Bac 2013 - ROC, limites, asymptote oblique, suite
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Le but de l'exercice est l'étude de la suite définie par son
premier terme , puis pour tout entier ,
.
Partie A. Restitution organisée des connaissances.
On rappelle que .
Montrer que .
Partie B.
On considère la fonction définie sur
par .
On note sa courbe représentative.
Partie C.
On rappelle que .
On note sa courbe représentative.
- Soit la fonction définie sur par
.
Montrer que la fonction est négative sur et positive sur .
-
- Montrer que pour tout , .
- En déduire le sens de variation de .
- Montrer que la droite d'équation est une asymptote à la courbe en .
- Etudier la position de la courbe par rapport à la droite .
Partie C.
- Que peut-on dire de la suite si ?
- On suppose que .
- Montrer que pour tout entier , .
- On note la fonction définie sur par
.
Donner le signe de . En déduire le sens de variation de . - Déduire de ce qui précède que la suite est convergente et donner sa limite.
- On suppose que .
Dans quel intervalle se trouve alors ?
Que peut-on alors en déduire quant au sens de variation de et à sa convergence ?
Correction
(Bac 2013, métropole)
Partie A. ROC. On pose . Ainsi,
et donc, , par quotient des limites.
Partie B. On considère la fonction définie sur par .
Partie C.
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(Bac 2013, métropole)
Partie A. ROC. On pose . Ainsi,
et donc, , par quotient des limites.
Partie B. On considère la fonction définie sur par .
- Soit la fonction définie sur par
.
Pour , on a , et donc, , et comme , on a alors .
Pour , et , d'où .
Remarque: on peut tout aussi bien dériver et étudier son sens de variation et montrer ainsi que est le minimum de sur .
-
- Pour tout ,
,
avec
et donc,
Ainsi, , soit, pour ,
- D'après les deux questions précédentes, on a donc que
estr strictement croissante sur et strictement
croissante sur .
- ,
et donc, par croissance comparée (ou la partie A.),
on a ,
et ainsi, est une asymptote à la courbe en .
- .
Pour , , et donc est au-dessus de . Pour , , et donc, est au-dessous de .
- Pour tout ,
,
avec
et donc,
Partie C.
- Si , alors , et donc de même ,
…
Si , la suite est constante et égale à .
- On suppose que .
- Montrons par récurrence que pour tout entier , .
La propriété est initialement vraie car on suppose justement que .
Hérédité: Supposons docn que pour un entier , on ait .
Alors, comme est strictement croissante sur avec , on a donc, , et la propriété est encore vraie au rang .
- est positif lorsque ,
et est négatif lorsque .
Ainsi, comme pour tout entier , , on a et ainsi la suite est décroisssante.
- D'après de ce qui précède que la suite est
décroissante et minorée par :
elle est donc convergente vers une limite .
D'après le théorème du point fixe, on a alors, .
- Montrons par récurrence que pour tout entier , .
- Si , alors ,
soit .
Ainsi, toute l'étude et les résultats précédents sont encore vrais à partir de : est décroissante et converge vers .
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