Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques
Terminale S
Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S: calcul de limites, Suites (annale Bac centres étarngers 2010), et étude de fonctions (sens de variation, limites, asymptotes) - Annales de bac: Amérique du Nord 2005, Polynésie 2006, et Bac C, Aix-Marseille 1989 !
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- Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S: calcul de limites, Suites (annale Bac centres étarngers 2010), et étude de fonctions (sens de variation, limites, asymptotes) - Annales de bac: Amérique du Nord 2005, Polynésie 2006, et Bac C, Aix-Marseille 1989 !
- Niveau
- Terminale S
- Mots clé
- Devoir corrigé de mathématiques, maths, TS, terminale S, limites, asymptote, suites, étude de fonctions
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\documentclass[12pt]{article} %\usepackage{french} \usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb} \usepackage[french]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage[latin1]{inputenc} %\usepackage{pslatex} \usepackage{a4wide} \usepackage{graphicx} \usepackage{epsf} \usepackage{calc} \usepackage{array} %\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pst-all} %\usepackage{pstricks-add} % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\ct}{\centerline} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N \def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0 \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R \def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z \def\epsi{\varepsilon} \def\vphi{\varphi} \def\lbd{\lambda} \def\Cf{\mathcal{C}_f} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}} \nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}} \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \nwc{\limcdt}[4]{ $\dsp \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar} {#3}={#4}$ } \nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ } \headheight=15pt \textheight=27.cm \topmargin=-2.4cm \footskip=.5cm \textwidth=18.6cm \oddsidemargin=-1.4cm \setlength{\unitlength}{1cm} \newcounter{ntheo} \setcounter{ntheo}{1} \newlength{\ltheo} \nwc{\bgth}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } \newcounter{nprop} \setcounter{nprop}{1} \newlength{\lprop} \nwc{\bgprop}[1]{ \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}} \noindent \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{nprop} } \nwc{\bgcorol}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp } \newcounter{ndef} \setcounter{ndef}{1} \newlength{\ldef} \nwc{\bgdef}[1]{ \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}} \noindent \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } \renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -} \renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})} % Bandeau en bas de page \newcommand{\TITLE}{Devoir de math�matiques} \author{Y. Morel} \date{} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{lastpage} \pagestyle{fancyplain} %\setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0pt} %\lhead{}\chead{}\rhead{} %\lfoot{Y. Morel} \rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}} %\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$} \cfoot{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %\thispagestyle{empty} \vspace*{-0.5cm} \hfill{\Large \bf \TITLE} \hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$ %\vspace{0.2cm} \vspt \bgex {\it (Baccalaur�at Am�rique du nord, juin 2005)} Soit la fonction $f$ d�finie sur l'intervalle $[0;2]$ par: $\dsp f(x)=\frac{2x+1}{x+1} $\vspd \bgit \item[1.] Etudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0;2]$. Montrer que si $x\in[1;2]$ alors $f(x)\in[1;2]$. \vspd \item[2.] $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites d�finies sur $\N$ par : $\la\bgar{l} u_0=1 \mbox{ et pour tout entier } n, u_{n+1}=f(u_n); \vspd\\ v_0=2 \mbox{ et pour tout entier } n, v_{n+1}=f(v_n). \enar\right.$ \vspd \bgit \item[a.] Tracer dans un rep�re orthonormal la courbe repr�sentative de la fonction $f$ sur l'intervalle~$[0;2]$. Construire sur l'axe des abscisses de ce graphique les trois premiers termes de chacune des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ en laissant apparents les traits de construction. \vspd A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ? \vspd \item[b.] Montrer � l'aide d'un raisonnement par r�currence que: \hspace{0.5cm}Pour tout entier $n$, $1\leq v_n\leq 2$. \hspace{0.5cm}Pour tout entier $n$, $v_{n+1}\leq v_n$. \vspd On admettra que l'on peut d�montrer de la m�me fa�on que: \hspace{0.5cm}Pour tout entier $n$, $1\leq u_n\leq 2$. \hspace{0.5cm}Pour tout entier $n$, $u_n\leq u_{n+1}$. \vspd \item[c.] Montrer que pour tout entier naturel $n$, $\dsp v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{v_n-u_n}{(v_n+1)(u_n+1)}$. En d�duire que pour tout entier naturel $n$, $v_n-u_n\geq 0$ et que: $\dsp v_{n+1}-u_{n+1}\leq \frac{1}{4}(v_n-u_n)$ \item[d.] Montrer que pour tout entier $n$, $\dsp v_n-u_n\leq \lp\frac{1}{4}\rp^n$. \item[e.] Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers un m�me r�el $\alpha$. D�terminer alors la valeur exacte de $\alpha$. \enit \enit \enex \vspq \bgex \bgit \item[1.] Soit $g$ la fonction d�finie sur $\R$ par: $g(x)=x^3-12x-16$. \vspd \bgit \item[a)] D�terminer les limites de $g$ en $-\infty$ et $+\infty$. \vspd \item[b)] Dresser le tableau de variations de $g$. \vspd \item[c)] Montrer que l'�quation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[3;5]$. D�terminer une valeur approch�e de $\alpha$ � $0,1$ pr�s par exc�s. \vspd \item[d)] D�duire de ce qui pr�c�de la signe de $g(x)$. \enit \vspd \item[2.] Soit $f$ la fonction d�finie sur $]2;+\infty[$ par: $\dsp f(x)=\frac{x^3+2x^2}{x^2-4}$ et $\Cf$ sa courbe repr�sentative dans un rep�re orthogonal. \vspd \bgit \item[a)] D�terminer la limite de $f$ en $2$ et en $+\infty$. Pr�ciser les �ventuelles asymptotes. \vspd \item[b)] On admet que, pour tout $x>2$, $\dsp f'(x)=\frac{xg(x)}{(x^2-4)^2}$. Dresser alors le tableau de variation de $f$. \vspd \item[c)] Montrer que la droite d'�quation $y=x+2$ est asymptote � $\Cf$. \enit \enit \enex \clearpage \bgex {\it (D'apr�s baccalaur�at Polyn�sie fran�aise, septembre 2006)} \bgit \item[1.] Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R$ par: \[ f(x)=(2x^3-4x^2)e^{-x} \] Dresser le tableau de variations de $f$. \vspd \item[2.] Soit $u$ une fonction d�finie et d�rivable sur $\R$. On d�finit la fonction $v$ sur $]0;+\infty[$ par $\dsp v(x)=u\lp\frac{1}{x}\rp$. \vsp \bgit \item[a)] On suppose que $u$ est croissante sur l'intervalle $[a;b]$ (o� $0<a<b$). \vspd D�terminer le sens de variation de $v$ sur $\dsp\Big[\frac{1}{b};\frac{1}{a}\Big]$. \vspd \item[b)] On d�finit maintenant la fonction $g$ par $\dsp g(x)=f\lp\frac{1}{x}\rp$ sur $]0;+\infty[$, o� $f$ est la fonction d�finie � la question 1. D�duire des questions pr�c�dentes le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$. \enit \enit \enex \vspq \bgex {\it (D'apr�s baccalaur�at C, Aix-Marseille 1989)} \vspd On appelle $f$ la fonction d�finie sur $]0;+\infty[$ par \[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{2x} \] et $\Cf$ sa courbe repr�sentative dans le plan muni d'un rep�re orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j})$ d'unit� 2 cm. \vspt \bgit \item[1)] Etudier les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$. Pr�ciser les �ventuelles asymptotes (on pourra �tudier $\dsp \lim_{x\to+\infty} \lp f(x)-\frac{x}{\sqrt{3}}\rp$). \vspd \item[2)] Montrer que, pour tout $x>0$, $\dsp f'(x)=\frac{2x^2-3}{2x^2\sqrt{3}}$. En d�duire les variations de $f$. \vspd \item[3)] Soit $m$ un r�el, et soit $\Delta$ la droite d'�quation $y=m$. Discuter, suivant les valeurs de $m$, le nombre de points d'intersection de $\Cf$ et $\Delta$. \vspd \item[4)] Pour $m>\sqrt{2}$, on appelle $A$ et $B$ les points d'intersection de $\Cf$ et $\Delta$, et $I$ le milieu de $[A;B]$. \vsp Donner, en fonction de $m$, les coordonn�es de $I$. Montrer que quand $m$ est dans l'intervalle $]\sqrt{2};+\infty[$, $I$ est sur la droite d'�quation $\dsp x=\frac{\sqrt{3}}{2}y$. \vspt \item[5)] Tracer la courbe $\Cf$ et ses asymptotes. \enit \enex \end{document}
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