Source Latex
sujet du devoir
\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{array}
\usepackage{color}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\Ga}{\Gamma}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\evensidemargin=-1cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-2cm}
\ct{\Large Devoir Surveill�}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}\,$\ STG
\vspace{0.5cm}
\bgex
Cet exercice est un QCM. Il n'est demand� aucune justification. Une
bonne r�ponse rapporte 1 point. Une mauvaise r�ponse enl�ve 0.5 point
et l'absence de r�ponse n'ajoute ni n'enl�ve aucun point.
\vspd
\bgit
\item[1)] On consid�re la fonction $g$ d�finie et d�rivable sur
l'intervalle $[0;25]$. On note $g'$ la d�riv�e de la fonction
$g$. La fonction $g$ admet le tableau de variation suivant:
\[\bgar{|c|ccccccc|}
\hline
$x$ &0& &5& &18& & 25 \\\hline
$g'(x)$ & &-&0&+& 0&-&\\\hline
& 2& & & & 12 & & \\
$g$ & & \mbox{\LARGE $\searrow$} & & \mbox{\LARGE $\nearrow$} & & \mbox{\LARGE $\searrow$}& \\
& & &-5& & & &3 \\\hline
\enar\]
\bgit
\item[a)] La fonction $g$ admet un minimum:
\vsp
$\Box$ qui vaut $-5$ pour $x=0$ \hspace{1cm}
$\Box$ qui vaut $-5$ pour $x=5$ \hspace{1cm}
$\Box$ qui vaut $0$ pour $x=5$ \hspace{1cm}
$\Box$ qui vaut $12$ pour $x=18$
\vspd
\item[b)] Sur l'intervalle $[0;25]$ l'�quation $g(x)=1$ admet:
\vsp
$\Box$ aucune solution \hspace{1cm}
$\Box$ une unique solution\hspace{1cm}
$\Box$ deux solutions \hspace{1cm}
$\Box$ trois solutions
\enit
\vspq
\item[2)] Soit $f$ la fonction d�finie sur $]2;+\infty[$ par
$\dsp f(x)=\frac{2x+4}{x-2}$.
\vspd
\bgit
\item[a)] La fonction $f'$ est d�finie sur $]2;+\infty[$ par:
\vsp
$\Box$ $\dsp f'(x)=\frac{2}{1}$ \hspace{1cm}
$\Box$ $\dsp f'(x)=\frac{8}{(x-2)^2}$ \hspace{1cm}
$\Box$ $\dsp f'(x)=-\frac{8}{(x-2)^2}$ \hspace{1cm}
$\Box$ $\dsp f'(x)=\frac{4x}{(x-2)^2}$
\vspd
\item[b)] La tangente � $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $3$ est
parall�le � la droite d'�quation:
\vsp
$\Box$ $y=8x$ \hspace{1cm}
$\Box$ $y=x-8$ \hspace{1cm}
$\Box$ $y=-8x+2$
\vspd
\enit
\enit
\enex
\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur l'intervalle $[-4;3]$ par:
\[ f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x+4\]
\bgit
\item[a)] Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=6(x+2)(x-1)$
\vsp
\item[b)] D�terminer alors le signe de $f'(x)$ et donner le tableau de
variation de $f$.
Tracer l'allure de la courbe repr�sentative de la fonction $f$.
\enit
\enex
\vspace{0.5cm}
\bgex
Dans une petite entreprise, la fabrication journali�re de $x$ litres
d'un certain produit chimique impose un
co�t de fabrication, en euros, not� $f (x )$.
Ce produit �tant revendu au prix de 7,5 euros par litre, le chiffre
d'affaires, en euros, r�alis� par l'entreprise,
pour la vente de $x$ litres de ce produit est donc le nombre r�el
$g(x)=7,5x$.
\vspd
{\bf Partie A}
\vspd
Ci-dessous, on a trac� la courbe $\mathcal{C}$ repr�sentative de la
fonction $f$
dans un rep�re orthogonal ; le volume en
litres de produit fabriqu� est port� en abscisses, et le co�t de
fabrication en euros est port� en ordonn�es.
\vspd
\bgit
\item[1.] Par lecture graphique, r�pondre aux questions suivantes :
\vspd
\bgit
\item[(a)] Quel est le co�t de fabrication pour une production
journali�re de 40 litres ? De 90 litres ?
\vspd
\item[(b)] Quelle production journali�re correspond � un co�t de
fabrication de 525 euros ?
\vspd
\item[(c)] Quelle est la production journali�re maximale pour que le
co�t de fabrication n'exc�de pas 400 euros ?
\enit
\vspd
\item[2.] Dans le rep�re pr�c�dent, tracer la droite d'�quation
$y=7,5x$ et d�terminer graphiquement combien l'entreprise doit
fabriquer d'unit�s pour �tre b�n�ficiaire.
\enit
\vspd
{\bf Partie B}
\vspd
Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction $f$ est d�finie,
pour tout nombre r�el x de l'intervalle $[0, 100]$ par la relation
$f(x)=0,0625x^2 + 1,25x + 100$.
\vspd
\bgit
\item[1.] Montrer que pour tout nombre r�el x de l'intervalle $[0, 100]$,
\[g(x) - f (x) = 56,25 - 0,0625(x - 50)^2\]
\vsp
\item[2.] En d�duire le b�n�fice maximal que l'entreprise peut
r�aliser, en pr�cisant la production journali�re correspondante.
\enit
\vspace*{1cm}
\epsx=10cm\epsy=10cm
\ct{\epsfbox{./FIG/Courbe_Ga.eps}}
\enex
\vspd
\end{document}
Télécharger le fichier source 
