Source Latex
sujet du devoir
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% Generateur automatique de devoir, %
% par Y. Morel %
% https://xymaths.fr %
% %
% Genere le: %
% mercredi 23 mars 2016 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
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\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
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\protect\vspace*{\fill}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
{\pagestyle{empty}}%
{%
\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Soit $F$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par l'expression: $F(x)=xe^{-x}$.
\bgen
\item Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ d\'efinie sur
$\R$ par $f(x)=(1-x)e^{-x}$.
Existe-t'il d'autres primitives de la fonction $f$ ?
\item La fonction $f$ est-elle une fonction densit\'e de loi de
probabilit\'e sur l'intervalle $[0;1]$ ?
\enen
\enex
\bgex
{\bf QCM} Pour chaque question, une seule r\'eponse est correcte.
Indiquez la question et sa r\'eponse sur la copie, en justifiant le
choix.
\bgen
\item $X$ est une variable al\'eatoire suivant la loi uniforme sur
$[2;20]$. \\
La probabilit\'e $P_{\lp X> 4\rp}\lp 5\leqslant X\leqslant 10\rp$
est \'egale \`a:
a)\ $\dfrac{5}{18}$ \qquad
b)\ $\dfrac{5}{16}$ \qquad
c)\ $\dfrac{1}{4}$
\vspd
\item On note $X$ une variable al\'eatoire qui suit la loi
exponentielle de param\`etre $\lambda>0$. \\
$P\lp 1\leq X \leq 3\rp$ est \'egal \`a:
a)\ $e^{-\lambda}-e^{-3\lambda}$ \qquad
b)\ $e^{-3\lambda}-e^{-\lambda}$ \qquad
c)\ $\dfrac{e^{-\lambda}}{e^{-3\lambda}}$ \qquad
d)\ $\dfrac{e^{-3\lambda}}{e^{-\lambda}}$
\vspd
\item La dur\'ee d'attente $T$, en minutes, \`a un
p\'eage d'autoroute est une variable al\'eatoire qui suit la loi
exponentielle de param\`etre $\dfrac16$.\\
Sachant que l'automobiliste a d\'ej\`a attendu 2 min, la probabilit\'e que
son temps d'attente total soit inf\'erieur \`a 5 min est
approximativement \'egal \`a:
a)\ $0,3935$ \qquad
b)\ $0,5654$ \qquad
c)\ $0,6065$
\vspd
\item On note $X$ une variable al\'eatoire qui suit la loi
exponentielle de param\`etre $\lambda>0$, et $\mu=E(X)$ son esp\'erance.
La probabilit\'e que $X$ soit sup\'erieure \`a son esp\'erance $\mu$
est:
a)\ $\dfrac12$ \qquad
b)\ $e^{-\lambda^2}$ \qquad
c)\ $1-\dfrac{1}{e}$ \qquad
d)\ $\dfrac{1}{e}$
\enen
\enex
\bgex
\textit{(Bac S, 28 mai 2013, Liban, 5 points)}
L'entreprise \emph{Fructidoux} fabrique des compotes qu'elle
conditionne en petits pots de 50~grammes. Elle souhaite leur attribuer
la d\'enomination \og compote all\'eg\'ee \fg.
La l\'egislation impose alors que la teneur en sucre, c'est-\`a-dire la
proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et
0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.
L'entreprise poss\`ede deux cha\^ines de fabrication F$_1$ et F$_2$.
\vspd
\emph{Les parties A et B peuvent \^etre trait\'ees ind\'ependamment}
\vspd
\textbf{Partie A}
\vspd
La cha\^ine de production F$_2$ semble plus fiable que la cha\^ine de
production F$_1$. Elle est cependant moins rapide.
Ainsi, dans la production totale, 70\,\% des petits pots proviennent
de la cha\^ine F$_1$ et 30\,\% de la cha\^ine F$_2$.
La cha\^ine F$_1$ produit 5\,\% de compotes non conformes et la cha\^ine
F$_2$ en produit 1\,\%.
On pr\'el\`eve au hasard un petit pot dans la production totale.
On consid\`ere les \'ev\`enements :
\vsp
$E$ : \og Le petit pot provient de la cha\^ine F$_{2}$ \fg
\vsp
$C$ : \og Le petit pot est conforme. \fg
\vspd
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pond\'er\'e sur lequel on indiquera les donn\'ees
qui pr\'ec\`edent.
\item Calculer la probabilit\'e de l'\'ev\`enement : \og Le petit pot est
conforme et provient de la cha\^ine de production F$_1$. \fg
\item D\'eterminer la probabilit\'e de l'\'ev\`enement $C$.
\item D\'eterminer, \`a $10^{-3}$ pr\`es, la probabilit\'e de l'\'ev\`enement $E$
sachant que l'\'ev\`enement $C$ est r\'ealis\'e.
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie B}
\vspd
\begin{enumerate}
\item
On note $X$ la variable al\'eatoire qui, \`a un petit pot pris au hasard dans la production de la cha\^ine F$_{1}$, associe sa teneur en sucre.
On suppose que $X$ suit la loi normale d'esp\'erance $m_{1} = 0,17$ et d'\'ecart-type $\sigma_{1} = 0,006$.
Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.
\[\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|*2{p{2cm}|}p{3.4cm}|}\hline
$\alpha$& $\beta$&$P(\alpha \leqslant X \leqslant \beta)$\\ \hline
0,13 &0,15 &{0,0004}\\ \hline
0,14 &0,16 &{0,0478}\\ \hline
0,15 &0,17 &{0,4996} \\ \hline
0,16 &0,18 &{0,9044}\\ \hline
0,17 &0,19 &{0,4996}\\ \hline
0,18 &0,20 &{0,0478}\\ \hline
0,19 &0,21 &{0,0004} \\ \hline
\end{tabular}
\]
Donner une valeur approch\'ee \`a $10^{-4}$ pr\`es de la probabilit\'e qu'un
petit pot pr\'elev\'e au hasard dans la production de la cha\^ine F$_1$
soit conforme.
\item On note $Y$ la variable al\'eatoire qui, \`a un petit pot pris au
hasard dans la production de la cha\^ine F$_2$, associe sa teneur en
sucre.
On suppose que $Y$ suit la loi normale d'esp\'erance $m_2 = 0,17$ et
d'\'ecart-type $\sigma_2$.
On suppose de plus que la probabilit\'e qu'un petit pot pr\'elev\'e au
hasard dans la production de la cha\^ine F$_2$ soit conforme est
\'egale \`a $0,99$.
Soit Z la variable al\'eatoire d\'efinie par $Z = \dfrac{Y - m_{2}}{\sigma_{2}}$.
\begin{enumerate}[a.]
\item Quelle loi la variable al\'eatoire $Z$ suit-elle ?
\item D\'eterminer, en fonction de $\sigma_2$ l'intervalle auquel
appartient $Z$ lorsque $Y$ appartient \`a l'intervalle
[0,16~;~0,18].
\item En d\'eduire une valeur approch\'ee \`a $10^{-3}$ pr\`es de $\sigma_2$.
On pourra utiliser le tableau donn\'e ci-dessous, dans lequel la
variable al\'eatoire $Z$ suit la loi normale d'esp\'erance $0$ et
d'\'ecart-type $1$.
\end{enumerate}
\[\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|*2{p{3cm}|}}\hline
$\beta$&$P(- \beta \leqslant Z \leqslant \beta)$\\ \hline
{2,4324} &0,985\\ \hline
{2,4573} &0,986\\ \hline
{2,4838} &0,987\\ \hline
{2,5121} &0,988\\ \hline
{2,5427} &0,989\\ \hline
{2,5758} &0,990\\ \hline
{2,6121} &0,991\\ \hline
{2,6521} &0,992\\ \hline
{2,6968} &0,993\\ \hline
\end{tabular}
\]
\end{enumerate}
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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