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Produit scalaire

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Description

Cours de mathématiques 1ère STI2D - produit scalaire

Niveau

Première STI2D

Table des matières

• Expressions du produit scalaire
  • Définition
  • Propriétés du produit scalaire
  • Projection orthogonale
  • Expression du produit scalaire à l'aide des normes uniquement
  • Produit scalaire et coordonnées
• Décomposition d'un vecteur sur deux axes orthogonaux
• Exercices

Mots clé

produit scalaire, vecteurs, géométrie, cours de mathématiques, maths, première, 1ère, STI2D

Quelques devoirs

Devoir corrigé

Dérivée et variations. Applications du produit scalaire

Dérivée et sens de variation d'une fonction. Produit scalaire: détermination d'un angle. Géométrie analytique et coordonnées: coordonnées de vecteurs, calcul de longueur et de produit scalaire. Calcul d'un angle dans une machine à commande numérique: produit scalaire et applications.

Devoir corrigé

Produit scalaire, trigonométrie et fonctions périodiques

Produit scalaire: calcul d'un angle pour une machine à commande numérique. Résolution d'une équation trigonométrique. Fonctions périodiques.

Devoir corrigé

Produit scalaire et application

Calcul d'un angle dans une machine à commande numérique: produit scalaire et applications. Décomposition d'un vecteur sur deux axes orhgonaux.

Devoir corrigé

Produit scalaire et application

Calcul d'un angle. Détermination de l'efficacité de la consolidation mecanique d'une porte: produit scalaire et applications. Décomposition d'un vecteur sur deux axes orhgonaux.

Voir aussi:

Documentation sur LaTeX

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\documentclass[12pt]{article}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours math�matiques: produit scalaire},
    pdftitle={Produit scalaire},
    pdfkeywords={Math�matiques, 1STI, 1STI2D, premi�re, 
      STI, STI2D, produit scalaire}
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\voffset=-2.2cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}%
%\nopagebreak%
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
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\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm

\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}
\newlength{\lprops}
\nwc{\bgprops}[1]{
  \settowidth{\lprops}{Propri�t�s \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�s}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{D�monstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
  \end{flushright}
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Produit scalaire}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\usepackage{lastpage}

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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\rfoot{\TITLE{} - $1^{\text{�re}}STI2D$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE\ - $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\text{�re}}STI2D$
\vspace{0.4cm}


\section{Expressions et propri�t�s du produit scalaire}

\subsection{D�finitions}

Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$,
not� $\vec{u}\cdot\vec{v}$, est le nombre, 
$
\vec{u}\cdot\vec{v}
=\left\|\vec{u}\right\|.\left\|\vec{u}\right\|.\cos\lp\vec{u},\vec{v}\rp
$.

\vspq
\ct{
\fbox{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-1.2)(7,1.3)
  \psline[arrowsize=5pt,linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(2,1)
  \rput(0.9,0.8){$\vec{v}$}
  \psline[arrowsize=5pt,linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1.5,-1)
  \rput(0.7,-0.8){$\vec{u}$}
  \psarc{->}(0,0){1.2}{-29}{25}\rput(1.5,0){$\tht$}
  \rput[l](3,0){$\vec{u}\cdot\vec{v}=\left\|\vec{u}\right\|.\left\|\vec{u}\right\|.\cos\tht$}
\end{pspicture}
}}

\vspq
Si $A$, $B$ et $C$ sont trois points du plan, alors: \quad
\fbox{$\V{AB}\cdot\V{AC}=AB\tm AC\tm\cos\lp\widehat{BAC}\rp
$}

\noindent
\ul{Exemple:}

\psset{arrowsize=5pt,unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-0.4)(4,3.5)
  \psline{->}(-1,0)(4,0)
  \psline{->}(0,-1)(0,4)\rput(-0.3,-0.3){$O$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(2,0)\rput(1,0.3){$\vec{u}$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(3,3)\rput(1.5,1.8){$\vec{v}$}
  \multido{\i=1+1}{3}{
    \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
    \psline(-0.1,\i)(0.1,\i)\rput(-0.3,\i){$\i$}
  }
  \rput[l](5.5,2){$\vec{u}\cdot\vec{v}=2\tm3\sqrt{2}\tm\cos\dfrac{\pi}{4}
    =6
    $}
\end{pspicture}


\bgprops{
  \bgit
  \item[$\bullet$] Si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont
    colin�aires de m�me sens, alors 
    $\vec{u}\cdot\vec{v}=\left\|\vec{u}\right\|.\left\|\vec{v}\right\|$. 

    \vspd
  \item[$\bullet$] Si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont
    colin�aires de sens contraires, alors 
    $\vec{u}\cdot\vec{v}=-\left\|\vec{u}\right\|.\left\|\vec{v}\right\|$. 

    \vspd
  \item[$\bullet$] Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont
    orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul: 
    
    \vspd
    \ct{\fbox{$\vec{u}\perp\vec{v}\iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0$}}
  \enit
}

\vspd\noindent
{\bf Attention:} A la diff�rence du produit entre nombres r�els, on
n'a pas\ \ \ 
%\qquad\qquad\qquad
$\vec{u}\cdot\vec{v}=0
\!\!\iff\!\!
\vec{u}=\vec{0} \text{ ou } \vec{v}=\vec{0}$ {\bf\Large !}

\vspd\noindent
{\bf D�finition et notation:} 
Pour tout vecteur $\vec{u}$, on note 
$\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}=\|u\|^2$. 

\hspace{4.7cm}
$\vec{u}^2$ est le carr� scalaire du vecteur $\vec{u}$. 


\subsection{Propri�t�s du produit scalaire} 

\bgprop{
  Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ 
  et pour tout nombre r�el $k$: 

  \bgen[$\bullet$]
  \item $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$
  \item $\vec{u}\cdot\lp\vec{v}+\vec{w}\rp
    =\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$
  \item $\lp k\vec{u}\rp\cdot\vec{v}
    =\vec{u}\cdot\lp k\vec{v}\rp
    =k\vec{u}\cdot\vec{v}$
  \enen
}

\vspq\noindent
\ul{Exemples:}
 
$\bullet$\ \ 
$2\vec{u}\cdot\lp\vec{v}-3\vec{w}\rp
=2\vec{u}\cdot\vec{v}-6\vec{u}\cdot\vec{w}$
\qquad
$\bullet$\ \ 
$\lp \vec{u}+\vec{v}\rp^2=\cdots$

\vspd
$\bullet$\ \ 
$\lp \vec{u}-\vec{v}\rp^2=\cdots$
\qquad
$\bullet$\ \ 
$\lp \vec{u}-\vec{v}\rp\cdot\lp \vec{u}+\vec{v}\rp=\cdots$

\vspace{-0.2cm}

\noindent
\bgmp{12.5cm}
\bgex

$ABC$ est un triangle �quilat�ral de c�t� 4 cm. 
$I$ est le milieu de $[AB]$. 

\vspd
Calculer les produits scalaires: 
a)\ \ $\V{AB}\cdot\V{AC}$ 
\quad
b)\ \ $\V{AB}\cdot\V{AI}$ 
\quad
c)\ \ $\V{IA}\cdot\V{BI}$ 
\enex
\enmp\hspace{0.5cm}
%\fbox{
\bgmp{4cm}
\psset{xunit=1.cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3,3)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(1.5,2.7)
  \psline[linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,2.7)
  \rput(-0.2,-0.1){$A$}
  \rput(3.2,-0.1){$B$}
  \rput(1.5,2.9){$C$}
  \rput(1.5,-0.3){$I$}
\end{pspicture}
\enmp%}


\vspd\noindent
\bgmp{11cm}
\bgex

$ABCD$ est un carr� de c�t� 2 cm de centre $O$.

Calculer les produits scalaires: 

\vspd
a)\ \ $\V{AB}\cdot\V{AD}$ 
\quad
b)\ \ $\V{AB}\cdot\V{AC}$ 
\quad
c)\ \ $\V{BC}\cdot\V{BD}$ 
\quad
d)\ \ $\V{OB}\cdot\V{DC}$ 
\enex
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1.cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(3,3.4)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(3,3)
  \psline[linestyle=dashed](0,3)(3,0)
  \rput(-0.2,-0.1){$A$}
  \rput(3.2,-0.1){$B$}
  \rput(3.2,3.1){$C$}
  \rput(-0.2,3.1){$D$}
  \rput(1.5,1.2){$O$}
\end{pspicture}
\enmp


\noindent
\bgmp{11cm}
\bgex

Dans le triangle $ABC$ ci-contre, 
$H$ est le projet� orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. 

On donne de plus $AC=2$, $AB=4$, et 
$\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$. 

\bgen[a)] 
\item Calculer $AH$. 
\item D�terminer $\V{AB}\cdot\V{AC}$ et $\V{AB}\cdot\V{AH}$. 
\item Que remarque-t-on ?
\enen
\enex
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(0,0)(3,3)
  \pspolygon(0,0)(5,0)(1.,2.7)
  \psline[linestyle=dashed](1.,0)(1.,2.7)
  \psarc(0,0){0.5}{0}{65}\rput(0.6,0.5){$\frac{\pi}{3}$}
  \rput(-0.2,-0.1){$A$}
  \rput(5.2,-0.1){$B$}
  \rput(1.,2.9){$C$}
  \rput(1.,-0.2){$H$}
  \rput(0.3,1.4){$2$}
\end{pspicture}
\enmp



\subsection{Projection orthogonale}

\bgprop{
  Soit $\V{AB}$ et $\V{CD}$ deux vecteurs, 
  et $C'$ et $D'$ les projet�s othogonaux de $C$ et $D$ sur la droite
  $(AB)$; 
  alors $\V{AB}\cdot\V{CD}=\V{AB}\cdot\V{C'D'}$. 
}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(4,2.5)
  \psline[linewidth=0.5pt](-1,0)(4,0)
  \psline[arrowsize=5pt,linewidth=1.5pt]{->}(1,0)(3.,0)
  \rput(1,-0.2){$A$}\rput(3,-0.2){$B$}
  %\psline(-0.5,-0.5)(3,3)
  \psplot[linewidth=0.5pt]{-1}{4}{0.5 x mul}
  \psline[arrowsize=5pt,linewidth=1.5pt]{->}(1.6,0.8)(3.6,1.8)
  \rput(1.6,1){$C$}\rput(3.6,2){$D$}
  %
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.6,0)(1.6,0.8)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](3.6,0)(3.6,1.8)
  \psline[linewidth=0.5pt](1.6,0)(1.75,0)(1.75,0.15)(1.6,0.15)
  \psline[linewidth=0.5pt](3.6,0)(3.75,0)(3.75,0.15)(3.6,0.15)
  \rput(1.7,-0.2){$C'$}\rput(3.7,-0.2){$D'$}
  %
  \rput[l](5,1){$\V{AB}\cdot\V{CD}=\V{AB}\cdot\V{C'D'}$}
\end{pspicture}

Soit deux vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$ et $H$ la projection
orthogonale du point $C$ sur la droite $(AB)$. 

%\nopagebreak
\bgmp{8cm}
Si $\V{AB}$ et $\V{AH}$ ont le m�me sens: 
\[\V{AB}\cdot\V{AC}=AB\tm AC\]

\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(4,3)
  \psline(1.5,2.7)(0,0)(4,0)
  \psline[linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,2.7)
  \rput(-0.2,-0.1){$A$}
  \rput(4.2,-0.1){$B$}
  \rput(1.5,2.9){$C$}
  \rput(1.5,-0.2){$H$}
  \psline(1.3,0)(1.3,0.2)(1.5,0.2)
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{9cm}
Si $\V{AB}$ et $\V{AH}$ ont un sens contraire: 
\[\V{AB}\cdot\V{AC}=-AB\tm AC\]

\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-3,-0.5)(2,3)
  \psline(-1.5,2.7)(0,0)(2,0)
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(-1.5,0)(-1.5,2.7)
  \rput(0.,-0.2){$A$}
  \rput(2.2,-0.1){$B$}
  \rput(-1.5,2.9){$C$}
  \rput(-1.5,-0.2){$H$}
  \psline(-1.3,0)(-1.3,0.2)(-1.5,0.2)
\end{pspicture}
\enmp


\bgex
\vspd

\psset{unit=0.5cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(0,0)(9,6.)
  \multido{\i=0+1}{10}{
    \psline[linewidth=0.3pt](\i,0)(\i,6)
  }
  \multido{\i=0+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.3pt](0,\i)(9,\i)
  }
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(1,2)(3,5)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(1,2)(7,2)
  \rput(0.7,1.6){$A$}
  \rput(3.,1.6){$H$}
  \rput(7.4,1.6){$B$}
  \rput(3.4,5.4){$C$}
  \rput[l](0,-1){$\V{AB}\cdot\V{AC}=\ \dots\ $}
\end{pspicture}
\hspace{0.5cm}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(0,0)(7,6.)
  \multido{\i=0+1}{8}{
    \psline[linewidth=0.3pt](\i,0)(\i,6)
  }
  \multido{\i=0+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.3pt](0,\i)(7,\i)
  }
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(4,1)(1,5)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(4,1)(7,1)
  \rput(3.8,.5){$A$}
  \rput(6.8,.5){$B$}
  \rput(1.4,5.4){$C$}
  \rput[l](0,-1){$\V{AB}\cdot\V{AC}=\ \dots\ $}
\end{pspicture}
\hspace{0.5cm}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(0,0)(7,6.)
  \multido{\i=0+1}{8}{
    \psline[linewidth=0.3pt](\i,0)(\i,6)
  }
  \multido{\i=0+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.3pt](0,\i)(7,\i)
  }
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(2,3)(2,5)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(2,3)(6,2)
  \rput(1.6,5.4){$B$}
  \rput(6.4,1.5){$C$}
  \rput(1.7,2.6){$A$}
  \rput[l](0,-1){$\V{AB}\cdot\V{AC}=\ \dots\ $}
\end{pspicture}
\enex


\vspd\noindent
\bgmp{11.5cm}
\bgex
$ABD$ est un triangle rectangle isoc�le en $B$. 

L'angle $\widehat{BCD}$ mesure $30^\circ$ et $AB=3$. 

\bgen
\item Calculer les longueurs $AD$, $CD$ et $BC$. 
\item D�terminer les produits scalaires suivants: 
  
  \vspd
  a)\ \ $\V{AB}\cdot\V{AD}$ 
  \quad
  b)\ \ $\V{CD}\cdot\V{CB}$
  \quad
  c)\ \ $\V{DA}\cdot\V{DC}$
\enen
\enex
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(1.5,0)(3,3)
  \pspolygon(0,0)(8,0)(3,3)
  \psline(3,0)(3,3)
  \rput(-0.1,-0.3){$A$}
  \rput(3.,-0.3){$B$}
  \rput(3,3.2){$D$}
  \rput(8,-0.3){$C$}
  \psline(2.8,0)(2.8,0.2)(3,0.2)
\end{pspicture}
\enmp


\vspd\noindent
\bgmp{11.5cm}
\bgex

$ABC$ est un triangle isoc�le de sommet $A$ tel que  
$AB=2,5$ cm et $BC=3$ cm. 
$I$ est le milieu de $[BC]$. 

\vspd
Exprimer le produit scalaire 
$\V{BC}\cdot\V{BA}$ de deux mani�res diff�rentes, 
et en d�duire la valeur de l'angle $\widehat{ABC}$ � $0,1$ degr�
pr�s. 
\enex
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(3,3)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(1.5,2.7)
  \psline[linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,2.7)
  \rput(-0.2,-0.1){$B$}
  \rput(3.2,-0.1){$C$}
  \rput(1.5,2.9){$A$}
  \rput(1.5,-0.2){$I$}
  \psline(1.3,0)(1.3,0.2)(1.5,0.2)
\end{pspicture}
\enmp

\vspq
\bgmp{12cm}
\bgex
$ABCD$ est un losange de centre $O$ dont les diagonales mesurent
$AC=4$ cm et $DB=3$ cm. 

\vspd
Calculer une valeur approch�e de l'angle $\widehat{DAC}$ � $0,1$
pr�s. 
\enex
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.3,-1.8)(2.3,2)
  \pspolygon(-2,0)(0,1.5)(2,0)(0,-1.5)
  \psline[linestyle=dashed](-2,0)(2,0)
  \psline[linestyle=dashed](0,-1.5)(0,1.5)
  \rput(-2.2,0){$A$}
  \rput(2.2,0){$C$}
  \rput(0,1.7){$B$}
  \rput(0,-1.7){$D$}
  \rput(-0.2,-0.2){$O$}
\end{pspicture}
\enmp


\subsection{Expression du produit scalaire � l'aide des normes uniquement}

On a: 
\quad
$\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=
\lp\vec{u}+\vec{v}\rp^2
=\vec{u}^2+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2$. 

Or, $\vec{u}^2=\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2$ 
et de m�me, $\vec{v}^2=\vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{v}\|^2$. 

\vspd
Ainsi, 
$2\,\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2$, 
et donc, 

\bgprop{Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a: 
  \quad
  $
  \vec{u}\cdot\vec{v}=
  \dfrac12\Bigl[\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2\Bigr]
  $.
}

\bgex
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que 
$\|\vec{u}\|=3$, 
$\|\vec{v}\|=2$ 
et 
$\lp\vec{u},\vec{v}\rp=\dfrac{\pi}{3}$. 
Calculer $\|\vec{u}+\vec{v}\|$. 
\enex


\subsection{Produit scalaire et coordonn�es}

\bgprop{
  Soit dans un rep�re orhonormal $\lp 0;\vec{i},\vec{j}\rp$ les
  vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$, 
  alors 
  \[
  \vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'
  \]
}

\bgex
Dans un rep�re orthonormal $\lp 0;\vec{i},\vec{j}\rp$, 
calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ dans chacun des cas
suivants, 
et en d�duire une valeur de l'angle
$\lp\vec{u},\vec{v}\rp$ � $0,1$ degr� pr�s.

\vspd
a)\ $\vec{u}(1;-2)$ et $\vec{v}(6;5)$
\qquad
b)\ $\vec{u}(-2;4)$ et $\vec{v}\lp3;\dfrac12\rp$
\qquad
c)\ $\vec{u}(\sqrt{2};-2)$ et $\vec{v}(\sqrt{2};1)$
\enex

\bgex
On se place dans un rep�re orthonormal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$. 

Dans chacun des cas, d�terminer la valeur de $m$ pour que les vecteurs 
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient orthogonaux. 

\noindent
a)\ \ $\vec{u}\lp m;5\rp$ et $\vec{v}\lp 1;-4\rp$
\quad
b)\ \ $\vec{u}\lp 2m;1\rp$ et $\vec{v}\lp 3;2\rp$
\quad
c)\ \ $\vec{u}\lp \dfrac{m}{2};2\rp$ et $\vec{v}\lp 3;-1\rp$
\quad
d)\ \ $\vec{u}\lp m;3\rp$ et $\vec{v}\lp m;-4\rp$
\enex

\bgex
Dans un un rep�re orthonormal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$,
on consid�re les points 
$A(-3;1)$, $B(4;-1)$ et $C(1;15)$.  

Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont-elles perpendiculaires ?
\enex

\section{D�composition d'un vecteur sur deux axes orthogonaux}

\bgmp{12cm}
On consid�re le vecteur $\V{AB}$ dans le rep�re orthogonal 
$\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$.

D�composer le vecteur $\V{AB}$ selon les axes 
$\lp\vec{i};\vec{j}\rp$ 
(ou $(A;\vec{i})$, $(A,\vec{j})$) revient � projeter orthogonalement 
le point $B$ sur chacun de ces deux axes. 

\vspd
On obtient 
\quad
$\V{AB}=\V{AH}+\V{AK}$

\vspq
avec, 
$AH=\V{AB}\cdot\vec{i}=AB\cos\tht$

\vspd
et\hspace{0.5cm}
$AK=\V{AB}\cdot\vec{j}=AB\cos\lp\dfrac{\pi}{2}-\tht\rp=AB\sin\tht$
\enmp
\bgmp{7cm}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(3,3.4)
  \psline[linewidth=1.4pt,arrowsize=7pt]{->}(0,0)(1.5,0)
  \rput(0.7,-0.3){$\vec{i}$}
  \psline[linewidth=1.4pt,arrowsize=7pt]{->}(0,0)(0,1)
  \rput(-0.3,0.5){$\vec{j}$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(3,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,2)
  \psline[linewidth=1pt,arrowsize=7pt]{->}(0,0)(3,2)
  \rput(-.2,-.2){$A$}
  \rput(3.2,2.2){$B$}
  \psarc{->}(0,0){1}{0}{34}\rput(1.2,0.4){$\tht$}
  \psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,2)(3,2)(3,0)
  \rput(3.2,-0.2){$H$}
  \rput(-0.2,2.2){$K$}
\end{pspicture}
\enmp

\vspt
En r�sum�, on a: \quad
$\V{AB}=
\underbrace{\lp\V{AB}\cdot\vec{i}\rp}_{=AH}\ \vec{i}
\ +\,
\underbrace{\lp\V{AB}\cdot\vec{j}\rp}_{=AK}\ \vec{j}
$

\noindent
\bgmp{10.5cm}
\bgex
Une personne tire sur une corde attach�e au sommet d'un mur vertical
avec une force de 200 N suivant un angle de $40^\circ$ avec
l'horizontale. 

\vspd
D�terminer la d�composition de cette force sur des axes horizontaux et
verticaux, et calculer l'intensit� de chacune de ces forces. 
\enex
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{7cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(5,4)
  \psline[linewidth=1.4pt,arrowsize=8pt]{->}(4,3)(0,0)
  \rput(4,3){$\bullet$}\rput(4,3.3){$A$}
  \newcommand\f[1]{#1 0.3 mul}
  \renewcommand{\g}[1]{\f{#1} 0.3 add}
  \psline(!4\space\f{-2})(4,3)(6,3)
  \multido{\i=-2+1}{12}{
    \psline(! 4\space\f{\i})(! 4.5\space \g{\i})
  }
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(4,0)
  \psarc(0,0){1}{0}{34}\rput(1.4,0.4){$40^{\circ}$}
\end{pspicture}
\enmp


\section{Exercices}

\bgex
Le plan est rapport� � un  RON $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$. 

On consid�re les points 
$A(1;-1)$, $B(3;3)$, $C(-4;4)$, $D(2;1)$, $E(17;12)$ et $F(5;-12)$. 

\bgen
\item Montrer que $(AB) \perp (CD)$. 
\item Montrer que $(AB) /\!/ (EF)$. 
%\item D�terminer l'�quation de la droite $d$ perpendiculaire � $(AB)$
%  et passant par l'origine du rep�re. 
%\item D�terminer de deux m�thodes diff�rentes l'�quation de la
%  m�diatrice de $[AB]$. 
\enen
\enex

\noindent
\bgmp{11.cm}
\bgex
$ABC$ est un triangle rectangle en $B$ tel que 
$AB=3$ cm et $BC=4$ cm. 

On appelle $H$ le projet� orthogonal de $B$ sur $(AC)$. 

\vspd
Calculer la longueur $AH$ 

{\em (on pourra utiliser le produit scalaire $\V{AB}\cdot\V{AC}$)}.
\enex
\enmp\hspace{0.8cm}
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(4,3)
  \pspolygon(0,0)(4,0)(0,3)
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.44,1.92)
  \rput(-0.2,-0.2){$B$}
  \rput(-0.2,3){$A$}
  \rput(4,-0.2){$C$}
  \rput(1.65,2.1){$H$}
\end{pspicture}
\enmp


\bgex
Dans un rep�re orthonormal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$, 
on consid�re les points 
$A(2;-1)$, $B(3;2)$ et $C(0;-2)$. 

\bgen
\item Calculer les coordonn�es des vecteurs 
  $\V{AB}$, $\V{BC}$ et $\V{AC}$. 
\item Calculer les longueurs des c�t�s du triangle $ABC$. 
\item Calculer les produits scalaires 
  $\V{AB}\cdot\V{AC}$, 
  $\V{BC}\cdot\V{BA}$ 
  et $\V{CA}\cdot\V{CB}$. 
\item En d�duire au degr� pr�s les angles du triangle $ABC$. 
\enen
\enex

\noindent
\bgmp{10.5cm}
\bgex
Un solide est en �quilibre sur un plan inclin�. 

Ce solide estsoumis � trois forces: 
\bgit
\item son poids $\V{P}$
\item la r�action du support $\V{R}$
\item la tension de la corde $\V{T}$
\enit

On sait de plus que $P=20$ N et $\alpha=30^\circ$. 

On cherche � d�terminer l'intensit� de chacune de ces forces. 

\enex
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(1,0)(5,5)
  \pspolygon(0,0)(8,0)(8,4)
  \psarc(0,0){1}{0}{28}\rput(1.3,0.3){$\alpha$}
  \pspolygon[linewidth=1.4pt](4,2)(5,2.5)(4.6,3.3)(3.6,2.8)
  \rput(4.,2.6){$G$}
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(4.3,2.65)(4.3,.5)\rput(4.6,1.2){$\V{P}$}
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(4.3,2.65)(6.3,3.65)\rput(5.3,3.5){$\V{T}$}
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(4.3,2.65)(3.2,4.5)\rput(3.8,4.2){$\V{R}$}
  \psline(4.3,2.65)(8,4.5)
  \psline(8,4)(8,4.5)\rput(8,4.5){$\bullet$}
\end{pspicture}
\enmp

\vspd\noindent
On se place pour cela le rep�re orthonormal 
$\lp G;\vec{i},\vec{j}\rp$: 

\bgmp{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2)(3.5,3)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.3){$\vec{i}$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.25,0.5){$\vec{j}$}
  \rput(-0.4,-0.2){$G$}
  \psline[linewidth=0.4pt](-2,0)(2.5,0)\rput(2.5,-0.2){$x$}
  \psline[linewidth=0.4pt](0,-2)(0,3)\rput(-0.2,3){$y$}
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(-1,-1.5)\rput(-1,-1){$\V{P}$}
  \psarc(0,0){1}{236}{270}\rput(-0.4,-1.2){$\tht$}
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(2,0)\rput(1.4,0.3){$\V{T}$}
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,2.4)\rput(-0.3,2){$\V{R}$}
\end{pspicture}
\enmp\quad
\bgmp{11.5cm}
\bgen
\item Justifier que $\tht=30^\circ$. 
\item On pose $\V{P}=\V{P}_x+\V{P}_y$, 
  o� $\V{P}_x$ et $\V{P}_y$ sont les composantes de $\V{P}$ suivant
  les axes $(Gx)$ et $(Gy)$. 

  Calculer $\|\V{P}_x\|$ et $\|\V{P}_y\|$. 

\item D�composer suivant les axes du rep�re les vecteurs 
  $\V{T}$, $\V{R}$ et $\V{P}$. 

\item Le solide est en �quilibre, cela signifie que 
  $\V{P}+\V{R}+\V{T}=\V{0}$. 

  Montrer que $\|\V{R}\|-\|\V{P}\|\cos\tht=0$ 
  et 
  $\|\V{T}\|-\|\V{P}\|\sin\tht=0$ 
\item En d�duire l'intensit� des forces $\V{R}$ et $\V{T}$. 
\enen
\enmp



\bgex {\sl(Equation d'une m�diatrice)} 

Dans un rep�re orthonormal, on consid�re les points 
$A(1;4)$ et $B(5;-4)$. 

\bgen
\item Calculer les coordonn�es du milieu $I$ du segment $[AB]$. 
\item On consid�re un point $M$ appartenant � la m�diatrice de
  $[AB]$. 
  D�terminer $\V{IM}\cdot\V{AB}$. 
\item On note $M(x;y)$ les coordonn�es du point $M$. 
  
  Montrer que les coordonn�es du point $M$ v�rifient l'�quation 
  $x-2y-3=0$, appel�e �quation cart�sienne de la droite $(IM)$. 

\item D�terminer l'�quation r�duite de la droite $(IM)$. 
\item Placer les points $A$ et $B$ dans un rep�re et tracer la droite
  $(IM)$. 
\enen
\enex

\bgex {\sl (Equation d'une hauteur)}

Dans un rep�re orthonormal, on consid�re les points 
$A(4;2)$, $B(-3;4)$ et $C(-1;-2)$. 

\bgen
\item Soit $M$ un point de la hauteur du triangle $ABC$ issue du
  sommet $C$. 
  D�terminer $\V{CM}\cdot\V{AB}$. 
\item On note $M(x;y)$ les coordonn�es du point $M$. 
  D�terminer l'�quation v�rifi�e par les coordonn�es $x$ et$y$ du
  point $M$. 
\item D�terminer l'�quation r�duite de la droite $(CM)$. 
\item Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans un rep�re et tracer la droite
  $(CM)$. 
\enen
\enex

\bgex {\sl (Equation d'un cercle)}

On consid�re, dans un rep�re orthonormal, le cercle $\mathcal{C}$ de
centre $\Omega(3;4)$ et de rayon $2$. 

\bgen
\item Soit $A(1;4)$ et $B(6;4)$. 
  Montrer que le segment $[AB]$ est un diam�tre du cercle
  $\mathcal{C}$. 
\item Soit $M$ un point du cercle $\mathcal{C}$. 

  D�terminer $\V{MA}\cdot\V{MB}$. 
\item On note $M(x;y)$ les coordonn�es du point $M$. 
  D�terminer l'�quation v�rifi�e par les coordonn�es $x$ et$y$ du
  point $M$. 
\enen
\enex


\bgex
$\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$ est un RON direct. 

Soit $A$ et $B$ les points du cercle trigonom�trique $\mathcal{C}$
associ�s aux angles $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{3}$. 

\bgen
\item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$ ?
\item 
  \bgen[a)] 
  \item Quelles sont les coordonn�es de $A$ et $B$ ? 
  \item En d�duire que
    $\V{OA}\cdot\V{OB}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$. 
  \enen
\item 
  \bgen[a)]
  \item Justifier que $\V{OA}\cdot\V{OB}=\cos\dfrac{\pi}{12}$. 
  \item En d�duire la valeur exacte de $\cos\dfrac{\pi}{12}$. 
    %puis v�rifier que
    %$\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.  
  \enen
\enen
\enex


%\bgex
%Dans les deux cas de figure ci-dessous, 
%calculer la longueur $AO$: 
%
%\begin{pspicture}(-2,-1)(5,2.6)
%  \pspolygon(0,0)(3,0)(1.2,2)
%  \psline(1.5,0)(1.2,2)
%  \rput(1.2,2.3){$A$}
%  \rput(-0.2,-0.1){$B$}
%  \rput(3.2,-0.1){$C$}
%  \psline(0.7,-0.1)(0.8,0.1)\psline(0.8,-0.1)(0.9,0.1)
%  \psline(2.2,-0.1)(2.3,0.1)\psline(2.3,-0.1)(2.4,0.1)
%  \rput(1.5,-0.2){$O$}
%  \rput(0.3,1){$5$}
%  \rput(2.5,1){$7$}
%  \psline{<->}(0,-0.5)(3,-0.5)
%  \rput(1.5,-0.8){$8$}
%\end{pspicture}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(4,2.8)
%  \pspolygon(0,0)(5,0)(3.5,2)
%  \psline(2.5,0)(3.5,2)
%  \rput(3.5,2.3){$A$}
%  \rput(-0.2,-0.1){$B$}
%  \rput(2.5,-0.2){$C$}
%  \psline(1.2,-0.1)(1.3,0.1)\psline(1.3,-0.1)(1.4,0.1)
%  \psline(3.7,-0.1)(3.8,0.1)\psline(3.8,-0.1)(3.9,0.1)
%  \rput(5.2,-0.2){$O$}
%  \rput(1.2,1){$6$}
%  \rput(2.8,1){$3$}
%  \psline{<->}(0,-0.5)(2.5,-0.5)
%  \rput(1.5,-0.8){$4$}
%\end{pspicture}
%\enex


%\bgex
%On consid�re un segment $[AB]$, avec $AB=2$ cm, de milieu $I$. 
%
%\vspd
%Montrer que, pour tout point $M$ du plan, 
%  $MA^2-MB^2=2\,\V{IM}\cdot\V{AB}$.
%\enex

%\bgex
%Soit $ABCD$ un carr�. 
%On construit un rectangle $APQR$ tel que: \vsp
%$\bullet$\  $P$ et $R$ sont sur les c�t�s $[AB]$ et $[AD]$ 
%
%\vsp
%$\bullet$\  $AP=DR$. 
%
%\bgmp[t]{10cm}
%\bgen
%\item Justifier que: 
%  \quad $\V{CQ}\cdot\V{PR}=\V{CQ}\cdot\lp \V{AR}-\V{AP}\rp$.
%\item En d�duire que les droites $(CQ)$ et $(PR)$ sont
%  perpendiculaires. 
%\enen
%\enmp\quad
%\bgmp[t]{8cm}
%\begin{pspicture}(-1,2.5)(5,4)
%  \pspolygon(0,0)(4,0)(4,4)(0,4)
%  \rput(-0.2,-0.2){$A$}
%  \rput(4.2,-0.2){$B$}
%  \rput(4.,4.2){$C$}
%  \rput(-0.2,4.2){$D$}
%  %
%  \psplot{-0.5}{1.2}{-3 x mul 3 add}
%  \psplot{-0.5}{4.6}{1 3 div x mul 8 3 div add}
%  \pspolygon[linestyle=dashed](0,0)(1,0)(1,3)(0,3)
%  \rput(1.2,-0.2){$P$}
%  \rput(-0.2,3){$R$}
%  \rput(1.,3.2){$Q$}
%\end{pspicture}
%\enmp
%\enex

%\bgex On se place dans un RON, dans lequel on consid�re le triangle
%$ABC$ avec $A(-1;2)$, $B(3;1)$ et $C(2;4)$. 
%\bgen
%\item D�terminer une �quation de la m�diatrice de $[AB]$. 
%\item D�terminer une �quation de la hauteur issue de $A$ dans le
%  triangle $ABC$. 
%\enen
%\enex

%\bgex Dans un RON, on donne $\Omega(2;-3)$. 
%\bgen
%\item D�terminer l'�quation du cercle $C$ de centre $\Omega$ et de
%  rayon $R=5$. 
%\item D�montrer que le point $A(-2;0)$ est un point du cercle $C$. 
%\item D�terminer une �quation cart�sienne de la tangente en $A$ au
%  cercle $C$. 
%\enen
%\enex


\noindent
\bgmp{10.5cm}
\bgex
Une personne pousse sa voiture en exercant une force de $200$ N
suivant une direction qui fait un angle de $25^\circ$ avec le niveau
horizontal de la route. 

\bgen
\item D�composer le vecteur $\V{F}$ suivant les deux axes orthogonaux 
  $(Ox$ et $(Oy)$. 
\item D�terminer la norme de la force qui permet � la voiture
  d'avancer. 
\enen
\enex
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{7.5cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(6.8,4.4)
  \rput(0,2.2){$\bullet$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,2.2)(2.9,0.7)\rput(2.2,1.4){$\V{F}$}
  \psline{->}(-0.5,2.2)(6.5,2.2)\rput(6.7,2.2){$x$}
  \psline{->}(0,-0.)(0,4.2)\rput(-0.2,4.2){$y$}
  \psline(0,1)(0,2.2)(0.9,3)(3.5,3)(4.2,2.2)(5.5,2)(5.7,1.5)(5.7,1.3)(5.5,1)
  \psline(0,1)(0.4,1)
  \psline(1.6,1)(3.4,1)
  \psline(4.6,1)(5.5,1)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](1,1){0.5}
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,1){0.3}
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](4,1){0.5}
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](4,1){0.3}
\end{pspicture}
\enmp


\bgex $ABCD$ est un rectangle tel que $AD=3$ et $AB=5$. 
$E$ est le milieu de $[AB]$. 

\bgmp[t]{10.8cm}
\bgen
\item Calculer les longueurs $AC$ et $DE$. 
\item En utilisant la relation de Chasles, exprimer le vecteur
  $\V{AC}$ � l'aide du vecteur $\V{AB}$, 
  et le vecteur $\V{DE}$ � l'aide du vecteur $\V{DA}$. 

  Calculer alors le produit scalaire $\V{AC}\cdot\V{DE}$. 
\item En d�duire la valeur de l'angle 
  $\tht=\lp\V{DE},\V{AC}\rp$ en degr� � $0,01$ pr�s. 
\enen
\enmp\qquad
\bgmp[t]{8cm}
\begin{pspicture}(0,3.5)(4,3.2)
  \pspolygon(0,0)(5,0)(5,3)(0,3)
  \psplot{-0.3}{3}{-6 5 div x mul 3 add}
  \psplot{-0.3}{5.3}{3 5 div x mul}
  %
  \rput(0,-0.2){$A$}
  \rput(5.2,-0.2){$B$}
  \rput(5.,3.2){$C$}
  \rput(0.1,3.2){$D$}
  \rput(2.4,-0.2){$E$}
  %
  \psarc(1.666,1){0.5}{-46}{30}\rput(2.4,1){$\tht$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex

\end{document}

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