Source Latex: Exercices de mathématiques, Fonctions (généralités)

Première STI2D

Fonctions (généralités)

Exercices (non corrigés) de mathématiques 1ère STI2D - fonctions
Fichier
Type: Exercices
File type: Latex, tex (source)
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Description
Exercices (non corrigés) de mathématiques 1ère STI2D - fonctions
Niveau
Première STI2D
Mots clé
fonctions, courbe représentative d'une fonction, signe d'une expression, fonctions usuelles, maths, première, 1ère, STI2D

Quelques devoirs


Voir aussi:

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Source Latex 

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices de mathématiques 1ère STI2D: Fonctions},
    pdftitle={Fonctions - Exercices},
    pdfkeywords={Mathématiques, exercices, 1STI, première, STI, STI2D, 
      fonctions}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
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\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{.3em}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \ }
  \noindent
  \paragraph{Définition}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-1em}{\it #1}\enmp
}

\newlength{\lexp}
\nwc{\bgexp}[1]{
  \settowidth{\lexp}{Exemple:}
  \noindent\paragraph{Exemple:}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lexp-1em}{\it #1}\enmp
}

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  \settowidth{\ltheo}{Théorème \ }
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-1em}{\it #1}\enmp
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\newlength{\lprop}
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  \settowidth{\lprop}{Propriété}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
}


\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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	\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Fonctions (1) - Exercices - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\thesection}{\Roman{section} -}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}.}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\alph{subsubsection})\ }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
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\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf Fonctions - $1^\text{ère}$ partie - Exercices}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}STI2D$


\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $[-10;10]$ par 
$f(x)=2x^2-3$. 
\bgen
\item Donner les images de 3; 5; 0; $-1$ et $-3$.
\item Quels sont les antécédents de 1 ? 
\enen
\enex

\bgex
$ABCD$ est un trap\`eze rectangle tel que $AB= 5$, $AD=10$ 
et $BC= 22$. $M$ est un point du segment~$[BC]$.  
 
\[\psset{unit=.4cm}\begin{pspicture}(0,-.5)(22,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pspolygon[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,5)(0,0)(22,0)(10,5)(0,5)
\uput[ul](0,5){\footnotesize{\bleu{$A$}}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[dr](22,0){\footnotesize{\bleu{$C$}}}
\uput[ur](10,5){\footnotesize{\bleu{$D$}}}
\uput[d](3.5,0){\prune{$x$}}
\uput[d](7,0){\footnotesize{\prune{$M$}}}
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=prune](0,0)(7,0)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](10,5)(7,0)
\end{pspicture}
\]
On pose $x = BM$. Soit $f$ la fonction telle que $f(x) = DM$.

{\sl On ne cherche pas ici \`a donner l'expression alg\'ebrique $f(x)$ de la
  fonction $f$ en fonction de $x$.}

\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de d\'efinition de la fonction $f$ ?
\item D\'eterminer $f(0)$, $f(10)$ et $f(22)$. 
\item Détailler comment varie $f(x)$ lorsque $x$ augmente. 
  
  Représenter graphiquement ces détails à l'aide d'un graphique et/ou 
  d'un tableau représentant les variations. 
\item 7 a-t-il un antécédent par $f$ ? 
\end{enumerate}
\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-12x+11$. 
\bgen
\item Montrer que, pour tout réel $x$, 
  $f(x)=(x-11)(x-1)$. 
\item Déterminer l'image de 3 par la fonction $f$. 

  Déterminer de m\^eme l'image de $-2$ par $f$. 
\item Déterminer les antécédents éventuels de 0 par $f$. 

  Déterminer de m\^eme les antécédents éventuels de 11 par $f$. 
\enen
\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2-6x-20$. 
\bgen
\item Montrer que, pour tout réel $x$, 
  $f(x)=2(x+2)(x-5)$. 
\item Déterminer l'image de $-2$ par la fonction $f$. 

  Déterminer de m\^eme l'image de $-3$ par $f$. 
\item Déterminer les antécédents éventuels de $-20$ par $f$. 

  Déterminer de m\^eme les antécédents éventuels de 0 par $f$. 
\enen
\enex



\bgex Soit la fonction $f$ définie par l'expression 
$f(x)=2x^2-3x+2$. 

Indiquer les points qui appartiennent à $\mathcal{C}_f$: 

$A(0;2)$ \ ; \ $B(1;1)$ \ ;\ 
$C(-2;4)$ \ ; \ $D(-3;29)$  \ ;\ 
$E(10;172)$ \ ; \ $F(125;30\,877)$\ .

\vsp
Placer ces points dans un repère et tracer une courbe $\mathcal{C}_f$ possible. 
\enex


\bgex
Soit la fonction $g$ définie par l'expression 
$g(x)=\dfrac{x+6}{x-2}$. 

Indiquer les points qui appartiennent à $\mathcal{C}_f$: 

$A(0;-3)$ \ ; \ $B(1;-7)$ \ ;\ 
$C(-1;-2,5)$ \ ; \ $D(2;8)$  \ ;\ 
$E(-2;-1)$ \ ; \ $F(6;3)$\ ;\ 
$G(3;10)$\ ; \ $H(4;5)$

\vsp
Placer ces points dans un repère et tracer une courbe $\mathcal{C}_g$ possible. 
\enex


\bgex
Soit $g$ la fonction définie sur $[-10;10]$ par 
l'expression $g(x)=2x-3$. \\
Tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_g$ à l'aide d'une calculatrice 
(ou ordinateur\dots) et donner le tableau de variation correspondant. 
\enex

\bgex
Soit $h$ la fonction définie sur $[0;15]$ par l'expression 
$h(x)=x^2+6x-3$\\
Tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_h$ à l'aide d'une calculatrice 
(ou ordinateur\dots) et donner le tableau de variation correspondant. 
\enex

\bgex
Soit $k$ la fonction définie sur $[-4;7]$ par l'expression 
$k(x)=x^3-3x^2+2$\\
Tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_k$ à l'aide d'une calculatrice 
(ou ordinateur\dots) et donner le tableau de variation correspondant. 
\enex


\bgex
On considère la fonction carré $f:x\mapsto x^2$. 
\bgen[a)]
\item Quelle est la variation de $f$ entre $x=1$ et $x=2$ ? 
\item Quelle est la variation de $f$ entre $x=1$ et $x=3$ ? 
\item Quelle est la variation de $f$ entre $x=1$ et $x=1.5$ ? 
\item Comparer ces trois variations. 
\enen
\enex


\bgex
On considère la fonction carré $f:x\mapsto x^2$ 
et la fonction cube, $g:x\mapsto x^3$, définies sur $\R$. 

Calculer les taux de variation de $f$ et de $g$, puis les comparer, \\[.5em]
a) entre 0 et 1 \qquad 
b) entre 0 et 2 \qquad 
c) entre 0 et 4 \qquad
d) entre $-1$ et 0 \qquad
e) entre $-2$ et $-1$ \qquad 
\enex


\bgex
Tracer les courbes représentatives des fonctions 
$f_1:x\mapsto 2x+1$, 
$f_2:x\mapsto 2x-3$, 
$f_3:x\mapsto 2x$ et 
$f_4:x\mapsto -x+1$. 

Donner pour chacune le tableau de variation et le tableau de signes. 
\enex


\bgex
Soit les fonctions affines $f:x\mapsto 3x+2$ et $g:x\mapsto-2x+1$. 
\bgen
\item Tracer $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ dans un repère. 
\item Donner les tableaux de variations et de signes de $f$ et $g$. 
\item Calculer les taux de variation de $f$ et $g$: \quad  
  a) entre 0 et 1 
  \quad 
  b) entre 0 et 5
  \quad 
  c) entre $-1$ et $1$
\enen
\enex


\bgex
Déterminer l'équation de la droite $(AB)$ avec 
$A(2;-1)$ et $B(6;7)$. 

Tracer alors cette droite. 
\enex


\bgex
Déterminer l'expression de la fonction affine 
dont la courbe passe par les points 
$A(-2;-2)$ et $B(1;7)$. 
\enex 

\bgex
Donner les tableaux de signes des expressions affines: \\[.6em]
\begin{tabular}{*7{p{2.5cm}}}
a) $3x+6$ &
b) $2x+8$ &
c) $-2x+4$ &
d) $-6x-3$ &
e) $x+2$  &
f) $-x+7$ \\[.5em]
g) $2x$ &
h) $x$ &
i) $-x$ &
j) $3-6x$ &
k) $2+3x$ & 
l) $-8-3x$
\end{tabular}
\enex

\bgex
En utilisant la règle des signes, donner les tableaux de signes 
des expressions suivantes: \\[.5em]
\begin{tabular}{*3{p{5.4cm}}}
a) $A(x)=(3x+6)(2x+8)$ &
b) $B(x)=(-2x+4)(x+3)$ &
c) $C(x)=(-6x-3)(8-2x)$ \\[.5em]
d) $D(x)=2x(x+3)$ &
g) $E(x)=\dfrac{2x-4}{x+5}$ &
h) $F(x)=\dfrac{2x+1}{3-x}$ 
\end{tabular}
\enex

\bgex
Après avoir factorisé ou mis sur le m\^eme dénominateur, 
donner les tableaux de signes de: \\[.5em]
\begin{tabular}{p{6cm}p{5cm}p{5cm}}
a) $A(x)=3x(2x+1)+6(2x+1)$ &
\multicolumn{2}{l}{b) $B(x)=(x+3)(x+2)-(x+2)(2x+1)$}\\[.5em]

c) $C(x)=\dfrac3{2x+1}+\dfrac2{x+2}$ &
d) $D(x)=2+\dfrac1{x+2}$ &
g) $E(x)=\dfrac{2x-4}{x-5}-3$ \\[1em]
h) $F(x)=\dfrac{2x+1}{3-x}+2$ &
i) $G(x)=(x+2)-3x(x+2)$ &
j) $H(x)=\dfrac2{4-2x}-3$
\end{tabular}
\enex

\clearpage
\bgex
On cherche à résoudre l'équation $E: 2x^2-6=1$. 

On introduit la fonction $f:x\mapsto 2x^2-6$. 
\bgen[a)]
\item Tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$ 
  et résoudre approximativement l'équation $E$. 

\item Résoudre algébriquement $E$, en isolant tout d'abord 
  le terme $x^2$. 
\enen
\enex

\bgex
On cherche à résoudre l'équation $E: 2x^3-6=1$. 

On introduit la fonction $f:x\mapsto 2x^3-6$. 

\bgen[a)]
\item Tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$ 
  et résoudre approximativement l'équation $E$. 

\item Résoudre algébriquement $E$, en isolant tout d'abord 
  le terme $x^3$. 
\enen
\enex


\bgex
Résoudre les équations: \\[.4em]
\begin{tabular}{*5{p{3cm}}}
a) $x^2=7$ &
b) $x^2=-3$ &
c) $3x^2=6$ &
d) $2x^2+4=8$ &
e) $3x^2+6=3$ \\[.4em]
f) $x^3=7$ & 
g) $x^3=-8$ & 
h) $2x^3+3=7$ & 
i) $-3x^3=9$ & 
j) $2x^3+3=x^3+2$
\end{tabular}
\enex

\bgex
Soit $f(x)=3x^2-2x-2$ et 
$g(x)=6x-2$

\bgen[a)]
\item Représenter graphiquement les courbes 
  $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}_g$ et étudier graphiquement 
  leur position relative. 
\item \'Etudier précisément, algébriquement, leur position relative. 
\enen
\enex

\bgex
M\^eme exercice avec les fonctions 
\bgen[a)]
\item $f(x)=2x-3$ et $g(x)=-3x+1$
\item $f(x)=3x^2-4$ et $g(x)=x^2-x+2$. \\
  \textsl{(montrer pour cela que, pour tout réel $x$, on a 
  $(2x-3)(x+2)=2x^2+x-6$)}
\enen
\enex


\bgex
Résoudre les inéquations: 
$I_1: (2x+3)(x+2)<(2x+1)(2x+3)$ \ , \\[.4em]
$I_2: (-3x+1)<(-3x+1)(2x-5)$ \ , \ 
$I_3: (x+2)(2x-3)\geqslant (2x-3)$ \ , \ 
$I_4: \dfrac1{2x-3}<2$ \ , \ 
$I_5: \dfrac2{3x+2}\leqslant\dfrac3{2x+3}$ \\[.4em]
$I_6: \dfrac{x}{-2x+1}\geqslant\dfrac{2x}{-3x+1}$ \ , \ 
$I_7: 2\leqslant\dfrac{5x+1}{3x+1}$ \ , \ 
$I_8: \dfrac4{2x+2}-\dfrac3{3x+3}\geqslant1$
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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