Source Latex: Devoir de mathématiques

Terminale STMG

Devoir (non corrigé): étude de fonction, dérivées et logarithme népérien
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Type: Devoir
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Description
Devoir (non corrigé): étude de fonction, dérivées et logarithme népérien
Niveau
Terminale STMG
Mots clé
dérivée, lecture graphique, tangente, ln, logarithme népérien, étude de fonction, terminale STMG, TSTMG, devoir de mathématiques, maths

Quelques autres devoirs


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    \documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}

\usepackage{array}
\usepackage{color}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\Ga}{\Gamma}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\headheight=0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\evensidemargin=-1cm


\setlength{\unitlength}{1cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-2cm}

\ct{\Large Devoir Surveill�}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}\,$\ STG
\vspace{0.5cm}


\bgex 
Cet exercice est un QCM. Il n'est demand� aucune justification. Une
bonne r�ponse rapporte 1 point. Une mauvaise r�ponse enl�ve 0.5 point
et l'absence de r�ponse n'ajoute ni n'enl�ve aucun point. 


\vspd
\bgit
\item[1)] On consid�re la fonction $g$ d�finie et d�rivable sur
  l'intervalle $[0;25]$. On note $g'$ la d�riv�e de la fonction
  $g$. La fonction $g$ admet le tableau de variation suivant: 
  
  \[\bgar{|c|ccccccc|}
  \hline
  $x$     &0& &5& &18& & 25 \\\hline
  $g'(x)$ & &-&0&+& 0&-&\\\hline
      & 2&          &  &          & 12 &         & \\
  $g$ &  & \mbox{\LARGE $\searrow$} &  & \mbox{\LARGE $\nearrow$} &    & \mbox{\LARGE $\searrow$}& \\
      &  &          &-5&          &    &         &3 \\\hline 
  \enar\]

  \bgit
  \item[a)] La fonction $g$ admet un minimum: 

    \vsp
    $\Box$ qui vaut $-5$ pour $x=0$ \hspace{1cm}
    $\Box$ qui vaut $-5$ pour $x=5$ \hspace{1cm}
    $\Box$ qui vaut $0$ pour $x=5$ \hspace{1cm}
    $\Box$ qui vaut $12$ pour $x=18$ 
    
    \vspd
  \item[b)] Sur l'intervalle $[0;25]$ l'�quation $g(x)=1$ admet: 

    \vsp
    $\Box$ aucune solution \hspace{1cm}
    $\Box$ une unique solution\hspace{1cm}
    $\Box$ deux solutions \hspace{1cm}
    $\Box$ trois solutions

  \enit

  \vspq
\item[2)] Soit $f$ la fonction d�finie sur $]2;+\infty[$ par 
$\dsp f(x)=\frac{2x+4}{x-2}$. 

    \vspd
\bgit
  \item[a)] La fonction $f'$ est d�finie sur $]2;+\infty[$ par: 

    \vsp
    $\Box$ $\dsp f'(x)=\frac{2}{1}$ \hspace{1cm}
    $\Box$ $\dsp f'(x)=\frac{8}{(x-2)^2}$ \hspace{1cm}
    $\Box$ $\dsp f'(x)=-\frac{8}{(x-2)^2}$ \hspace{1cm}
    $\Box$ $\dsp f'(x)=\frac{4x}{(x-2)^2}$ 

    \vspd
  \item[b)] La tangente � $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $3$ est
  parall�le � la droite d'�quation: 

    \vsp
    $\Box$ $y=8x$ \hspace{1cm}
    $\Box$ $y=x-8$ \hspace{1cm}
    $\Box$ $y=-8x+2$ 

    \vspd
\enit
\enit





\enex


\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur l'intervalle $[-4;3]$ par: 
\[ f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x+4\]
\bgit
\item[a)] Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=6(x+2)(x-1)$
\vsp
\item[b)] D�terminer alors le signe de $f'(x)$ et donner le tableau de 
  variation de $f$. 
  
  Tracer l'allure de la courbe repr�sentative de la fonction $f$. 
\enit

\enex



\vspace{0.5cm}
\bgex

Dans une petite entreprise, la fabrication journali�re de $x$ litres
d'un certain produit chimique impose un 
co�t de fabrication, en euros, not� $f (x )$.

Ce produit �tant revendu au prix de 7,5 euros par litre, le chiffre
d'affaires, en euros, r�alis� par l'entreprise, 
pour la vente de $x$ litres de ce produit est donc le nombre r�el
$g(x)=7,5x$. 

\vspd
{\bf Partie A}
\vspd

Ci-dessous, on a trac� la courbe $\mathcal{C}$ repr�sentative de la
fonction $f$ 
dans un rep�re orthogonal ; le volume en 
litres de produit fabriqu� est port� en abscisses, et le co�t de
fabrication en euros est port� en ordonn�es. 

\vspd
\bgit
\item[1.] Par lecture graphique, r�pondre aux questions suivantes :

\vspd
\bgit
\item[(a)] Quel est le co�t de fabrication pour une production
  journali�re de 40 litres ? De 90 litres ? 

\vspd
\item[(b)] Quelle production journali�re correspond � un co�t de
  fabrication de 525 euros ? 

\vspd
\item[(c)] Quelle est la production journali�re maximale pour que le
  co�t de fabrication n'exc�de pas 400 euros ?
\enit

\vspd
\item[2.] Dans le rep�re pr�c�dent, tracer la droite d'�quation
  $y=7,5x$ et d�terminer graphiquement combien l'entreprise doit
  fabriquer d'unit�s pour �tre b�n�ficiaire. 
\enit

\vspd
{\bf Partie B}
\vspd

Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction $f$ est d�finie,
pour tout nombre r�el x de l'intervalle $[0, 100]$ par la relation
$f(x)=0,0625x^2 + 1,25x + 100$. 

\vspd
\bgit
\item[1.] Montrer que pour tout nombre r�el x de l'intervalle $[0, 100]$,
 \[g(x) - f (x) = 56,25 - 0,0625(x - 50)^2\]

\vsp
\item[2.] En d�duire le b�n�fice maximal que l'entreprise peut
  r�aliser, en pr�cisant la production journali�re correspondante.
\enit

\vspace*{1cm}
\epsx=10cm\epsy=10cm
\ct{\epsfbox{./FIG/Courbe_Ga.eps}}

\enex



\vspd

\end{document}

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