Bac Nouvelle Calédonie 2014 - Suites récurrentes
Suites récurrentes - Construction graphique - Algorithme et limite
Exercice corrigé Bac, Nouvelle Calédonie 2014: un exercice complet sur les suites récurrentes, démonstration par récurrence, et algorithme
On considère la fonction
![$f](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex114.NC/1.png)
![$[0~;~+ \infty[](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex114.NC/2.png)
![f(x) = 5 - \dfrac{4}{x + 2}.](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex114.NC/3.png)
On admettra que
![$f](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex114.NC/4.png)
![$[0~;~+ \infty[](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex114.NC/5.png)
On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe
![$\mathcal{C}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex114.NC/6.png)
![$f](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex114.NC/7.png)
![$\mathcal{D}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex114.NC/8.png)
![$y = x](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex114.NC/9.png)
- Démontrer que
est croissante sur l'intervalle
.
- Résoudre l'équation
sur l'intervalle
. On note
la solution.
On donnera la valeur exacte depuis on en donnera une valeur approchée à
près.
- On considère la suite
définie par
et, pour tout entier naturel
,
.
Sur la figure de annexe 1, en utilisant la courbeet la droite
, placer les points
,
et
d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives
,
et
.
Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite?
-
- Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel
,
oùest le réel défini dans la question 2.
- Peut-on affirmer que la suite
est convergente ? On justifiera la réponse.
- Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel
- Pour tout entier naturel
, on définit la suite
par
- Calculer
,
et
. Donner une valeur approchée des résultats à
près.
- Compléter l'algorithme donné en annexe 2 pour qu'il affiche la somme
pour la valeur de l'entier
demandée à l'utilisateur.
- Montrer que la suite
diverge vers
.
- Calculer
Annexe 1 à rendre avec la copie
![\psset{unit=1.35cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(8.1,7.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(8.1,7.2)
\psline[linecolor=cyan](7.2,7.2)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8.1}{5 4 x 2 add div sub}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex114.NC/45.png)
Annexe 2 à rendre avec la copie
![\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textbf{Entr\'ee:}&$n$ un entier naturel \\
\textbf{Variables:}&$u$ et $s$ sont des variables r\'eelles\\
&$n$ et $i$ sont des variables enti\`eres\\
\textbf{Initialisation:}& $u$ prend la valeur 1 \\
&$s$ prend la valeur $u$ \\
&$i$ prend la valeur 0\\
&Demander la valeur de $n$ \\
\textbf{Traitement:}&Tant que \ldots\\
&Affecter \`a $i$ la valeur $i + 1$\\
&Affecter \`a $u$ la valeur \ldots\\
&Affecter \`a $s$ la valeur \ldots\\
&Fin Tant que \\
\textbf{Sortie:}&Afficher $s$.\\ \hline
\end{tabular}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex114.NC/46.png)
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