant que $u_{n+1}-u_n=g(u_n)$,
étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$,
$u_n\leqslant0$.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente vers une limite $l$
qui vérifie $g(l)=0$.
En déduire la limite $l$.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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