Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques

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Description

Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S - Suites et fonctions: dérivée, variations, limites, comportement asymptotique. Étude d&apo;une fonction grâce à sa dérivée seconde

Niveau

Terminale S

Mots clé

Devoir corrigé de mathématiques, maths, TS, terminale S, limites, asymptote, suites, étude de fonctions

Corrigé du devoir

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\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
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\usepackage{epsf}
\usepackage{calc}

\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}
%\usepackage{pstricks-add}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=15pt
\textheight=27.cm
\topmargin=-2.4cm
\footskip=.5cm
\textwidth=18.6cm
\oddsidemargin=-1.4cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Devoir de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}

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%\lfoot{Y. Morel}
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%\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\Large \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
%\vspace{0.2cm}


\bgex

Soit $f$ une fonction continue et d�finie sur l'intervalle $[0;1]$ et �
valeurs dans l'intervalle $[0;1]$. 

D�montrer que $f$ admet (au moins) un point fixe dans $[0;1]$. 

\enex

\bgex
$f$ est la fonction d�finie sur $\R$ par: 
$\dsp f(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{3}{2}x^2+4x$. 

\vspd
\bgit
\item[1.] 
  \bgit
  \item[a)] Calculer la d�riv�e de $f'$ de la fonction $f$. 
    \vsp
  \item[b)] Calculer la d�riv�e seconde $f''$ de $f$. 
  \enit

\vspt
\item[2.]
  \bgit
  \item[a)] D�terminer les variations de la fonction $f'$. 
    \vsp
  \item[b)] Dresser le tableau de variation de $f'$. 

    Prouver que l'�quation $f'(x)=0$ admet une solution unique $c$ et
    que cette solution appartient � l'intervalle $]-\infty;-1]$. 

        \vsp
  \item[c)] Donner un encadrement de $c$ d'amplitude $10^{-2}$. 
  \enit

\vspt
\item[3.] 
  \bgit
  \item[a)] D�terminer le signe de la fonction $f'$, 
    puis dresser le tableau de variation de la fonction $f'$. 
    \vsp
  \item[b)] Montrer que $\dsp f(c)=\frac{3c(4-c)}{4}$
    \vsp
  \item[c)] D�terminer le nombre de racines du polyn�me $f$.
  \enit
\enit

\enex


\bgex

On consid�re une fonction $f$ d�finie sur $\R$ par: 
\[f(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}\ .\]

On note $\Cf$ sa courbe repr�sentative dans un rep�re
$(O;\vec{i},\vec{j})$. 

On sait que la courbe $\Cf$ passe par le point $A(0;1)$ et qu'elle
admet une tangente parall�le � $(Ox)$ au point d'abscisse $1$. 
On sait aussi que $f'(0)=-6$. 

\vsp
D�terminer les coefficients $a$, $b$ et $c$. 


\enex

\bgex

On consid�re  la fonction d�finie sur $[0;+\infty[$ par: 
$\dsp f(x)=x^2-2+2e^{-\frac{x}{2}}$. 

On note $\Cf$ sa courbe repr�sentative dans le plan muni d'un rep�re
orthonormal. 

\vspd
\bgit
\item[1.] {\it Etude de $f$}
  \bgit
  \item[a)] D�terminer $f'(x)$ pour tout $x$ de $[0;+\infty[$. 
      \vsp
  \item[b)] Etudier le sens de variation de $f'$.

    \vsp
    D�terminer la limite de $f'$ en $+\infty$ et pr�ciser $f'(0)$. 
    \vsp
  \item[c)] En d�duire l'existence et l'unicit� d'un r�el $\alpha$
    strictement positif pour lequel $f'$ s'annule. 
    
    \vsp
    V�rifier que $0,4<\alpha<0,5$.
    \vsp
  \item[d)] D�terminer le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de $[0;+\infty[$.
  \enit

  \vspd
\item[2)] {\it Comportement de $f$ en $+\infty$}
  \bgit
  \item[a)] D�terminer la limite de $f$ en $+\infty$. 
    \vsp
  \item[b)] On pose, pour tout $x$ de $[0;+\infty[$: 
      $d(x)=f(x)-(x^2-2)$. 

      D�terminer le signe de $d(x)$ et sa limite lorsque $x$ tend vers
      $+\infty$. 
      Interpr�ter graphiquement ces r�sultats.
  \enit

  \vspd
\item[3.] {\it Variations de $f$}
  \bgit
  \item[a)] Donner le tableau de variations de $f$.
    \vsp
  \item[b)] Donner, en le justifiant, le signe de $f(\alpha)$.
  \enit
\enit
\enex


\bgex {\it (Baccalaur�at Inde, avril 2005)}

Pour tout entier naturel $n$, on pose $\dsp u_n=\frac{n^{10}}{2^n}$. 
On d�finit ainsi une suite $(u_n)_{n\in\N}$. 

\vspd
\bgit
\item[1.] Prouver, pour tout entier naturel $n$ non nul, 
  l'�quivalence suivante: 
  
  \[ u_{n+1}\leq 0,95 u_n \ \mbox{ si et seulement si, } 
  \lp1+\frac{1}{n}\rp^{10}\leq 1,9
  \]

\item[2.] On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $[1;+\infty[$ par 
    $\dsp f(x)=\lp 1+\frac{1}{x}\rp^{10}$. 
    \vsp
    \bgit
    \item[a)] Etudier le sens de variation de et la limite de la fonction $f$.
      \vsp
    \item[b)] Montrer qu'il existe dans l'intervalle $[1;+\infty[$ un
        unique nombre r�el $\alpha$ tel que $f(\alpha)=1,9$. 
        \vsp
    \item[c)] D�terminer l'entier naturel $n_0$ tel que 
      $n_0-1\leq \alpha\leq n_0$. 
      \vsp
    \item[d)] Montrer que, pour tout entier naturel $n$ sup�rieur ou
      �gal � $16$, on a: 
      \[ \lp1+\frac{1}{n}\rp^{10}\leq 1,9 \ .
      \]
    \enit
\item[3.] 
  \bgit
  \item[a)] D�terminer le sens de variation de la suite $(u_n)$ �
    partir du rang $16$. 
    \vsp
  \item[b)] Que peut-on en d�duire pour la suite ? 
  \enit
  \vspd
\item[4.] En utilisant un raisonnement par r�currence, prouver, pour
  tout entier naturel $n$ sup�rieur ou �gal � $16$, l'encadrement: 
  \[ 0\leq u_n\leq 0,95^{n-16}\,u_{16} \ .
  \]
  En d�duire la limite de la suite $(u_n)_{n\in\N}$.
\enit
\enex

\bgex

Soit $f$ la fonction d�finie sur $[0;+\infty[$ par: 
    \[ f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2}e^{-\frac{1}{x}} \ \mbox{ si } x>0
    \ \mbox{, et }\ f(0)=0.
    \]
On note $\Cf$ sa courbe repr�sentative dans le plan muni d'un rep�re
orthonormal (unit�: 5 cm). 
\vspd

\bgit
\item[1.] D�montrer que la droite d'�quation $y=1$ est asymptote �
  $\Cf$.
  \vsp
\item[2.] D�montrer que pour $x>0$, on a: 
  $\dsp f'(x)=\frac{1-x}{x^4}e^{-\frac{1}{x}}$.
  \vsp
\item[3.] Dresser le tableau de variation de $f$, et tracer l'allure
  de $\Cf$.
\enit
\enex


\end{document}

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