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Limites de fonctions

Cours de mathématiques en 1èreS: limites de fonctions, comportement asymptotique
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Type: Cours
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Description
Cours de mathématiques en 1èreS: limites de fonctions, comportement asymptotique
Niveau
Table des matières
Limite d’une fonction à l'infini
Limite en un point
Opérations sur les limites
Limite des polynômes
Limite des fractions rationnelles
Asymptotes obliques
Mots clé
limites, asymptote, 1èreS, première S, cours de mathématiques
Quelques devoirs

Devoir corrigé
Interro pour débuter l'année de 1èreS
Interrogation de début d'année en 1èreS: définition de la courbe représentative d'une fonction, alingment de points dans le plan, tableau de signes et intersection de deux courbes
Devoir corrigé
Généralités sur les fonctions, opérations sur les fonctions et sens de variation
Opérations sur les fonctions et fonctions associées, sens de variation. Équation avec une valeur absolue.
Devoir corrigé
Généralités sur les fonctions, opérations sur les fonctions et sens de variation
Opérations sur les fonctions et fonctions associées, composition de fonctions et sens de variation.
Devoir corrigé
Généralités sur les fonctions, opérations sur les fonctions et sens de variation
Opérations sur les fonctions et fonctions associées, sens de variation, composition de fonctions et encadrement d'une fonction
Devoir corrigé
Généralités sur les fonctions, opérations sur les fonctions et sens de variation
Opérations sur les fonctions et fonctions associées, sens de variation, composition de fonctions et encadrement d'une fonction. Fonction composée avec une valeur absolue.
Voir aussi:
Documentation sur LaTeX
Source Latex $LaTex icone$
Source Latex

\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{calc}

\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
\textheight=25.5cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.5cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Th�or�me \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition \arabic{ndef}}\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Comportement asymptotique des fonctions}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\voffset=-1cm
\usepackage{hyperref}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/1S/Mathematiques-1S.php}{xymaths.fr - 1�re S}}
\rfoot{\TITLE\,- 1$^\text{�re}$S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE - $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}


\hspace{2cm}{\bf \Large{\TITLE}}\hfill$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$

\vspace{1cm}
\paragraph{$1^{\mbox{\scriptsize{er}}}$ exemple.} 
Soit la fonction $f$ d�finie et d�rivable sur $\R\setminus\la-1\ra$
par 
$\dsp f(x)=\frac{2x}{x+1}$. \vsp

Pour tout $x\in \R\setminus\la-1\ra$, $\dsp f'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}$.\
\ 
\begin{tabular}[t]{|c|lcccr|}\hline
$x$&$-\infty$&&$-1$&&$+\infty$\\\hline
$(x+1)^2$&&$+$&\zb&$+$&\\\hline
$f'(x)$&&$+$&\db&$+$&\\\hline
      &&&&&\\
$f(x)$&&\Large{$\nearrow$} 
  &
  \psset{xunit=1cm}
  \begin{pspicture}(0.1,0.1)
    \psline[linewidth=0.4pt](0,-.7)(0,.9)
    \psline[linewidth=0.4pt](0.1,-.7)(0.1,.9)
    \end{pspicture}
  &\Large{$\nearrow$}&\\
      &&&&&\\\hline
\end{tabular}

\vspd
Que se passe-t-il lorsque $x$ se rapproche de $-1$ ? Comment se
comporte $f(x)$ ? 

Et lorsque $x$ devient de plus en plus grand, c'est-�-dire se
rappproche de $+\infty$ ou $-\infty$ ?


\paragraph{\ul{En $+\infty$ et $-\infty$:}} Lorsque $x$ prend des valeurs de plus
en plus grande, positivement ou n�gativement, $x$ et $x+1$ sont ``tr�s
proches'', et ainsi, $\dsp f(x)=\frac{2x}{x+1}$ devient proche de
$\dsp \frac{2x}{x}=2$. 

On �crit alors, $\dsp \lim_{x\to-\infty} f(x)=2$ et 
$\dsp \lim_{x\to+\infty} f(x)=2$. 

\paragraph{\ul{En $-1$:}} lorsque $x$ se rapproche de $-1$, $2x$ se
rapproche de $-2$, et $x+1$ se rapproche de $0$. 

Si $x$ se rapproche de $-1$, avec $x>-1$, alors $x+1>0$ et
$\dsp\frac{2x}{x+1}$ se rapproche de $\dsp\frac{-2}{x+1}$ donc de
$-\infty$. 

Si $x$ se rapproche de $-1$, avec $x<-1$, alors $x+1<0 $ et
$\dsp\frac{2x}{x+1}$ se rapproche de $+\infty$. 

On �crit:
\limcdt{x\to-1}{x>-1}{f(x)}{-\infty}, et 
\limcdt{x\to-1}{x<-1}{f(x)}{+\infty}. 

On peut alors compl�ter le tableau de variations, et tracer l'allure
de la courbe repr�sentative: 
\bgmp{11cm}
\begin{tabular}[t]{|c|cccrlcc|}\hline
$x$&$-\infty$&&&$-1$&&&$+\infty$\\\hline
$(x+1)^2$&&$+$&&\zb&&$+$&\\\hline
$f'(x)$&&$+$&&\db&&$+$&\\\hline
      &&&$+\infty$&&&&$2$\\
$f(x)$&&\Large{$\nearrow$} 
  &&
  \psset{xunit=1cm}
  \begin{pspicture}(0.1,0.1)
    \psline[linewidth=0.4pt](0,-.7)(0,.9)
    \psline[linewidth=0.4pt](0.1,-.7)(0.1,.9)
    \end{pspicture}
  &&\Large{$\nearrow$}&\\
      &$2$&&&&$-\infty$&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{5cm}  %\vspace*{-1.cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,8)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-5,0)(5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3)(0,7)
  \pcline[linewidth=0.5pt](-1,-4)(-1,7)\rput{90}(-1.5,-2.5){$x=-1$}
  \psline[linewidth=0.5pt](-5,2)(6,2)\rput(6.,2.4){$y=2$}
  \rput(-0.7,-0.2){$O$}
  \psplot{-5}{-1.4}{
    2 x mul
    x 1 add
    div
  }
  \psplot{-0.68}{5.8}{
    2 x mul
    x 1 add
    div
  }
  \rput(4,1){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp


\section{Limite d'une fonction � l'infini}

\subsection{Limite en $+\infty$}

Soit $f$ une fonction d�finie sur un intervalle du type $[a;+\infty[$,
$a\in\R$. 
Lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes, on dit lorsque
$x$ tend vers $+\infty$, quatre cas peuvent se pr�senter: 

\bgit
\item[a)] les nombres $f(x)$ deviennent eux aussi ``infiniment
  grands'': 

\bgmp{5cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,8)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,7)
  \psline[linewidth=0.5pt](-0.3,3)(3.6,3)\rput(-0.6,3){$M$}
  \psline[linewidth=0.5pt](3.6,3)(3.6,-0.3)\rput(3.6,-0.6){$A$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,4)(4.61,4)
  \rput(-1,4){$f(x)$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,4)(4.61,-0.3)
  \rput(4.6,-0.5){$x$}
  \psplot[linewidth=1pt]{-1}{6}{
    x 2 add x 2 add mul 0.08 mul
    0.5 add
  }
  \rput(6.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12cm}
Pour tout nombre $M$, aussi grand soit-il, on peut avoir $f(x)>M$, d�s
que on choisit $x$ assez grand. 

\[\forall M>0\ ,\ \exists A>0 \tq \forall x\geq A, f(x)\geq M
\]
On �crit $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$.
\enmp

\paragraph{\ul{Ex.}} Soit $f(x)=x^2$ la fonction carr�. 

Pour tout $M>0$, d�s que $x\geq \sqrt{M}$, $f(x)=x^2\geq M$, 
donc, on a $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. 

\item[b)] Les nombres $f(x)$ deviennent infiniment grand n�gativement

\bgmp{5cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-7)(6,2)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,1)(0,-7)
  \psline[linewidth=0.5pt](-0.3,-3)(3.6,-3)\rput(-0.6,-3){$M$}
  \psline[linewidth=0.5pt](3.6,-3)(3.6,0.3)\rput(3.6,0.6){$A$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,-4)(4.61,-4)
  \rput(-1,-4){$f(x)$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,-4)(4.61,0.3)
  \rput(4.6,0.5){$x$}
  \psplot[linewidth=1pt]{-1}{6}{
    x 2 add x 2 add mul -0.08 mul
    -0.5 add
  }
  \rput(6.2,-5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12.4cm}
Pour tout nombre $M<0$, aussi grand soit-il, on peut avoir $f(x)<M$, d�s
que on choisit $x$ assez grand. 

\[\forall M<0\ ,\ \exists A>0 \tq \forall x\geq A, f(x)\leq M
\]

On �crit $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty$. 
\enmp

\item[c)] Les nombres $f(x)$ s'accumulent autour d'une valeur $l$: 

\bgmp{5cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,6)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,6)

  \psline[linewidth=0.5pt](-0.3,2.5)(6,2.5)\rput(-1.2,2.8){$l+\epsi$}
  \psline[linewidth=0.5pt](-0.3,2)(6,2)\rput(-0.8,2){$l$}
  \psline[linewidth=0.5pt](-0.3,1.5)(6,1.5)\rput(-1.2,1.4){$l-\epsi$}

  \psline[linewidth=0.5pt](1.2,2.5)(1.2,-0.3)\rput(1.2,-0.6){$A$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,4)(4.61,4)
  %\rput(-1,4){$f(x)$}
  %\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,4)(4.61,-0.3)
  %\rput(4.6,-0.5){$x$}
  \psplot[linewidth=1pt]{-0.7}{6}{
    5 x 2 add x 2 add mul div
    2 add
  }
  \rput(-1.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12cm}
Pour tout nombre $\epsi>0$, aussi petit soit-il, $f(x)$ est dans
l'intervalle $]l-\epsi;l+\epsi[$ d�s que $x$ est assez grand. 

\[\forall \epsi>0\ ,\ \exists A>0 \tq \forall x\geq A, 
l-\epsi\leq f(x)\leq l+\epsi
\]
On �crit $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=l$. 
\enmp

\bgmp{5cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,6)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,6)

  \psline[linewidth=0.5pt](-0.3,2.5)(6,2.5)\rput(-1.2,2.8){$l+\epsi$}
  \psline[linewidth=0.5pt](-0.3,2)(6,2)\rput(-0.8,2){$l$}
  \psline[linewidth=0.5pt](-0.3,1.5)(6,1.5)\rput(-1.2,1.4){$l-\epsi$}

  \psline[linewidth=0.5pt](1.4,2.5)(1.4,-0.3)\rput(1.4,-0.6){$A$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,4)(4.61,4)
  %\rput(-1,4){$f(x)$}
  %\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,4)(4.61,-0.3)
  %\rput(4.6,-0.5){$x$}
  \psplot[plotpoints=200,linewidth=1pt]{0.25}{6}{
    x 180 mul 3.14 div  5 mul sin
    x div 
    2 add
  }
  \rput(1,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12cm}
On dit que la droite d'�quation $y=l$ est asymptote � $\mathcal{C}_f$
en $+\infty$. 

\vspd
On peut aussi �crire, $\dsp\lim_{x\to+\infty}\lp f(x)-l\rp=0$ :
lorsque $x$ tend vers $+\infty$, la distance entre $\mathcal{C}_f$ et
l'asymptote $y=l$ tend vers $0$. 
\enmp

\item[d)] 
\bgmp{11cm}
Les nombres $f(x)$ n'ont aucun comportement particulier. 
\enmp


\bgmp{5cm}
Par exemple, $f(x)=\sin x$
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(15,2)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(15,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,2)

  \psplot[plotpoints=300,linewidth=1pt]{-1}{15}{
    x 180 mul 3.14 div  2 mul sin
  }
  \rput(1,1.4){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\enit

\subsection{Limite en $-\infty$}

De m�me que pour la limite en $+\infty$, quatre cas sont possibles: 

\bgmp{8cm}
\psset{unit=0.5cm}
\ct{\begin{pspicture}(-6,-2)(2,8)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-6,0)(1,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,7)
  \psline[linewidth=0.5pt](0.3,3)(-3.6,3)\rput(0.6,3){$M$}
  \psline[linewidth=0.5pt](-3.6,3)(-3.6,-0.3)\rput(-3.6,-0.6){$A$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](0.3,4)(-4.61,4)
  \rput(1,4){$f(x)$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-4.61,4)(-4.61,-0.3)
  \rput(-4.6,-0.5){$x$}
  \psplot[linewidth=1pt]{-6}{1}{
    -1 x mul 2 add -1 x mul 2 add mul 0.08 mul
    0.5 add
  }
  \rput(-6.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}}

Pour tout nombre $M$, aussi grand soit-il, on peut avoir $f(x)>M$, d�s
que on choisit $x$ assez grand n�gativement. 

\[\forall M>0\ ,\ \exists A<0 \tq \forall x\leq A, f(x)\geq M
\]
On �crit $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty$.
\enmp
\hspace{0.3cm}
\rule[-4cm]{0.5pt}{8cm}
\hspace{0.3cm}
\bgmp{8cm}
\psset{unit=0.5cm}
\ct{\begin{pspicture}(-6,-7)(2,3)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-6,0)(1,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,1)(0,-7)
  \psline[linewidth=0.5pt](0.3,-3)(-3.6,-3)\rput(0.6,-3){$M$}
  \psline[linewidth=0.5pt](-3.6,-3)(-3.6,0.3)\rput(-3.6,0.6){$A$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](0.3,-4)(-4.61,-4)
  \rput(1,-4){$f(x)$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-4.61,-4)(-4.61,0.3)
  \rput(-4.6,0.5){$x$}
  \psplot[linewidth=1pt]{-6}{1}{
    -1 x mul 2 add -1 x mul 2 add mul -0.08 mul
    -0.5 add
  }
  \rput(-6.2,-5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}}

Pour tout nombre $M<0$, aussi grand soit-il, on peut avoir $f(x)<M$, d�s
que on choisit $x$ assez grand n�gativement. 

\[\forall M<0\ ,\ \exists A<0 \tq \forall x\leq A, f(x)\leq M
\]

On �crit $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$. 
\enmp

\vspd
\ct{\rule[0pt]{8cm}{0.5pt}}
\vspd

\bgmp{8cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-2)(2,6)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-6,0)(1,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,6)

  \psline[linewidth=0.5pt](0.3,2.5)(-6,2.5)\rput(1.2,2.8){$l+\epsi$}
  \psline[linewidth=0.5pt](0.3,2)(-6,2)\rput(0.8,2){$l$}
  \psline[linewidth=0.5pt](0.3,1.5)(-6,1.5)\rput(1.2,1.4){$l-\epsi$}

  \psline[linewidth=0.5pt](-1.2,2.5)(-1.2,-0.3)\rput(-1.2,-0.6){$A$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](0.3,4)(-4.61,4)
  %\rput(-1,4){$f(x)$}
  %\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,4)(4.61,-0.3)
  %\rput(4.6,-0.5){$x$}
  \psplot[linewidth=1pt]{-6}{0.7}{
    5 
    -1 x mul 2 add -1 x mul 2 add mul 
    div 
    2 add
  }
  \rput(-1.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}

Pour tout nombre $\epsi>0$, aussi petit soit-il, $f(x)$ est dans
l'intervalle $]l-\epsi;l+\epsi[$ d�s que $x$ est assez grand
n�gativement.  

\[\forall \epsi>0\ ,\ \exists A<0 \tq \forall x\leq A, 
l-\epsi\leq f(x)\leq l+\epsi
\]
On �crit $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)=l$. 
\enmp
\hspace{0.3cm}
\rule[-4cm]{0.5pt}{8cm}
\hspace{0.3cm}
\bgmp{8cm}
Les nombres $f(x)$ n'ont aucun comportement particulier. 

Par exemple, $f(x)=\sin x$

\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-15,-2)(2,2)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-15,0)(1,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,2)

  \psplot[plotpoints=300,linewidth=1pt]{-15}{1}{
    x 180 mul 3.14 div  2 mul cos
  }
  \rput(-1,1.4){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp


\subsection{Limites en l'infini des fonctions de r�f�rence}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
  $f(x)$
  &$\sqrt{x}$
  &$x^2$
  &$x^n$, $n\in\N^*$
  &$\dsp\frac{1}{x}$
  &$\dsp\frac{1}{\sqrt{x}}$
  &$\dsp\frac{1}{x^2}$
  &$\dsp\frac{1}{x^n}$, $n\in\N^*$
  &\bgmp{1.2cm}$\cos x$\\ $\sin x$\enmp
  \\\hline
  Limite en $+\infty$
  &$+\infty$&$+\infty$&$+\infty$&$0$&$0$&$0$&$0$
  &{\bf \Large{$\tm$}}
  
  \\\hline
  Limite en $-\infty$
  &{\bf \Large{$\tm$}}
  &$+\infty$
  &\bgmp{2.8cm}$+\infty$ si $n$ pair\\$-\infty$ si $n$ impair\enmp
  &$0$&$0$&$0$&$0$
  &{\bf \Large{$\tm$}}
  \\\hline
\end{tabular}
  

\section{Limite en un point}

Soit $a\in\R$. 
Lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus proche de $a$, trois
cas peuvent se pr�senter: 

\bgit
\item[a)] les nombres $f(x)$ deviennent infiniment grand: 

\bgmp{5cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,8)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,7)
  \psline[linewidth=0.5pt](-0.3,2.45)(3.6,2.45)\rput(-0.6,3){$M$}

  \psline[linewidth=0.5pt](2.4,6)(2.4,-0.6)\rput(2.,-1.1){$a-\epsi$}
  \psline[linewidth=0.5pt](3,6)(3,-0.3)\rput(3,-0.6){$a$}
  \psline[linewidth=0.5pt](3.6,6)(3.6,-0.6)\rput(4,-1.1){$a+\epsi$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,4)(2.6,4)
  \rput(-1,4){$f(x)$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](2.6,4)(2.6,0)
  %\rput(4.6,-0.5){$x$}
  \psplot[linewidth=1pt]{-1}{2.7}{
    -2 x -3 add div -1 add
  }
  %\rput(6.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12cm}
Pour tout nombre $M$, aussi grand soit-il, on peut avoir $f(x)>M$, d�s
que on choisit $x$ suffisament proche de $a$. 

\[\forall M>0\ ,\ \exists\ \epsi>0 \tq 
\forall x\in\R, a-\epsi\leq x\leq a+\epsi, f(x)\geq M
\]
On �crit $\dsp\lim_{x\to a} f(x)=+\infty$.

\vspd
On dit que la droite d'�quation $x=a$ est asymptote �
$\mathcal{C}_f$. 
\enmp

\item[b)] les nombres $f(x)$ deviennent infiniment grand n�gativement: 

\bgmp{5cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-8)(6,2)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-7)(0,1)
  \psline[linewidth=0.5pt](-0.3,-2.45)(3.6,-2.45)\rput(-0.6,-3){$M$}

  \psline[linewidth=0.5pt](2.4,-7)(2.4,0.6)\rput(2.,1.1){$a-\epsi$}
  \psline[linewidth=0.5pt](3,-7)(3,0.3)\rput(3,0.6){$a$}
  \psline[linewidth=0.5pt](3.6,-7)(3.6,0.6)\rput(4,1.1){$a+\epsi$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,-4)(2.6,-4)
  \rput(-1,-4){$f(x)$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](2.6,-4)(2.6,0)
  %\rput(4.6,-0.5){$x$}
  \psplot[linewidth=1pt]{-1}{2.65}{
    2 x -3 add div -1 add
  }
  %\rput(6.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12cm}
Pour tout nombre $M$, aussi grand n�gativement soit-il, on peut avoir
$f(x)<M$, d�s que on choisit $x$ suffisament proche de $a$. 

\[\forall M<0\ ,\ \exists\ \epsi>0 \tq 
\forall x\in\R, a-\epsi\leq x\leq a+\epsi, f(x)\leq M
\]
On �crit $\dsp\lim_{x\to a} f(x)=-\infty$.

\vspd
On dit que la droite d'�quation $x=a$ est asymptote �
$\mathcal{C}_f$. 
\enmp


\item[c)] les nombres $f(x)$ se rapprochent du (s'accumulent autour du)
  nombre $l$

\bgmp{5cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,8)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1.4)(0,7)

  \psline[linewidth=0.5pt](-0.3,3.2)(3.6,3.2)\rput(-1,3.2){$l-\epsi$}
  \psline[linewidth=0.5pt](-0.3,4)(3.6,4)\rput(-0.6,4){$l$}
  \psline[linewidth=0.5pt](-0.3,4.8)(3.6,4.8)\rput(-1,4.8){$l+\epsi$}

  \psline[linewidth=0.5pt](1.9,7)(1.9,-0.6)\rput(1.4,-1.1){$a-\alpha$}
  \psline[linewidth=0.5pt](2.5,-0.3)(2.5,7)\rput(2.5,-0.6){$a$}
  \psline[linewidth=0.5pt](3.1,7)(3.1,-0.6)\rput(3.7,-1.1){$a+\alpha$}
  %\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,-4)(2.6,-4)
  %\rput(-1,-4){$f(x)$}
  %\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](2.6,-4)(2.6,0)
  %\rput(4.6,-0.5){$x$}
  \psplot[linewidth=1pt]{-1}{5}{
    -0.2 x x mul x mul mul 
    1.3 x x mul mul add
    -1 add
  }
  %\rput(6.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12cm}
Pour tout nombre $\epsi>0$ aussi petit soit-i, les nombres $f(x)$
sont dans l'intervalle $]l-\epsi;l+\epsi[$, d�s que on choisit $x$
assez proche de $a$. 
\[\forall \epsi>0\ ,\ \exists\ \alpha>0 \tq 
\forall x\in\R, a-\alpha\leq x\leq a+\alpha, l-\epsi\leq f(x)\leq a+\epsi
\]
On �crit $\dsp\lim_{x\to a} f(x)=-l$.
\enmp

\paragraph{Limite en un point des fonctions usuelles}

\bgit
\item[$\bullet$] 
Soit $a\geq 0$, alors $\dsp \lim_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a}$ 

\item[$\bullet$] Soit $a\in\R$ et $P$ un polyn�me, alors 
  $\dsp \lim_{x\to a}P(x)=P(a)$ 
\item[$\bullet$] Soit $a\in\R$ et $P$ et $Q$ deux polyn�mes tels que
  $Q(a)\not=0$, alors $\dsp \lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(a)}{Q(a)}$ 

  \ul{Remarque:} une fonction de la forme $\dsp\frac{P(x)}{Q(x)}$ o�
  $P$ et $Q$ sont deux polyn�mes s'appellent une fonction
  rationnelle. 
  Par exemple, la fonction 
  $\dsp f(x)=\frac{8x^5-3x^3+2x^2-27x+127}{x^2-7x+12}$ est une
  fonction rationnelle d�finie sur $\R\setminus\la 3;4\ra$.

\vspd
\item[$\bullet$] Soit $a\in\R$, alors 
  $\dsp \lim_{x\to a}\cos x=\cos a$ et 
  $\dsp \lim_{x\to a}\sin x=\sin a$

\enit

\vsp
\ul{Remarque:} Si $f$ est une fonction telle que 
$\dsp \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$, on dit que $f$ est \ul{continue} en $a$. 

\vsp
Les propri�t�s pr�c�dentes se r�sument alors ainsi: 
\vsp

\hspace*{1cm}
\bgmp{14cm}
\bgit
\item[$\bullet$] La fonction racine carr�e est continue sur $\R^+$
\vsp
\item[$\bullet$] Les fonctions polyn�mes sont continues sur $\R$
\vsp
\item[$\bullet$] Les fonctions rationnelles sont continues sur leur ensemble de
  d�finition 
\enit
\enmp
\enit


\section{Op�rations sur les limites}

\subsection{Limite d'une somme}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
  Limite de $f$ & $l$ & $l$ & $l$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$
  \\\hline 
  Limite de $g$ & $l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$
  & $-\infty$ \\\hline
  Limite de $f+g$& $l+l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$
  &$-\infty$ &{\bf \Large{$\tm$}} 
  \\\hline
\end{tabular}

\vspt
\ul{D�monstration:} On d�montre par exemple le r�sultat donn� dans la
premi�re colonne. 
Les autres se traitent de mani�re analogue (les chercher !). 

\vspd
Soit $f$ et $g$ deux fonctions telles que 
$\dsp\lim_{x\to +\infty} f(x)=l$ et $\dsp\lim_{x\to +\infty} g(x)=l'$,
o� $l$ et $l'$ sont deux nombres r�els. 

Cela se traduit par : 
$\forall \epsi>0, \exists A>0 \tq \forall x\geq A\ ,\  
l-\epsi\leq f(x)\leq l+\epsi$

et de m�me, pour la limite de la fonction $g$ : 
$\forall \epsi>0, \exists B>0 \tq \forall x\geq B\ ,\  
l'-\epsi\leq g(x)\leq l'+\epsi$. 

Comme ceci est vrai \ul{pour tout} $\epsi>0$, on peut aussi �crire:
 
\[ \forall \epsi>0, \exists A'>0 \tq \forall x\geq A'\ ,\  
l-\frac{\epsi}{2}\leq f(x)\leq l+\frac{\epsi}{2}\]

et de m�me, pour la limite de la fonction $g$ : 

\[ \forall \epsi>0, \exists B'>0 \tq \forall x\geq B'\ ,\  
l'-\frac{\epsi}{2}\leq g(x)\leq l'+\frac{\epsi}{2}\]

Finalement, pour tout $\epsi>0$, si $C=\mbox{Max}(A',B')$ (la plus
grande valeur entre $A'$ et $B'$), 
alors, 
\[ \forall x\geq C\ ,\, 
l-\frac{\epsi}{2}\leq f(x)\leq l+\frac{\epsi}{2} 
\ \mbox{ et }, \ 
l'-\frac{\epsi}{2}\leq g(x)\leq l'+\frac{\epsi}{2}
\]
et donc, en ajoutant ces deux encadrements: 
\[ \forall x\geq C\ ,\, 
l+l'-\epsi\leq f(x)+g(x)\leq l+l'+\epsi
\]
ce qui montre que :  $\dsp\lim_{x\to\infty}(f+g)(x)=l+l'$


\subsection{Limite d'un produit}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
  Limite de $f$ & $l$ & $l>0$ & $l<0$ & $l>0$ & $l<0$ & $+\infty$ &
  $+\infty$ & $-\infty$ &$0$ 
  \\\hline 
  Limite de $g$ & $l'$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$
  & $+\infty$ & $-\infty$ &$-\infty$ & $+\infty$ ou $-\infty$\\\hline

  Limite de $f g$& $l l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$
  &$+\infty$ &$+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ 
  &{\bf \Large{$\tm$}} 
  \\\hline
\end{tabular}


\subsection{Limite d'un quotient} 

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
  Limite de $f$ & $l$ & $l$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$ &
  $+\infty$ ou $-\infty$ 
  \\\hline 
  Limite de $g$ & $l'\not=0$ & $+\infty$ ou $-\infty$ & $l'>0$  &
  $l'<0$ & $l'>0$  & $l'<0$ & $+\infty$ ou $-\infty$\\\hline

  Limite de $\dsp\frac{f}{g}$& $\dsp\frac{l}{l'}$ & $0$ & $+\infty$ & $-\infty$
  &$-\infty$ &$+\infty$ 
  &{\bf \Large{$\tm$}} 
  \\\hline
\end{tabular}

\subsection{Formes indetermin�es} 

Les formes ind�termin�es n�cessitent une �tude particuli�re. 
Elles sont au nombre de quatre: 

\[ 
`` +\infty - \infty ``  \hspace{1cm} 
`` 0 \tm \infty `` \hspace{1cm} 
`` \frac{\infty}{\infty} `` \hspace{1cm} 
`` \frac{0}{0} ``
\]


\section{Limite des polyn�mes}

%\noindent
\paragraph{Exemple:} Soit la fonction ployn�me $f$ d�finie par 
$f(x)=x^3-x^2+5$. 

Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, $x^3$ et $x^2$ tendent vers
$+\infty$. 

Ainsi, on est confront� � une forme indetermin�e du type
``$+\infty-\infty$'' et on ne peut appliquer de r�gle sur les
op�rations sur les limites. 

\vsp
N�anmoins, intuitivement, on peut penser que, lorsque $x$ tend vers
$+\infty$, $x^3$ tend vers $+\infty$ ``plus rapidement'' que $x^2$, et
que donc, en d'autres termes, $x^2$ devient ``n�gligeable'' compar� �
$x^3$. 

\vsp
Pour pr�ciser cette id�e intuitive, on peut factoriser par $x^3$: 
\[ f(x)=x^3\lp 1 -\frac{1}{x}+\frac{5}{x^3}\rp
\]
\vspace{-0.9cm}
On a alors, 
\[
\left.\bgar{ll}
\dsp \lim_{x\to+\infty} x^3=+\infty \vspd\\
\left.\bgar{ll}
\dsp \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=0 \vspd\\
\dsp \lim_{x\to\infty} \frac{5}{x}^3=0 \\
\enar\ra
\Longrightarrow 
\dsp \lim_{x\to+\infty} \lp 1 -\frac{1}{x}+\frac{5}{x^3}\rp =1
\enar\ra
\Longrightarrow
\dsp \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty
\]


\paragraph{Cas g�n�ral} 
On peut g�n�raliser ce r�sultat � tout polyn�me. 


Soit $f$ une fonction polyn�me d�finie sur $\R$ par: 
\[ f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0
\ , \ a_n\not=0
\]

Lorsque $x\not=0$ (ce qui est le cas lorsque $x$ tend vers $+\infty$
ou $-\infty$), on peut factoriser par le terme de plus haut degr�: 
\[ f(x) =a_nx^n\lp 1 + \frac{a_{n-1}}{a_nx}+\frac{a_{n-2}}{a_nx^2}
+\dots + \frac{a_2}{a_nx^{n-2}} + \frac{a_1}{a_nx^{n-1}}+\frac{a_0}{a_nx^n}
\rp
\]

avec, 
$\dsp \lim_{x\to+\infty}\frac{a_{n-1}}{a_nx}=0$, 
$\dsp \lim_{x\to+\infty}\frac{a_{n-2}}{a_nx^2}=0$\ ,\  
\dots\ , 
$\dsp \lim_{x\to+\infty}\frac{a_1}{a_nx^{n-1}}=0$, 
$\dsp \lim_{x\to+\infty}\frac{a_0}{a_nx^n}=0$, 

\vspd
et donc 
\[\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp 1 + \frac{a_{n-1}}{a_nx}+\frac{a_{n-2}}{a_nx^2}
+\dots + \frac{a_2}{a_nx^{n-2}} + \frac{a_1}{a_nx^{n-1}}+\frac{a_0}{a_nx^n}
\rp=1\]

\vspt
Ainsi, la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou vers
$-\infty$ est la m�me que celle de $a_nx^n$. 

\bgth{
En plus l'infini et en moins l'infini, un polyn�me a m�me limite que
son mon�me de plus haut degr�. 
}


\vspd
\ul{Ex:}
\bgit
\item[$\bullet$] 
  Soit $f(x)=5x^2-6x+1$. 
  Alors, pour $x\not=0$, 
  $\dsp f(x)=5x^2\lp 1-\frac{6}{5x}+\frac{1}{5x^2}\rp$
  
  avec, $\dsp \lim_{x\to\pm\infty}\lp 1-\frac{6}{5x}+\frac{1}{5x^2}\rp=1$, 
  d'o�, 
  $\dsp \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}5x^2=+\infty$
  
  \vspd
\bgmp{8cm}
\item[$\bullet$]
  Soit $g(x)=-3x^4+x^3-2x+1$. 
  
  Calculer $\lim_{x\to\pm\infty}g(x)$ 
\enmp
\bgmp{8cm}
\item[$\bullet$] Soit $h(x)=4x^7-1295x^8-7x^5+14x^4-x+3$. 

  Calculer $\lim_{x\to\pm\infty}h(x)$ 
\enmp

\enit

\vspt
\ul{Ex:} Etudier la fonction $f:x\mapsto -x^3+3x^2+1$.


%\clearpage
\section{Limite des fonctions rationnelles}

\paragraph{Exemple:}
Soit $f$ la fonction rationnelle d�finie sur $\R\setminus\la1\ra$ par 
\[ f(x)=\frac{x^2-3x+6}{x-1}
\]
$f$ est le quotient des deux polyn�mes $P(x)=x^2-3x+6$ et $Q(x)=x-1$. 

On a: 
$\dsp \lim_{x\to+\infty}P(x)=+\infty$ et  
$\dsp \lim_{x\to+\infty}Q(x)=+\infty$, et donc, lorsque $x$ tend vers
$+\infty$, on est confront� � une forme ind�termin�e du type
``$\dsp\frac{\infty}{\infty}$''. 

\vspd
On peut factoriser comme pr�c�demment par les termes pr�pond�rants: 
\[ f(x)=
\frac{\dsp x^2\lp 1-\frac{3}{x}+\frac{6}{x^2} \rp}{\dsp x\lp 1-\frac{1}{x}\rp}
=x\frac{\dsp 1-\frac{3}{x}+\frac{6}{x^2}}{\dsp 1-\frac{1}{x}}
\]

avec $\dsp \lim_{x\to+\infty}\frac{\dsp
  1-\frac{3}{x}+\frac{6}{x^2}}{\dsp 1-\frac{1}{x}}=1$, 
et donc, $\dsp \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. 

\bgth{
  En plus l'infini et en moins l'infini, la limite de la fonction
  rationnelle 
  \[ f(x)=\frac
     {
       a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0
     }
     {
       b_px^p+b_{b-1}x^{p-1}+\dots+b_1x+b_0
     }
     \ , \ a_n\not=0\ , \ b_p\not=0
     \]

     est la m�me que celle de 
  $\dsp x\mapsto \frac{a_nx^n}{b_px^p}$.
}

\ul{Ex:} 
\bgit
\item[$\bullet$]
  $\dsp\lim_{x\to+\infty}\frac{6x^3-7x^2+4x-2}{5x^2-2x+12}
  =\lim_{x\to+\infty}\frac{6x^3}{5x^2}
  =\lim_{x\to+\infty}\frac{6}{5}x=+\infty$

  \vspd
\item[$\bullet$]
  $\dsp\lim_{x\to+\infty}\frac{12x^4-7x^2+4x-2}{6x^4+3x^2-2x+12}
  =\lim_{x\to+\infty}\frac{12x^4}{6x^4}
  =\lim_{x\to+\infty}2 = 2$

\vspd
\item[$\bullet$] D�terminer la limite en $+\infty$ et en $-\infty$ des
  fonctions: 

  \vspd\hspace{1cm}
  $\dsp f(x)=\frac{24x^2+3x-5}{3x^2-2x-7}$
  \hspace{1cm}
  $\dsp g(x)=\frac{13x^2-14x+9}{-2x^3+4x^2-6x+3}$
\enit

\section{Asymptote oblique}

Soit $f$ une fonction rationnelle, $\dsp f=\frac{P}{Q}$, avec $P$ et
$Q$ deux polyn�mes. 

\bgprop{
Si $\mbox{deg } P=\mbox{deg } Q +1$, alors $f$ peut s'�crire sous la
forme $\dsp f(x)=ax+b+\frac{R(x)}{Q(x)}$, o� $R(x)$ est un polyn�me
tel que $\mbox{deg } R < \mbox{deg } G$. 
Cette d�composition est unique.

On a de plus, 
$\dsp 
\lim_{x\to+\infty}\frac{R(x)}{Q(x)}
=\lim_{x\to-\infty}\frac{R(x)}{Q(x)}
=0$.
}

\ul{Ex.} $\dsp f(x)=\frac{x^1+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}$ 

D�composer les fonctions suivantes: 
$\dsp\bullet g(x)=\frac{x^2+2x-5}{2x-1}$ 
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet h(x)=\frac{6x^3-4x^2+3}{x^2+x+1}$


\vspq
Soit donc $\dsp f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=ax+b+\frac{R(x)}{Q(x)}$. 
On note $\Delta$ la droite d'�quation $y=ax+b$. 

\bgmp{10cm}
Soit, pour $x\in \mathcal{D}_f$, $M$ le point de $\mathcal{C}_f$
d'abscisse $x$ et $N$ le point de $\Delta$ d'abscisse $x$. 

\vspace{0.6cm}
Alors, $MN=\big|f(x)-(ax+b)\big|$, 

\vspace{0.6cm}
et, $\dsp \lim_{x\to+\infty} MN = \lim_{x\to-\infty} MN=0$

\vspace{0.6cm}
La droite $\Delta$ d'�quation $y=ax+b$ est asymptote oblique �
$\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et $-\infty$. 

\enmp
\bgmp{10cm}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-5,-7)(7,10)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(-6,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,-6)(0,9)

\psplot[linewidth=0.8pt]{-6}{6}{x 1 add}
\psplot[linewidth=0.8pt]{1.3}{5.8}{
  x x mul 1 add
  x -1 add
  div
}

\psplot[linewidth=0.8pt]{-5.8}{0.7}{
  x x mul 1 add
  x -1 add
  div
}
\rput(1.7,8.5){$\mathcal{C}_f$}


\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](5,-0.3)(5,6.5)
\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](-0.4,6)(5,6)
\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](-0.8,6.5)(5,6.5)

\rput(5,-0.5){$x$}
\rput(-1.5,6){$y=ax+b$}
\rput(-1.5,6.5){$f(x)$}

\psline[linewidth=1pt](4.85,5.85)(5.15,6.15)
\psline[linewidth=1pt](4.85,6.15)(5.15,5.85)

\psline[linewidth=1pt](4.85,6.35)(5.15,6.65)
\psline[linewidth=1pt](4.85,6.65)(5.15,6.35)

\rput(5.1,7){$M$}
\rput(5.4,6.){$N$}
\end{pspicture}
\enmp

\ul{Ex.} 

$\bullet$ Soit la fonction $f$ d�finie par l'expression 
$\dsp f(x)=\frac{-x^2+x+3}{x+2}$. Etudier $f$. 

\vspq
$\bullet$ Soit $g$ la fonction d�finie par l'expression 
$\dsp g(x)=\frac{x^2+x-1}{x-1}$. Etudier $g$. 

\vspq
$\bullet$ Soit $h$ la fonction d�finie par l'expression 
$\dsp h(x)=\frac{2x^3+3x^2-7x+3}{x^2+2x-3}$. Etudier $h$. 


\end{document}
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