Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Fonctions, statitistiques

Première STG

Fonctions, statitistiques

Devoir corrigé de mathématiques: fonctions et statitistiques (diagramme en boîtes, moyenne et écart type)
Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques: fonctions et statitistiques (diagramme en boîtes, moyenne et écart type)
Niveau
Première STG
Mots clé
statistiques, moyenne, écart type, diagramme en boîtes, quantiles, fonctions, devoir de mathématiques, devoir corrigé, 1STG, STMG, maths

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\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{pst-all}

\usepackage{array}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\tm}{\times}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\headheight=-0.5cm
\textheight=27.5cm
\textwidth=18.5cm
\oddsidemargin=-1cm
\topmargin=-2.cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}


$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}$ STG 
\hspace{1cm}{\bf \Large{Correction du devoir surveill� de math�matiques}}
%\vspd\vspd


\bgex
Myriam a not� pendant un mois le nombre de textos qu'elle a envoy�s par
jour sur son t�l�phone portable: 

\vspd
\ct{\begin{tabular}{|c|*{8}{p{0.8cm}|}}\hline
  Nombre de textos & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\hline
  Nombre de jours & 3 & 2 & 5 & 8 & 5 & 4 & 2 & 1 \\\hline
\end{tabular}}

\vspd
\bgit
\item[1)] Le nombre moyen de textos que Myriam envoie par
  jour est : 

  $\dsp \overline{x}=
  \frac{3\tm0+2\tm1+5\tm2+8\tm3+5\tm4+4\tm5+2\tm6+1\tm7}{30}
  \simeq 3,2
  $
  \vspd
\item[2)] La variance de cette s�rie est alors: 

  \hspace{-1.5cm}
  $\dsp V=
  \frac{
    3(0-\overline{x})^2+
    2(1-\overline{x})^2+
    5(2-\overline{x})^2+
    8(3-\overline{x})^2+
    5(4-\overline{x})^2+
    4(5-\overline{x})^2+
    2(6-\overline{x})^2+
    1(7-\overline{x})^2}{30}
  \simeq 3,14
  $
  L'�cart-type de cette s�rie est donc de \ul{$\sigma=\sqrt{V}\simeq 1,77$}.

  \vspd
\item[3)] Myriam envoie en moyenne $3,2\tm30=96$ textos par mois, et
  seulement exceptionnellement plus
  $(3,2+\sigma)\tm30=(3,2+1,77)\tm30=149,1$ textos. 

  Un forfait de 100 textos sera assez souvent insuffisant, tandis
  qu'un forfait de plus de 150 textos ne sera utile
  qu'exceptionnellement. 
  \ul{Le forfait de 150 textos semble bien adapt�}. 
\enit
\enex

\bgex
Dans une PMI, la pu�ricultrice a relev� les tailles, exprim�es en
centim�tre, des b�b�s: 

\ct{
$54\ ;\ 52\ ;\ 60\ ;\ 58\ ;\ 66\ ;\ 74\ ;\ 68\ ;\ 
59\ ;\ 62\ ;\ 71\ ;\ 67\ ;\ 59\ ;\ 66\ ;\ 70\ ;\ 
62\ ;\ 70\ ;\ 58\ ;\ 66\ ;\ 60
$}

\vsp
\bgit
\item[1)] 
  Compl�ter le tableau suivant: \vsp

  \hspace{-1cm}
  \begin{tabular}{|p{2cm}|*{14}{p{0.6cm}|}|}\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{Taille} &
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{52} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{54} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{58} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{59} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{60} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{62} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{66} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{67} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{68} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{70} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{71} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{74}\\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{Effectifs} &
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{1} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{1} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{2} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{2} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{2} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{2} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{3} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{1} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{1} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{2} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{1} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{1}\\\hline
    \raisebox{0.2cm}[0.8cm]{\parbox{2cm}{Effectifs\\cumul�s}} &
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{1} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{2} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{4} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{6} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{8} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{10} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{13} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{14} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{15} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{17} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{18} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.8cm]{19}\\\hline
  \end{tabular}

\vsp
\item[2)] La m�diane est la $10^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$ valeur de la
  s�rie: \ul{$M_e=62$}. 
  
  Le premier quartile est la $5^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$: 
  \ul{$Q_1=59$},
  et le troisi�me quartile est la $14^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$:
  \ul{$Q_3=67$}. 

  \begin{pspicture}(-1,0.6)(10,2)
    \psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,1)(14,1)
    \psline[linewidth=1.4pt](1,1)(12,1)
    \psline(1,.8)(1,1.2) \rput(1,0.2){$52$}
    \psline(12,.8)(12,1.2)\rput(12,0.2){$74$}
    \psline(4.5,0.4)(4.5,1.6)
    \psline(8.5,0.4)(8.5,1.6)
    \psline(4.5,1.6)(8.5,1.6)\psline(4.5,0.4)(8.5,0.4)
    \psline(6,0.2)(6,1.8)
  \end{pspicture}

\enit

\enex



\bgex
\bgit
\item[1)] Le montant des co�ts fixes est de : $f(0)=120$ euros. 

\vspd
\item[2)] Pour 10 moteurs, le co�t total est de $f(10)=240$ euros, et
  est de $f(30)=600$ euros pour 30 moteurs. 
\vspd
\item[3)] La recette r�alis�e s'exprime, en euros, par $R(x)=24x$. 

\vspd
\item[4)] Le b�n�fice r�alis� est la diff�rence entre la recette
  $R(x)$ et les co�ts: 

  $\dsp B(x)=R(x)-f(x)=24x-\lp\frac{x^2}{5}+10x+120\rp
  =-\frac{x^2}{5}+14x-120\ .
  $

\vspace{-1.5cm}
\item[5)]   
  \bgmp[t]{9cm}
  En d�veloppant, on obtient: 
  
  $\bgar{ll} \dsp 
  \frac{1}{5}(-x+10)(x-60)&\dsp=\frac{1}{5}(-x^2+70x-600)\\
  &\hspace{-2cm}\dsp=-\frac{x^2}{5}+14x-120=B(x)
  \enar$
\enmp
\bgmp{6cm}\vspace{1.5cm}
  \begin{tabular}{|c|lcccccr|}\hline
    $x$ & $0$ & & $10$ && $60$ && $+\infty$ \\\hline
    $x-60$&  & $-$ & $|$ & $-$ & \zb & $+$& \\\hline  
    $-x+10$&  & $+$ & \zb & $-$ & $|$  & $-$& \\\hline  
    $B(x)$ &  & $-$ & \zb & $+$ & \zb  & $-$& \\\hline
  \end{tabular}
\enmp

Le b�n�fice est positif, donc la soci�t� est rentable, pour un nombre
de moteurs produits et vendus compris entre 10 et 60. 

\item[6)] 

\bgmp[t]{5cm}
$\dsp B(x)=-\frac{x^2}{5}+14x-120$. 

  $\dsp B'(x)=-\frac{2x}{5}+14$
\enmp
\bgmp{6.5cm}
  \begin{tabular}[t]{|c|ccccc|}\hline
    $x$& $0$ & & $35$ & & $+\infty$ \\\hline
    $B'(x)$ & & $+$ & \zb & $-$ &\\\hline
    &&&125&& \\
    $B(x)$ & & \Large{$\nearrow$} & 
    & \Large{$\searrow$} & \\
    &&& && \\\hline
  \end{tabular}
\enmp
\bgmp{6cm}
  Le b�n�fice maximum que peut esp�rer la soci�t� est de 125 euros, 
  pour 35 moteurs produits et vendus. 
\enmp
\enit
\enex

\end{document}

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