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Description

Exercices (non corrigés) de mathématiques en terminale STI2D: suites numériques et limite de suites

Niveau

Terminale STI2D

Mots clé

Exercices de mathématiques, maths, suites, limites, STI, STI2D, terminale, TSTI2D

Voir aussi:

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Source Latex du cours de mathématiques

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices de mathématiques: Suites et limites},
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    pdfkeywords={Mathématiques, TSTI2D, terminale, STI2D, 
      suites, limites, exercices}
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  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Suites et limites - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TSTI/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\vspace*{0.1cm}

\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$

\bgex
Je décide de placer 10\,000 euros sur un compte épargne rémunéré à 4\% à
intér\^ets composés. 
\bgen
\item Quel est le montant dont je dispose au bout de une année ? 
  de deux années ? de dix années ? 
\item Au bout de combien d'années mon capital aura-t'il doublé ?
\item Combien d'années faudra-t'il attendre pour avoir un capital de
  50\,000 euros ?
\enen
\enex

\bgex 
Soit $(u_n)$ une suite définie pour tout $n\in\N$ par 
$u_n=n^2+n-1$. 
\vsp

\bgen
\item Exprimer en fonction de $n$: \qquad
  a)\ \ $u_{n-1}$ \qquad 
  b)\ \ $u_{n+1}$ \qquad
  c)\ \ $u_{n+1}-u_n$ \qquad

\item La suite $(u_n)$ est-elle géométrique ? 
\enen
\enex


\vspace{-0.2cm}

\bgex
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non
nul par  $u_n=\dfrac{n+1}{n^2+1}$. 
\bgen
\item Déterminer la fonction $f$ telle que $u_n=f(n)$. 
\item Etudier le sens de variation de $f$ et en déduire celui de
  $(u_n)$. 
\item Calculer $u_{10}$, $u_{100}$, $u_{10\,000}$, $u_{10^8}$ 
  et $u_{10^{18}}$. 

  Que peut-on dire des valeurs $u_n$ lorsque $n$ devient de plus en
  plus grand ?
\enen
\enex


\bgex
Même exercice avec les suites $(u_n)$ définies par les expressions suivantes: 

1) $u_n=\dfrac{n^2-1}{n^2+1}$. 
\qquad
2) $u_n=3n^2+4n-5$. 
\qquad
3) $u_n=-n^3+6n^2-9n+5$. 
\enex


\bgex
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=3$ et, pour tout entier $n$, 
$u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{3+2u_n}$. 

Calculer les premiers termes $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$, 
puis $u_{10}$, $u_{100}$, $u_{1000}$. 

Quel semble \^etre le comportement des valeurs $u_n$ lorsque $n$
devient de plus en plus grand ? 
\enex

\bgex
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout entier $n$, 
$u_{n+1}=\dfrac23 u_n-\dfrac16$.


Calculer les premiers termes $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$, 
puis $u_{10}$, $u_{100}$, $u_{1000}$. 

Quel semble \^etre le comportement des valeurs $u_n$ lorsque $n$
devient de plus en plus grand ? 
\enex

\bgex
On considère les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par 
$u_n=0,9999^n$ et $v_n=1,0001^n$. 

\bgen
\item Montrer que ces deux suites sont des suites géométriques, en
  precisant leurs premier terme et raison. 
\item Indiquer la valeur de $n$ à partir de laquelle on a: 
  
  a) $u_n\leqslant 0,9$ \quad
  b) $u_n\leqslant 0,5$ \quad
  c) $u_n\leqslant 0,1$ \qquad
  d) $u_n\leqslant 10^{-3}$ \quad
  e) $u_n\leqslant 10^{-6}$ \qquad
  f) $u_n\leqslant 10^{-9}$ \qquad

\item De m\^eme, indiquer la valeur de $n$ à partir de laquelle on a: 
  
  a) $v_n\geqslant 2$ \qquad
  b) $v_n\geqslant 10$ \qquad
  c) $v_n\geqslant 10^3$ \qquad
  d) $v_n\geqslant 10^6$ \qquad
  e) $v_n\geqslant 10^9$ \qquad
  f) $v_n\geqslant 10^{30}$ \qquad
\item Quel semble \^etre le comportement de ces deux suites lorsque
  $n$ devient de plus en plus grand ?
\enen
\enex

\bgex
On définit la suite $(u_n)$ par l'expression 
$u_n=n^2-20n$, pour tout entier naturel $n$. 
\bgen
\item Démontrer que pour tout entier $n$, 
  $u_n=(n-10)^2-100$. 
\item Déterminer à partir de quel rang $n$ on a 
  $u_n\geqslant 10^6$. 
\item Déterminer à partir de quel rang $n$ on a 
  $u_n\geqslant 10^{12}$. 
\item Soit $p$ un entier naturel quelconque. 
  Déterminer à partir de quel rang $n$ on a 
  $u_n\geqslant 10^p$. 

  Conclure quant à la limite de la suite $(u_n)$. 
\enen
\enex

\bgex
Soit la suite $(u_n)$ définie par 
$u_n=\dfrac{10^6}{n+1}$, pour tout $n\in\N$. 

\bgen
\item Donner les valeurs des premiers termes $u_0$, $u_1$, $u_2$, 
  puis de $u_{10}$, $u_{100}$, $u_{10^4}$, $u_{10^6}$. 

  Quel semble \^etre le comportement des valeurs $u_n$ lorsque $n$
  devient grand ?

\item Déterminer à partir de quel rang $n$ on a 
  $u_n\leqslant \dfrac{1}{100}$. 
\item Déterminer à partir de quel rang $n$ on a 
  $u_n\leqslant 10^{-6}$. 
\item Soit $p$ un entier naturel quelconque, 
  déterminer à partir de quel rang $n$ on a 
  $u_n\leqslant 10^{-p}$. 

  Conclure quant à la limite de la suite $(u_n)$. 
\enen
\enex

\bgex Soit $\lp u_n\rp$ la suite définie pour tout entier $n$ 
par $u_n=\dfrac{n-2}{n+2}$. 
\bgen
\item Démontrer que, pour tout entier $n$, 
  $u_n-1=\dfrac{-4}{n+2}$. 
\item Déterminer à partir de quel rang $n$ on a 
  $|u_n-1|\leqslant 10^{-3}$. 
\item Déterminer à partir de quel rang $n$ on a 
  $|u_n-1|\leqslant 10^{-9}$. 
\item Soit $p$ un entier naturel quelconque, 
  déterminer à partir de quel rang $n$ on a 
  $|u_n-1|\leqslant 10^{-p}$. 

  Conclure quant à la limite de la suite $(u_n)$. 
\enen
\enex

\bgex
Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite de la suite
$(u_n)$: 

\noindent
a)\ \ $u_n=n^3+\dfrac{1}{n}$ 
\quad
b)\ \ $u_n=(3n+1)(-7n+5)$
\quad
c)\ \ $u_n=\dfrac{3-\dfrac{4}{n}}{\dfrac{2}{n^2}}$
\quad
d)\ \ $u_n=n^3-n^2-1$
\quad
e)\ \ $u_n=\dfrac{2n^2+1}{-n^2+6}$

\noindent
f)\ \ $u_n=\dfrac{n^2+3n-5}{n^3-6n^2+1}$
\quad
g)\ \ $u_n=\dfrac{9-n^2}{(n+1)(2n+1)}$
\quad
h)\ \ $u_n=\dfrac13-\dfrac{n}{2n+1}$
\quad
i)\ \ $u_n=\dfrac{2}{3n}-\dfrac{2n^2+3}{3n^2+n+1}$
\enex



\bgex
Soit $(u_n)$ la suite géométrique définie par $u_0=8$ 
et pour tout entier $n$ par $u_{n+1}=-\dfrac12u_n$. 
\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$. 
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. 
\enen
\enex


\bgex Une population de bactéries double chaque jour. 
Il y a initialement 1000 bactéries. 

On note $u_n$ le nombre de bactéries le n$^\text{ième}$ jour. 

\bgen
\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$. 
\item Déterminer le nombre de bactéries présentent au bout de 3 jours, 
  puis au bout de 10 jours. 
\item Au bout de combien de jours, la population sera-t'elle
  supérieure à 10\,000\,000.
\enen
\enex

\bgex
On place un capital de $10\,000$ euros avec intér\^ets composés au
taux de 2,3\% par an.  
Cela signifie que les intér\^ets d'une année s'ajoutent au capital et
produisent à leur tour des intér\^ets l'année suivante. 

On note $C_n$ le capital acquis au bout de $n$ années. 
En particulier $C_0=10\,000$ euros. 
\bgen
\item Calculer $C_1$, $C_2$ et $C_3$. 
\item Donner pour tout entier $n$ l'expression de $C_{n+1}$ en fonctin
  de $C_n$. 

  En déduire que $(C_n)$ est une suite géométrique dont on précisera
  la raison. 
\item Donner l'expression de $C_n$ en fonction de $n$. 
\item Au bout de combien d'années le capital initial aura-t'il
  doublé ?
\enen
\enex



\bgex
On dispose d'une citerne d'un volume de 1500 litres remplie au deux
tiers. 

Chaque jour, 5\% de son contenu s'évapore. 

On note $v_n$ le volume d'eau contenu dans la citerne au bout de $n$
jours. 

\bgen
\item Donner la valeur de $v_0$, le volume initial d'eau dans la
  citerne, 
  puis de $v_1$ et $v_2$. 
\item Quelle est la nature de la suite $(v_n)$. 
\item Peut-on arroser, après dix jours, 65 arbustes, chacun de ceux-ci
  nécessitant 10 litres d'eau ?
\enen
\enex

\bgex
Un groupe industriel décide de réduire progressivement sa quantité de
rejets de 4\% par an. 
L'objectif du groupe est de diminuer globalement ses rejets, de
50\,000 tonnes par an en 2010, à une quantité inférieur à 30\,000
tonnes en 10 ans. 

\bgen
\item Quelle est la quantité de rejets du groupe en 2011 ? en 2012 ?
\item On note $r_n$ la quantité de rejets l'année "$2010+n$". 
  \bgen[a)]
  \item Exprimer $r_{n+1}$ en fonction de $r_n$.

    Quelle est la nature de la suite $r_n$ ?
  \item Exprimer alors $r_n$ en fonction de $n$.  
  \item Calculer, à la tonne près, la quantité de rejets en 2020. 
    
    L'objectif global annoncé est-il atteint ? 
  \enen
\item Un taux annuel de diminution de 5\% permettrait-il de respecter
  la norme ?
\enen
\enex


\bgex
Soit la suite géométrique $(u_n)$ définie par $u_0=27$ et 
pour tout entier $n$ par $u_{n+1}=-\dfrac13u_n$. 
\bgen
\item Calculer la somme $S_{10}=u_0+u_1+\dots+u_{10}$. 
\item Exprimer $u_n$ en fonction $n$, puis la somme 
  $S_n=u_0+u_1+\dots+u_n$. 

  Quel semble \^etre la limite de $S_n$ ? 
\enen
\enex

\bgex
$(u_n)$ est une suite géométrique telle que $u_2=4$ 
et $u_4=\dfrac{16}{9}$. 

Calculer la somme $S_{15}=u_0+u_1+\dots+u_{15}$.
\enex



\bgex
Déterminer la limite des suites définies par les expressions
suivantes:  

\noindent 
a) $u_n=3\tm2,3^n$ \quad
b) $u_n=-600\tm 0,2^n+0,003$ \quad
c) $u_n=\dfrac{2+0,98^n}{3\tm0,97^n+6}$ \quad
d) $u_n=3\tm(-1,3)^n$
\enex




\label{LastPage}
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