Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={DS de math�matiques: Nombres complexes},
pdftitle={Devoir de math�matiques: Nombres complexes},
pdfkeywords={Math�matiques, TS, terminale, S,
complexes, nombres complexes,
exerices, bac, baccalaur�at, type BAC}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
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\nwc{\ct}{\centerline}
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\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
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\footskip=1.cm
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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
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\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\newlength{\lprop}
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\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
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\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
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\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}
}
%\newenvironment{proof}{
% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspd\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Devoir de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\bgex {\it (Baccalaur�at France m�tropolitaine, Septembre 2007, 5 points)}
Soit les nombres complexes :
\[z_{1} = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6},~ z_{2} = 2 + 2\text{i}\quad \text{et} \quad Z = \dfrac{z_{1}}{z_{2}}.\]
\begin{enumerate}
\item �crire $Z$ sous forme alg�brique.
\item Donner les modules et arguments de $z_{1},~� z_{2}$ et $Z$.
\item En d�duire $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
\item Le plan est muni d'un rep�re orthonormal ; on prendra 2~cm comme unit� graphique.
On d�signe par A, B et C les points d'affixes respectives $z_{1},~ z_{2}$ et $Z$. Placer le point B, puis placer les points A et C en utilisant la r�gle et le compas (on laissera les traits de construction apparents).
\item �crire sous forme alg�brique le nombre complexe $Z^{\nombre{2007}}$.
\end{enumerate}
\enex
\bgex {\it (Baccalaur�at Antilles-Guyane, Juin 2000, 5 points)}
\begin{enumerate}\item Pour tout nombre complexe $z$, on pose $P(z) = z^3 - 3 z^2 + 3z +
7$.\\
\begin{enumerate}\item Calculer $P(-~1)$ .\\
\item D\'eterminer les r\'eels $a$ et $b$ tels que pour tout nombre complexe $z$, on
ait :
\[P(z) = (z+1)(z^2 + az + b).\]
\item R\'esoudre dans C l'\'equation $P(z) = 0$.
\end{enumerate}
\item Le plan complexe est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal direct $(O~ ;~
\vec{u},~\vec{v})$. (Unit\'e graphique : 2 cm.) On d\'esigne par $A,~ B,~ C$ et $G$
les points du plan d'affixes respectives
\[z_{\text{A}} = - 1 ,~ z_{\text{B}} = 2 + \text{i}\sqrt{3},~
z_{\text{C}} = 2 - \text{i}\sqrt{3}\quad \text{et}\quad
z_{\text{G}} = 3.\]
\begin{enumerate}\item R\'ealiser une figure et placer les points A,~ B,~ C et G.\\
\item Calculer les distances AB,~ BC et AC. En d\'eduire la nature du triangle
ABC.\\
\item Calculer un argument du nombre complexe $\cfrac{z_{\text{A}} -
z_{\text{C}}}{z_{\text{G}} - z_{\text{C}}}$ . En d\'eduire la nature du triangle
GAC.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\enex
\vspd
\bgex {\it (Centres �trangers, Juin 2010)}\hrulefill {\bf 5 points}
\vspt
Dans le plan complexe $(\mathcal{P})$ muni d'un rep�re orthonormal
direct $(O;\vec{u},\vec{v})$ d'unit� graphique 4~cm, on consid�re le point A d'affixe
$a = - 1$ et l'application $f$, du plan $(\mathcal{P})$ dans lui�m�me,
qui au point $M$ d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M' =
f(M)$ d'affixe $z'$ tel que :
\[z' =\dfrac{\text{i}z}{z + 1}.\]
\vspd
\begin{enumerate}
\item D�terminer l'affixe des points $M$ tels que $M' = M$.
\vspd
\item D�montrer que pour tout point $M$ distinct de A et de O, on a :
\[\text{O}M' = \dfrac{\text{O}M}{\text{A}M}~\text{et}~
\left(\vec{u},~\V{\text{O}M'}\right) =
\left(\V{M\text{A}},~\V{M\text{O}}\right) +
\dfrac{\pi}{2}~\text{\`a}~2\pi~\text{pr\`es}.\]
\vspd
\item
\begin{enumerate}
\item Soit B le point d'affixe $b = - \dfrac{1}{2} + \text{i}$.
Placer dans le rep�re le point B et la m�diatrice ($\Delta$) du
segment [OA].
\vspd
\item Calculer sous forme alg�brique l'affixe $b'$ du point B$'$
image du point B par $f$.
�tablir que B$'$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$ de centre O
et de rayon 1.
Placer le point B$'$ et tracer le cercle $(\mathcal{C})$ dans le
rep�re.
\vspd
\item En utilisant la question 2, d�montrer que, si un point $M$
appartient � la m�diatrice ($\Delta$), son image $M'$ par $f$
appartient au cercle $(\mathcal{C})$.
\vspd
\item Soit C le point tel que le triangle AOC soit �quilat�ral
direct.
En s'aidant des r�sultats de la question 2, construire, � la r�gle
et au compas, l'image du point C par $f$ (On laissera apparents
les traits de construction.)
\end{enumerate}
\vspd
\item Dans cette question, on se propose de d�terminer
%, par deux m�thodes diff�rentes,
l'ensemble ($\Gamma$) des points $M$ distincts
de A et de O dont l'image $M'$ par $f$ appartient � l'axe des
abscisses.
%Les questions a. et b. peuvent �tre trait�es de fa�on ind�pendante.
%\begin{enumerate}
%
% \vspd
%\item On pose $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ r�els tels que
% $(x,~y) \neq (-1,~0)$ et $(x,~y) \neq (0,~0)$.
%
% D�montrer que la partie imaginaire de $z'$ est �gale � :
%
% \[\text{Im}\left(z'\right) = \dfrac{x^2 + y^2 + x}{(x + 1)^2 + y^2}\]
%
% En d�duire la nature et les �l�ments caract�ristiques de
% l'ensemble ($\Gamma$) et le tracer dans le rep�re.
% \vspd
%\item
\vspd
� l'aide de la question 2, retrouver g�om�triquement la nature
de l'ensemble ($\Gamma$).
%\end{enumerate}
\end{enumerate}
\enex
\end{document}
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