Source Latex
sujet du devoir
\documentclass[12pt]{article}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=15pt
\textheight=27.cm
\topmargin=-2.4cm
\footskip=.5cm
\textwidth=18.6cm
\oddsidemargin=-1.4cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Devoir de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancyplain}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
%\lhead{}\chead{}\rhead{}
%\lfoot{Y. Morel}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\Large \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
%\vspace{0.2cm}
\vspt
\bgex {\it (Baccalaur�at Am�rique du nord, juin 2005)}
Soit la fonction $f$ d�finie sur l'intervalle $[0;2]$
par:
$\dsp f(x)=\frac{2x+1}{x+1}
$\vspd
\bgit
\item[1.] Etudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0;2]$.
Montrer que si $x\in[1;2]$ alors $f(x)\in[1;2]$.
\vspd
\item[2.] $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites d�finies sur $\N$ par :
$\la\bgar{l}
u_0=1 \mbox{ et pour tout entier } n, u_{n+1}=f(u_n); \vspd\\
v_0=2 \mbox{ et pour tout entier } n, v_{n+1}=f(v_n).
\enar\right.$
\vspd
\bgit
\item[a.] Tracer dans un rep�re orthonormal la courbe repr�sentative
de la fonction $f$ sur l'intervalle~$[0;2]$.
Construire sur l'axe des abscisses de ce graphique les trois
premiers termes de chacune des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ en
laissant apparents les traits de construction.
\vspd
A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le
sens de variation et la convergence des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ?
\vspd
\item[b.] Montrer � l'aide d'un raisonnement par r�currence que:
\hspace{0.5cm}Pour tout entier $n$, $1\leq v_n\leq 2$.
\hspace{0.5cm}Pour tout entier $n$, $v_{n+1}\leq v_n$.
\vspd
On admettra que l'on peut d�montrer de la m�me fa�on que:
\hspace{0.5cm}Pour tout entier $n$, $1\leq u_n\leq 2$.
\hspace{0.5cm}Pour tout entier $n$, $u_n\leq u_{n+1}$.
\vspd
\item[c.] Montrer que pour tout entier naturel $n$,
$\dsp v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{v_n-u_n}{(v_n+1)(u_n+1)}$.
En d�duire que pour tout entier naturel $n$, $v_n-u_n\geq 0$ et que:
$\dsp v_{n+1}-u_{n+1}\leq \frac{1}{4}(v_n-u_n)$
\item[d.] Montrer que pour tout entier $n$,
$\dsp v_n-u_n\leq \lp\frac{1}{4}\rp^n$.
\item[e.] Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers
un m�me r�el $\alpha$.
D�terminer alors la valeur exacte de $\alpha$.
\enit
\enit
\enex
\vspq
\bgex
\bgit
\item[1.]
Soit $g$ la fonction d�finie sur $\R$ par:
$g(x)=x^3-12x-16$.
\vspd
\bgit
\item[a)] D�terminer les limites de $g$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\vspd
\item[b)] Dresser le tableau de variations de $g$.
\vspd
\item[c)] Montrer que l'�quation $g(x)=0$ admet une unique solution
$\alpha$ dans $[3;5]$.
D�terminer une valeur approch�e de $\alpha$ � $0,1$ pr�s par
exc�s.
\vspd
\item[d)] D�duire de ce qui pr�c�de la signe de $g(x)$.
\enit
\vspd
\item[2.] Soit $f$ la fonction d�finie sur $]2;+\infty[$ par:
$\dsp f(x)=\frac{x^3+2x^2}{x^2-4}$ et $\Cf$ sa courbe
repr�sentative dans un rep�re orthogonal.
\vspd
\bgit
\item[a)] D�terminer la limite de $f$ en $2$ et en $+\infty$.
Pr�ciser les �ventuelles asymptotes.
\vspd
\item[b)] On admet que, pour tout $x>2$,
$\dsp f'(x)=\frac{xg(x)}{(x^2-4)^2}$.
Dresser alors le tableau de variation de $f$.
\vspd
\item[c)] Montrer que la droite d'�quation $y=x+2$ est asymptote �
$\Cf$.
\enit
\enit
\enex
\clearpage
\bgex {\it (D'apr�s baccalaur�at Polyn�sie fran�aise, septembre 2006)}
\bgit
\item[1.] Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R$ par:
\[ f(x)=(2x^3-4x^2)e^{-x}
\]
Dresser le tableau de variations de $f$.
\vspd
\item[2.] Soit $u$ une fonction d�finie et d�rivable sur $\R$.
On d�finit la fonction $v$ sur $]0;+\infty[$ par
$\dsp v(x)=u\lp\frac{1}{x}\rp$.
\vsp
\bgit
\item[a)] On suppose que $u$ est croissante sur l'intervalle $[a;b]$
(o� $0<a<b$).
\vspd
D�terminer le sens de variation de $v$ sur
$\dsp\Big[\frac{1}{b};\frac{1}{a}\Big]$.
\vspd
\item[b)] On d�finit maintenant la fonction $g$ par
$\dsp g(x)=f\lp\frac{1}{x}\rp$ sur $]0;+\infty[$,
o� $f$ est la fonction d�finie � la question 1.
D�duire des questions pr�c�dentes le tableau de variations de la
fonction $g$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$.
\enit
\enit
\enex
\vspq
\bgex {\it (D'apr�s baccalaur�at C, Aix-Marseille 1989)}
\vspd
On appelle $f$ la fonction d�finie sur $]0;+\infty[$ par
\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{2x}
\]
et $\Cf$ sa courbe repr�sentative dans le plan muni d'un rep�re
orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j})$ d'unit� 2 cm.
\vspt
\bgit
\item[1)] Etudier les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$.
Pr�ciser les �ventuelles asymptotes
(on pourra �tudier $\dsp \lim_{x\to+\infty} \lp f(x)-\frac{x}{\sqrt{3}}\rp$).
\vspd
\item[2)] Montrer que, pour tout $x>0$,
$\dsp f'(x)=\frac{2x^2-3}{2x^2\sqrt{3}}$.
En d�duire les variations de $f$.
\vspd
\item[3)] Soit $m$ un r�el, et soit $\Delta$ la droite d'�quation
$y=m$.
Discuter, suivant les valeurs de $m$, le nombre de points
d'intersection de $\Cf$ et $\Delta$.
\vspd
\item[4)] Pour $m>\sqrt{2}$, on appelle $A$ et $B$ les points
d'intersection de $\Cf$ et $\Delta$, et $I$ le milieu de $[A;B]$.
\vsp
Donner, en fonction de $m$, les coordonn�es de $I$.
Montrer que quand $m$ est dans l'intervalle $]\sqrt{2};+\infty[$,
$I$ est sur la droite d'�quation $\dsp x=\frac{\sqrt{3}}{2}y$.
\vspt
\item[5)] Tracer la courbe $\Cf$ et ses asymptotes.
\enit
\enex
\end{document}
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