Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques terminale générale, spécialité mathématiques: logarithme népérien},
pdftitle={Devoir de mathématiques},
pdfkeywords={logarithme népérien, devoir corrigé, Mathématiques, terminale générale, spécialité mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
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\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\pagestyle{empty}
\vspace*{-2em}
\ct{\bf\Large{Devoir de math\'ematiques}}
\vspace{1em}
\bgex
$A$ et $B$ sont deux événements tels que
$P(B)=0,5$,
$P_B(A)=0,4$
et $P(A\cup B)=0,7$.
Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
\enex
\vspace{1em}
\bgex
On étudie une maladie dans la population d'un pays.
On a constaté que le taux, en nanogrammes par millilitre ($ng.mL^{-1}$),
d'une substance Gamma présente dans le sang est plus élevé chez les personnes atteintes de cette maladie que chez les personnes qui n'ont sont pas atteintes.
Pour dépister chez une personne cette maladie, on effectue une prise de sang.
\medskip
On considère que le dépistage est positif si le taux de la substance Gamma est
supérieur ou égal à $45 ng.mL^{-1}$. \\
Une personne étant choisie au hasard dans la population, on note
\bgit
\item $M$ l'événement "le patient est atteint par la maladie étudiée"
\item $D$ l'événement "le patient a un dépistage positif".
\enit
On admet que:
\bgit
\item 82\% des personnes atteintes par la maladie étudiée ont un dépistage positif
\item 73\% des personnes non atteintes par cette maladie ont un dépistage négatif
\item On sait de plus que 10\% de la population étudiée est atteinte par cette maladie.
\enit
\bgen
\item Représenter cette situation par un arbre pondéré.
\item Démontrer que la probabilité qu'un patient ait un dépistage positif est de 0,325.
\item Calculer $P_{\overline{D}}(M)$, puis en donner une valeur approchée à 0,001 près.
Interpréter ce résultat.
\item Un patient a un dépistage positif. Le médecin le rassure en lui indiquant qu'il n'a qu'une chance sur quatre d'avoir contracté la maladie.
Qu'en pensez-vous ?
\enen
\enex
\vspace{1em}
\bgex
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé:
\bgit
\item la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $]0;+\infty[$;
\item la tangente $T_A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ de coordonnées $\lp\dfrac1e;e\rp$;
\item la tangente $T_B$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ de coordonnées $(1;2)$.
\enit
La droite $T_A$ est parallèle à l'axe des abcisses.
La droite $T_B$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $(3;0)$ et l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;3)$.
\[\psset{unit=1.2cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,4)
\psline{->}(-1,0)(8,0)
\psline{->}(0,-1)(0,4)
\rput(-.2,-.3){$0$}
\psplot[plotpoints=200]{.12}{8}{2 x ln add x div}
\multido{\i=1+1}{8}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=.5pt](\i,-.7)(\i,3.8)
\rput(\i,-.3){$\i$}}
\multido{\i=1+1}{3}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=.5pt](-.5,\i)(8,\i)
\rput[r](-.15,\i){$\i$}}
\rput(.368,2.718){$\bullet$}\rput(.45,3){$A$}
\psline(-.5,2.718)(8,2.718)
\rput(1,2){$\bullet$}\rput(1.2,2.2){$B$}
\psplot{-.5}{4}{-1 x 1 sub mul 2 add}
\end{pspicture}\]
\noindent
\textbf{Partie I}
\bgen
\item Déterminer graphiquement les valeurs de $f'\lp\dfrac1e\rp$ et de $f'(1)$.
\item En déduire une équation de la droite $T_B$.
\enen
\medskip
\noindent
\textbf{Partie II}\\
On suppose maintenant que la fonction $f$ est définie sur $]0;+\infty[$ par:
\[f(x)=\dfrac{2+\ln(x)}x\]
\bgen
\item Par le calcul, montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par les points $A$ et $B$ et qu'elle coupe l'axe des abscisses en un point unique que l'on précisera.
\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs supérieures, et la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
\item Montrer que, pour tout $x\in]0;+\infty[$,
$f'(x)=\dfrac{-1-\ln(x)}{x^2}$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $]0;+\infty[$.
\item On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$. \\
Montrer que, pour tout $x>0$,
$f''(x)=\dfrac{1+2\ln(x)}{x^3}$.
\item Déterminer le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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