Exercice corrigé - Second degré: Intersection d'une parabole et d'une droite

Intersection d'une parabole et d'une droite

Première générale et scientifique

Exercice corrigé de mathématiques: Exercice corrigé sur Second degré - Recherche de l'intersection de deux courbes: une parabole et d'une droite

Soit la fonction

définie sur ${\rm I\kern-.1567em R}$ par

. On note $\mathcal{P}$ la parabole représentant graphiquement

dans un repère.

1) Pour un nombre réel, on note $(\mathcal{D}_p)$ la droite d'équation . Pour quelles valeurs de la droite $(\mathcal{D}_p)$ coupe-t-elle la parabole en un seul point ? en deux points disctincts ?
2) Pour un nombre réel, on note $(\Delta_m)$ la droite d'équation . Pour quelles valeurs de la droite $(\Delta_p)$ coupe-t-elle la parabole en un unique point ?

1) La parabole coupe la droite $(\mathcal{D}_p)$ aux éventuels points d'abscisse tel que , soit , ou encore . Le discriminant de cette équation du second degré est : $\Delta=4-4\times 9\times (1-p)=4(-8+9p)$ . La parabole coupe cette droite en un seul point si et seulement si $\Delta=0$ , soit , et donc si et seulement si $p=\frac{8}{9}$ . La parabole coupe cette droite en deux points distincts si et seulement si $\Delta>0$ , c'est-à-dire si et seulement si $p>\frac{8}{9}$ .
2) La parabole coupe la droite $(\Delta_m)$ aux éventuels points d'abscisse tel que , soit , ou encore . La parabole coupe cette droite en un unique point si et seulement si le discriminant de cette équation est nul: $\Delta=(3-m)^2-4\times 9=0$ , soit . Le discriminant de cette dernière équation est $\Delta'=36+4\times 27=144=12^2$ . Elle admet donc deux solutions réelles distinctes $m=\frac{6-12}{2}=-3$ et $m=\frac{6+12}{2}=9$ . Finalement, la parabole coupe $(\Delta_m)$ en un seul point pour et .

Voir aussi: