Source Latex
du cours de mathématiques
\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
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\usepackage{array}
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\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=25.5cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.5cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Th�or�me \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition \arabic{ndef}}\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Comportement asymptotique des fonctions}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\voffset=-1cm
\usepackage{hyperref}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/1S/Mathematiques-1S.php}{xymaths.fr - 1�re S}}
\rfoot{\TITLE\,- 1$^\text{�re}$S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE - $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\hspace{2cm}{\bf \Large{\TITLE}}\hfill$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$
\vspace{1cm}
\paragraph{$1^{\mbox{\scriptsize{er}}}$ exemple.}
Soit la fonction $f$ d�finie et d�rivable sur $\R\setminus\la-1\ra$
par
$\dsp f(x)=\frac{2x}{x+1}$. \vsp
Pour tout $x\in \R\setminus\la-1\ra$, $\dsp f'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}$.\
\
\begin{tabular}[t]{|c|lcccr|}\hline
$x$&$-\infty$&&$-1$&&$+\infty$\\\hline
$(x+1)^2$&&$+$&\zb&$+$&\\\hline
$f'(x)$&&$+$&\db&$+$&\\\hline
&&&&&\\
$f(x)$&&\Large{$\nearrow$}
&
\psset{xunit=1cm}
\begin{pspicture}(0.1,0.1)
\psline[linewidth=0.4pt](0,-.7)(0,.9)
\psline[linewidth=0.4pt](0.1,-.7)(0.1,.9)
\end{pspicture}
&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\vspd
Que se passe-t-il lorsque $x$ se rapproche de $-1$ ? Comment se
comporte $f(x)$ ?
Et lorsque $x$ devient de plus en plus grand, c'est-�-dire se
rappproche de $+\infty$ ou $-\infty$ ?
\paragraph{\ul{En $+\infty$ et $-\infty$:}} Lorsque $x$ prend des valeurs de plus
en plus grande, positivement ou n�gativement, $x$ et $x+1$ sont ``tr�s
proches'', et ainsi, $\dsp f(x)=\frac{2x}{x+1}$ devient proche de
$\dsp \frac{2x}{x}=2$.
On �crit alors, $\dsp \lim_{x\to-\infty} f(x)=2$ et
$\dsp \lim_{x\to+\infty} f(x)=2$.
\paragraph{\ul{En $-1$:}} lorsque $x$ se rapproche de $-1$, $2x$ se
rapproche de $-2$, et $x+1$ se rapproche de $0$.
Si $x$ se rapproche de $-1$, avec $x>-1$, alors $x+1>0$ et
$\dsp\frac{2x}{x+1}$ se rapproche de $\dsp\frac{-2}{x+1}$ donc de
$-\infty$.
Si $x$ se rapproche de $-1$, avec $x<-1$, alors $x+1<0 $ et
$\dsp\frac{2x}{x+1}$ se rapproche de $+\infty$.
On �crit:
\limcdt{x\to-1}{x>-1}{f(x)}{-\infty}, et
\limcdt{x\to-1}{x<-1}{f(x)}{+\infty}.
On peut alors compl�ter le tableau de variations, et tracer l'allure
de la courbe repr�sentative:
\bgmp{11cm}
\begin{tabular}[t]{|c|cccrlcc|}\hline
$x$&$-\infty$&&&$-1$&&&$+\infty$\\\hline
$(x+1)^2$&&$+$&&\zb&&$+$&\\\hline
$f'(x)$&&$+$&&\db&&$+$&\\\hline
&&&$+\infty$&&&&$2$\\
$f(x)$&&\Large{$\nearrow$}
&&
\psset{xunit=1cm}
\begin{pspicture}(0.1,0.1)
\psline[linewidth=0.4pt](0,-.7)(0,.9)
\psline[linewidth=0.4pt](0.1,-.7)(0.1,.9)
\end{pspicture}
&&\Large{$\nearrow$}&\\
&$2$&&&&$-\infty$&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{5cm} %\vspace*{-1.cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,8)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-5,0)(5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3)(0,7)
\pcline[linewidth=0.5pt](-1,-4)(-1,7)\rput{90}(-1.5,-2.5){$x=-1$}
\psline[linewidth=0.5pt](-5,2)(6,2)\rput(6.,2.4){$y=2$}
\rput(-0.7,-0.2){$O$}
\psplot{-5}{-1.4}{
2 x mul
x 1 add
div
}
\psplot{-0.68}{5.8}{
2 x mul
x 1 add
div
}
\rput(4,1){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\section{Limite d'une fonction � l'infini}
\subsection{Limite en $+\infty$}
Soit $f$ une fonction d�finie sur un intervalle du type $[a;+\infty[$,
$a\in\R$.
Lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes, on dit lorsque
$x$ tend vers $+\infty$, quatre cas peuvent se pr�senter:
\bgit
\item[a)] les nombres $f(x)$ deviennent eux aussi ``infiniment
grands'':
\bgmp{5cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,8)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,7)
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,3)(3.6,3)\rput(-0.6,3){$M$}
\psline[linewidth=0.5pt](3.6,3)(3.6,-0.3)\rput(3.6,-0.6){$A$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,4)(4.61,4)
\rput(-1,4){$f(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,4)(4.61,-0.3)
\rput(4.6,-0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-1}{6}{
x 2 add x 2 add mul 0.08 mul
0.5 add
}
\rput(6.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12cm}
Pour tout nombre $M$, aussi grand soit-il, on peut avoir $f(x)>M$, d�s
que on choisit $x$ assez grand.
\[\forall M>0\ ,\ \exists A>0 \tq \forall x\geq A, f(x)\geq M
\]
On �crit $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$.
\enmp
\paragraph{\ul{Ex.}} Soit $f(x)=x^2$ la fonction carr�.
Pour tout $M>0$, d�s que $x\geq \sqrt{M}$, $f(x)=x^2\geq M$,
donc, on a $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
\item[b)] Les nombres $f(x)$ deviennent infiniment grand n�gativement
\bgmp{5cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-7)(6,2)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,1)(0,-7)
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,-3)(3.6,-3)\rput(-0.6,-3){$M$}
\psline[linewidth=0.5pt](3.6,-3)(3.6,0.3)\rput(3.6,0.6){$A$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,-4)(4.61,-4)
\rput(-1,-4){$f(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,-4)(4.61,0.3)
\rput(4.6,0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-1}{6}{
x 2 add x 2 add mul -0.08 mul
-0.5 add
}
\rput(6.2,-5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12.4cm}
Pour tout nombre $M<0$, aussi grand soit-il, on peut avoir $f(x)<M$, d�s
que on choisit $x$ assez grand.
\[\forall M<0\ ,\ \exists A>0 \tq \forall x\geq A, f(x)\leq M
\]
On �crit $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty$.
\enmp
\item[c)] Les nombres $f(x)$ s'accumulent autour d'une valeur $l$:
\bgmp{5cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,6)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,6)
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,2.5)(6,2.5)\rput(-1.2,2.8){$l+\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,2)(6,2)\rput(-0.8,2){$l$}
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,1.5)(6,1.5)\rput(-1.2,1.4){$l-\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](1.2,2.5)(1.2,-0.3)\rput(1.2,-0.6){$A$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,4)(4.61,4)
%\rput(-1,4){$f(x)$}
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,4)(4.61,-0.3)
%\rput(4.6,-0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-0.7}{6}{
5 x 2 add x 2 add mul div
2 add
}
\rput(-1.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12cm}
Pour tout nombre $\epsi>0$, aussi petit soit-il, $f(x)$ est dans
l'intervalle $]l-\epsi;l+\epsi[$ d�s que $x$ est assez grand.
\[\forall \epsi>0\ ,\ \exists A>0 \tq \forall x\geq A,
l-\epsi\leq f(x)\leq l+\epsi
\]
On �crit $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=l$.
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,6)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,6)
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,2.5)(6,2.5)\rput(-1.2,2.8){$l+\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,2)(6,2)\rput(-0.8,2){$l$}
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,1.5)(6,1.5)\rput(-1.2,1.4){$l-\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](1.4,2.5)(1.4,-0.3)\rput(1.4,-0.6){$A$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,4)(4.61,4)
%\rput(-1,4){$f(x)$}
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,4)(4.61,-0.3)
%\rput(4.6,-0.5){$x$}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1pt]{0.25}{6}{
x 180 mul 3.14 div 5 mul sin
x div
2 add
}
\rput(1,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12cm}
On dit que la droite d'�quation $y=l$ est asymptote � $\mathcal{C}_f$
en $+\infty$.
\vspd
On peut aussi �crire, $\dsp\lim_{x\to+\infty}\lp f(x)-l\rp=0$ :
lorsque $x$ tend vers $+\infty$, la distance entre $\mathcal{C}_f$ et
l'asymptote $y=l$ tend vers $0$.
\enmp
\item[d)]
\bgmp{11cm}
Les nombres $f(x)$ n'ont aucun comportement particulier.
\enmp
\bgmp{5cm}
Par exemple, $f(x)=\sin x$
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(15,2)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(15,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,2)
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1pt]{-1}{15}{
x 180 mul 3.14 div 2 mul sin
}
\rput(1,1.4){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\enit
\subsection{Limite en $-\infty$}
De m�me que pour la limite en $+\infty$, quatre cas sont possibles:
\bgmp{8cm}
\psset{unit=0.5cm}
\ct{\begin{pspicture}(-6,-2)(2,8)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-6,0)(1,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,7)
\psline[linewidth=0.5pt](0.3,3)(-3.6,3)\rput(0.6,3){$M$}
\psline[linewidth=0.5pt](-3.6,3)(-3.6,-0.3)\rput(-3.6,-0.6){$A$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](0.3,4)(-4.61,4)
\rput(1,4){$f(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-4.61,4)(-4.61,-0.3)
\rput(-4.6,-0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-6}{1}{
-1 x mul 2 add -1 x mul 2 add mul 0.08 mul
0.5 add
}
\rput(-6.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}}
Pour tout nombre $M$, aussi grand soit-il, on peut avoir $f(x)>M$, d�s
que on choisit $x$ assez grand n�gativement.
\[\forall M>0\ ,\ \exists A<0 \tq \forall x\leq A, f(x)\geq M
\]
On �crit $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty$.
\enmp
\hspace{0.3cm}
\rule[-4cm]{0.5pt}{8cm}
\hspace{0.3cm}
\bgmp{8cm}
\psset{unit=0.5cm}
\ct{\begin{pspicture}(-6,-7)(2,3)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-6,0)(1,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,1)(0,-7)
\psline[linewidth=0.5pt](0.3,-3)(-3.6,-3)\rput(0.6,-3){$M$}
\psline[linewidth=0.5pt](-3.6,-3)(-3.6,0.3)\rput(-3.6,0.6){$A$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](0.3,-4)(-4.61,-4)
\rput(1,-4){$f(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-4.61,-4)(-4.61,0.3)
\rput(-4.6,0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-6}{1}{
-1 x mul 2 add -1 x mul 2 add mul -0.08 mul
-0.5 add
}
\rput(-6.2,-5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}}
Pour tout nombre $M<0$, aussi grand soit-il, on peut avoir $f(x)<M$, d�s
que on choisit $x$ assez grand n�gativement.
\[\forall M<0\ ,\ \exists A<0 \tq \forall x\leq A, f(x)\leq M
\]
On �crit $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$.
\enmp
\vspd
\ct{\rule[0pt]{8cm}{0.5pt}}
\vspd
\bgmp{8cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-2)(2,6)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-6,0)(1,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,6)
\psline[linewidth=0.5pt](0.3,2.5)(-6,2.5)\rput(1.2,2.8){$l+\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](0.3,2)(-6,2)\rput(0.8,2){$l$}
\psline[linewidth=0.5pt](0.3,1.5)(-6,1.5)\rput(1.2,1.4){$l-\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](-1.2,2.5)(-1.2,-0.3)\rput(-1.2,-0.6){$A$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](0.3,4)(-4.61,4)
%\rput(-1,4){$f(x)$}
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,4)(4.61,-0.3)
%\rput(4.6,-0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-6}{0.7}{
5
-1 x mul 2 add -1 x mul 2 add mul
div
2 add
}
\rput(-1.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
Pour tout nombre $\epsi>0$, aussi petit soit-il, $f(x)$ est dans
l'intervalle $]l-\epsi;l+\epsi[$ d�s que $x$ est assez grand
n�gativement.
\[\forall \epsi>0\ ,\ \exists A<0 \tq \forall x\leq A,
l-\epsi\leq f(x)\leq l+\epsi
\]
On �crit $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)=l$.
\enmp
\hspace{0.3cm}
\rule[-4cm]{0.5pt}{8cm}
\hspace{0.3cm}
\bgmp{8cm}
Les nombres $f(x)$ n'ont aucun comportement particulier.
Par exemple, $f(x)=\sin x$
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-15,-2)(2,2)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-15,0)(1,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,2)
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1pt]{-15}{1}{
x 180 mul 3.14 div 2 mul cos
}
\rput(-1,1.4){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\subsection{Limites en l'infini des fonctions de r�f�rence}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$f(x)$
&$\sqrt{x}$
&$x^2$
&$x^n$, $n\in\N^*$
&$\dsp\frac{1}{x}$
&$\dsp\frac{1}{\sqrt{x}}$
&$\dsp\frac{1}{x^2}$
&$\dsp\frac{1}{x^n}$, $n\in\N^*$
&\bgmp{1.2cm}$\cos x$\\ $\sin x$\enmp
\\\hline
Limite en $+\infty$
&$+\infty$&$+\infty$&$+\infty$&$0$&$0$&$0$&$0$
&{\bf \Large{$\tm$}}
\\\hline
Limite en $-\infty$
&{\bf \Large{$\tm$}}
&$+\infty$
&\bgmp{2.8cm}$+\infty$ si $n$ pair\\$-\infty$ si $n$ impair\enmp
&$0$&$0$&$0$&$0$
&{\bf \Large{$\tm$}}
\\\hline
\end{tabular}
\section{Limite en un point}
Soit $a\in\R$.
Lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus proche de $a$, trois
cas peuvent se pr�senter:
\bgit
\item[a)] les nombres $f(x)$ deviennent infiniment grand:
\bgmp{5cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,8)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,7)
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,2.45)(3.6,2.45)\rput(-0.6,3){$M$}
\psline[linewidth=0.5pt](2.4,6)(2.4,-0.6)\rput(2.,-1.1){$a-\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](3,6)(3,-0.3)\rput(3,-0.6){$a$}
\psline[linewidth=0.5pt](3.6,6)(3.6,-0.6)\rput(4,-1.1){$a+\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,4)(2.6,4)
\rput(-1,4){$f(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](2.6,4)(2.6,0)
%\rput(4.6,-0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-1}{2.7}{
-2 x -3 add div -1 add
}
%\rput(6.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12cm}
Pour tout nombre $M$, aussi grand soit-il, on peut avoir $f(x)>M$, d�s
que on choisit $x$ suffisament proche de $a$.
\[\forall M>0\ ,\ \exists\ \epsi>0 \tq
\forall x\in\R, a-\epsi\leq x\leq a+\epsi, f(x)\geq M
\]
On �crit $\dsp\lim_{x\to a} f(x)=+\infty$.
\vspd
On dit que la droite d'�quation $x=a$ est asymptote �
$\mathcal{C}_f$.
\enmp
\item[b)] les nombres $f(x)$ deviennent infiniment grand n�gativement:
\bgmp{5cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-8)(6,2)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-7)(0,1)
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,-2.45)(3.6,-2.45)\rput(-0.6,-3){$M$}
\psline[linewidth=0.5pt](2.4,-7)(2.4,0.6)\rput(2.,1.1){$a-\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](3,-7)(3,0.3)\rput(3,0.6){$a$}
\psline[linewidth=0.5pt](3.6,-7)(3.6,0.6)\rput(4,1.1){$a+\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,-4)(2.6,-4)
\rput(-1,-4){$f(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](2.6,-4)(2.6,0)
%\rput(4.6,-0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-1}{2.65}{
2 x -3 add div -1 add
}
%\rput(6.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12cm}
Pour tout nombre $M$, aussi grand n�gativement soit-il, on peut avoir
$f(x)<M$, d�s que on choisit $x$ suffisament proche de $a$.
\[\forall M<0\ ,\ \exists\ \epsi>0 \tq
\forall x\in\R, a-\epsi\leq x\leq a+\epsi, f(x)\leq M
\]
On �crit $\dsp\lim_{x\to a} f(x)=-\infty$.
\vspd
On dit que la droite d'�quation $x=a$ est asymptote �
$\mathcal{C}_f$.
\enmp
\item[c)] les nombres $f(x)$ se rapprochent du (s'accumulent autour du)
nombre $l$
\bgmp{5cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,8)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1.4)(0,7)
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,3.2)(3.6,3.2)\rput(-1,3.2){$l-\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,4)(3.6,4)\rput(-0.6,4){$l$}
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,4.8)(3.6,4.8)\rput(-1,4.8){$l+\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](1.9,7)(1.9,-0.6)\rput(1.4,-1.1){$a-\alpha$}
\psline[linewidth=0.5pt](2.5,-0.3)(2.5,7)\rput(2.5,-0.6){$a$}
\psline[linewidth=0.5pt](3.1,7)(3.1,-0.6)\rput(3.7,-1.1){$a+\alpha$}
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,-4)(2.6,-4)
%\rput(-1,-4){$f(x)$}
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](2.6,-4)(2.6,0)
%\rput(4.6,-0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-1}{5}{
-0.2 x x mul x mul mul
1.3 x x mul mul add
-1 add
}
%\rput(6.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12cm}
Pour tout nombre $\epsi>0$ aussi petit soit-i, les nombres $f(x)$
sont dans l'intervalle $]l-\epsi;l+\epsi[$, d�s que on choisit $x$
assez proche de $a$.
\[\forall \epsi>0\ ,\ \exists\ \alpha>0 \tq
\forall x\in\R, a-\alpha\leq x\leq a+\alpha, l-\epsi\leq f(x)\leq a+\epsi
\]
On �crit $\dsp\lim_{x\to a} f(x)=-l$.
\enmp
\paragraph{Limite en un point des fonctions usuelles}
\bgit
\item[$\bullet$]
Soit $a\geq 0$, alors $\dsp \lim_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a}$
\item[$\bullet$] Soit $a\in\R$ et $P$ un polyn�me, alors
$\dsp \lim_{x\to a}P(x)=P(a)$
\item[$\bullet$] Soit $a\in\R$ et $P$ et $Q$ deux polyn�mes tels que
$Q(a)\not=0$, alors $\dsp \lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(a)}{Q(a)}$
\ul{Remarque:} une fonction de la forme $\dsp\frac{P(x)}{Q(x)}$ o�
$P$ et $Q$ sont deux polyn�mes s'appellent une fonction
rationnelle.
Par exemple, la fonction
$\dsp f(x)=\frac{8x^5-3x^3+2x^2-27x+127}{x^2-7x+12}$ est une
fonction rationnelle d�finie sur $\R\setminus\la 3;4\ra$.
\vspd
\item[$\bullet$] Soit $a\in\R$, alors
$\dsp \lim_{x\to a}\cos x=\cos a$ et
$\dsp \lim_{x\to a}\sin x=\sin a$
\enit
\vsp
\ul{Remarque:} Si $f$ est une fonction telle que
$\dsp \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$, on dit que $f$ est \ul{continue} en $a$.
\vsp
Les propri�t�s pr�c�dentes se r�sument alors ainsi:
\vsp
\hspace*{1cm}
\bgmp{14cm}
\bgit
\item[$\bullet$] La fonction racine carr�e est continue sur $\R^+$
\vsp
\item[$\bullet$] Les fonctions polyn�mes sont continues sur $\R$
\vsp
\item[$\bullet$] Les fonctions rationnelles sont continues sur leur ensemble de
d�finition
\enit
\enmp
\enit
\section{Op�rations sur les limites}
\subsection{Limite d'une somme}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Limite de $f$ & $l$ & $l$ & $l$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$
\\\hline
Limite de $g$ & $l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$
& $-\infty$ \\\hline
Limite de $f+g$& $l+l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$
&$-\infty$ &{\bf \Large{$\tm$}}
\\\hline
\end{tabular}
\vspt
\ul{D�monstration:} On d�montre par exemple le r�sultat donn� dans la
premi�re colonne.
Les autres se traitent de mani�re analogue (les chercher !).
\vspd
Soit $f$ et $g$ deux fonctions telles que
$\dsp\lim_{x\to +\infty} f(x)=l$ et $\dsp\lim_{x\to +\infty} g(x)=l'$,
o� $l$ et $l'$ sont deux nombres r�els.
Cela se traduit par :
$\forall \epsi>0, \exists A>0 \tq \forall x\geq A\ ,\
l-\epsi\leq f(x)\leq l+\epsi$
et de m�me, pour la limite de la fonction $g$ :
$\forall \epsi>0, \exists B>0 \tq \forall x\geq B\ ,\
l'-\epsi\leq g(x)\leq l'+\epsi$.
Comme ceci est vrai \ul{pour tout} $\epsi>0$, on peut aussi �crire:
\[ \forall \epsi>0, \exists A'>0 \tq \forall x\geq A'\ ,\
l-\frac{\epsi}{2}\leq f(x)\leq l+\frac{\epsi}{2}\]
et de m�me, pour la limite de la fonction $g$ :
\[ \forall \epsi>0, \exists B'>0 \tq \forall x\geq B'\ ,\
l'-\frac{\epsi}{2}\leq g(x)\leq l'+\frac{\epsi}{2}\]
Finalement, pour tout $\epsi>0$, si $C=\mbox{Max}(A',B')$ (la plus
grande valeur entre $A'$ et $B'$),
alors,
\[ \forall x\geq C\ ,\,
l-\frac{\epsi}{2}\leq f(x)\leq l+\frac{\epsi}{2}
\ \mbox{ et }, \
l'-\frac{\epsi}{2}\leq g(x)\leq l'+\frac{\epsi}{2}
\]
et donc, en ajoutant ces deux encadrements:
\[ \forall x\geq C\ ,\,
l+l'-\epsi\leq f(x)+g(x)\leq l+l'+\epsi
\]
ce qui montre que : $\dsp\lim_{x\to\infty}(f+g)(x)=l+l'$
\subsection{Limite d'un produit}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Limite de $f$ & $l$ & $l>0$ & $l<0$ & $l>0$ & $l<0$ & $+\infty$ &
$+\infty$ & $-\infty$ &$0$
\\\hline
Limite de $g$ & $l'$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$
& $+\infty$ & $-\infty$ &$-\infty$ & $+\infty$ ou $-\infty$\\\hline
Limite de $f g$& $l l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$
&$+\infty$ &$+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$
&{\bf \Large{$\tm$}}
\\\hline
\end{tabular}
\subsection{Limite d'un quotient}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Limite de $f$ & $l$ & $l$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$ &
$+\infty$ ou $-\infty$
\\\hline
Limite de $g$ & $l'\not=0$ & $+\infty$ ou $-\infty$ & $l'>0$ &
$l'<0$ & $l'>0$ & $l'<0$ & $+\infty$ ou $-\infty$\\\hline
Limite de $\dsp\frac{f}{g}$& $\dsp\frac{l}{l'}$ & $0$ & $+\infty$ & $-\infty$
&$-\infty$ &$+\infty$
&{\bf \Large{$\tm$}}
\\\hline
\end{tabular}
\subsection{Formes indetermin�es}
Les formes ind�termin�es n�cessitent une �tude particuli�re.
Elles sont au nombre de quatre:
\[
`` +\infty - \infty `` \hspace{1cm}
`` 0 \tm \infty `` \hspace{1cm}
`` \frac{\infty}{\infty} `` \hspace{1cm}
`` \frac{0}{0} ``
\]
\section{Limite des polyn�mes}
%\noindent
\paragraph{Exemple:} Soit la fonction ployn�me $f$ d�finie par
$f(x)=x^3-x^2+5$.
Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, $x^3$ et $x^2$ tendent vers
$+\infty$.
Ainsi, on est confront� � une forme indetermin�e du type
``$+\infty-\infty$'' et on ne peut appliquer de r�gle sur les
op�rations sur les limites.
\vsp
N�anmoins, intuitivement, on peut penser que, lorsque $x$ tend vers
$+\infty$, $x^3$ tend vers $+\infty$ ``plus rapidement'' que $x^2$, et
que donc, en d'autres termes, $x^2$ devient ``n�gligeable'' compar� �
$x^3$.
\vsp
Pour pr�ciser cette id�e intuitive, on peut factoriser par $x^3$:
\[ f(x)=x^3\lp 1 -\frac{1}{x}+\frac{5}{x^3}\rp
\]
\vspace{-0.9cm}
On a alors,
\[
\left.\bgar{ll}
\dsp \lim_{x\to+\infty} x^3=+\infty \vspd\\
\left.\bgar{ll}
\dsp \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=0 \vspd\\
\dsp \lim_{x\to\infty} \frac{5}{x}^3=0 \\
\enar\ra
\Longrightarrow
\dsp \lim_{x\to+\infty} \lp 1 -\frac{1}{x}+\frac{5}{x^3}\rp =1
\enar\ra
\Longrightarrow
\dsp \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty
\]
\paragraph{Cas g�n�ral}
On peut g�n�raliser ce r�sultat � tout polyn�me.
Soit $f$ une fonction polyn�me d�finie sur $\R$ par:
\[ f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0
\ , \ a_n\not=0
\]
Lorsque $x\not=0$ (ce qui est le cas lorsque $x$ tend vers $+\infty$
ou $-\infty$), on peut factoriser par le terme de plus haut degr�:
\[ f(x) =a_nx^n\lp 1 + \frac{a_{n-1}}{a_nx}+\frac{a_{n-2}}{a_nx^2}
+\dots + \frac{a_2}{a_nx^{n-2}} + \frac{a_1}{a_nx^{n-1}}+\frac{a_0}{a_nx^n}
\rp
\]
avec,
$\dsp \lim_{x\to+\infty}\frac{a_{n-1}}{a_nx}=0$,
$\dsp \lim_{x\to+\infty}\frac{a_{n-2}}{a_nx^2}=0$\ ,\
\dots\ ,
$\dsp \lim_{x\to+\infty}\frac{a_1}{a_nx^{n-1}}=0$,
$\dsp \lim_{x\to+\infty}\frac{a_0}{a_nx^n}=0$,
\vspd
et donc
\[\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp 1 + \frac{a_{n-1}}{a_nx}+\frac{a_{n-2}}{a_nx^2}
+\dots + \frac{a_2}{a_nx^{n-2}} + \frac{a_1}{a_nx^{n-1}}+\frac{a_0}{a_nx^n}
\rp=1\]
\vspt
Ainsi, la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou vers
$-\infty$ est la m�me que celle de $a_nx^n$.
\bgth{
En plus l'infini et en moins l'infini, un polyn�me a m�me limite que
son mon�me de plus haut degr�.
}
\vspd
\ul{Ex:}
\bgit
\item[$\bullet$]
Soit $f(x)=5x^2-6x+1$.
Alors, pour $x\not=0$,
$\dsp f(x)=5x^2\lp 1-\frac{6}{5x}+\frac{1}{5x^2}\rp$
avec, $\dsp \lim_{x\to\pm\infty}\lp 1-\frac{6}{5x}+\frac{1}{5x^2}\rp=1$,
d'o�,
$\dsp \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}5x^2=+\infty$
\vspd
\bgmp{8cm}
\item[$\bullet$]
Soit $g(x)=-3x^4+x^3-2x+1$.
Calculer $\lim_{x\to\pm\infty}g(x)$
\enmp
\bgmp{8cm}
\item[$\bullet$] Soit $h(x)=4x^7-1295x^8-7x^5+14x^4-x+3$.
Calculer $\lim_{x\to\pm\infty}h(x)$
\enmp
\enit
\vspt
\ul{Ex:} Etudier la fonction $f:x\mapsto -x^3+3x^2+1$.
%\clearpage
\section{Limite des fonctions rationnelles}
\paragraph{Exemple:}
Soit $f$ la fonction rationnelle d�finie sur $\R\setminus\la1\ra$ par
\[ f(x)=\frac{x^2-3x+6}{x-1}
\]
$f$ est le quotient des deux polyn�mes $P(x)=x^2-3x+6$ et $Q(x)=x-1$.
On a:
$\dsp \lim_{x\to+\infty}P(x)=+\infty$ et
$\dsp \lim_{x\to+\infty}Q(x)=+\infty$, et donc, lorsque $x$ tend vers
$+\infty$, on est confront� � une forme ind�termin�e du type
``$\dsp\frac{\infty}{\infty}$''.
\vspd
On peut factoriser comme pr�c�demment par les termes pr�pond�rants:
\[ f(x)=
\frac{\dsp x^2\lp 1-\frac{3}{x}+\frac{6}{x^2} \rp}{\dsp x\lp 1-\frac{1}{x}\rp}
=x\frac{\dsp 1-\frac{3}{x}+\frac{6}{x^2}}{\dsp 1-\frac{1}{x}}
\]
avec $\dsp \lim_{x\to+\infty}\frac{\dsp
1-\frac{3}{x}+\frac{6}{x^2}}{\dsp 1-\frac{1}{x}}=1$,
et donc, $\dsp \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
\bgth{
En plus l'infini et en moins l'infini, la limite de la fonction
rationnelle
\[ f(x)=\frac
{
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0
}
{
b_px^p+b_{b-1}x^{p-1}+\dots+b_1x+b_0
}
\ , \ a_n\not=0\ , \ b_p\not=0
\]
est la m�me que celle de
$\dsp x\mapsto \frac{a_nx^n}{b_px^p}$.
}
\ul{Ex:}
\bgit
\item[$\bullet$]
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\frac{6x^3-7x^2+4x-2}{5x^2-2x+12}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{6x^3}{5x^2}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{6}{5}x=+\infty$
\vspd
\item[$\bullet$]
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\frac{12x^4-7x^2+4x-2}{6x^4+3x^2-2x+12}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{12x^4}{6x^4}
=\lim_{x\to+\infty}2 = 2$
\vspd
\item[$\bullet$] D�terminer la limite en $+\infty$ et en $-\infty$ des
fonctions:
\vspd\hspace{1cm}
$\dsp f(x)=\frac{24x^2+3x-5}{3x^2-2x-7}$
\hspace{1cm}
$\dsp g(x)=\frac{13x^2-14x+9}{-2x^3+4x^2-6x+3}$
\enit
\section{Asymptote oblique}
Soit $f$ une fonction rationnelle, $\dsp f=\frac{P}{Q}$, avec $P$ et
$Q$ deux polyn�mes.
\bgprop{
Si $\mbox{deg } P=\mbox{deg } Q +1$, alors $f$ peut s'�crire sous la
forme $\dsp f(x)=ax+b+\frac{R(x)}{Q(x)}$, o� $R(x)$ est un polyn�me
tel que $\mbox{deg } R < \mbox{deg } G$.
Cette d�composition est unique.
On a de plus,
$\dsp
\lim_{x\to+\infty}\frac{R(x)}{Q(x)}
=\lim_{x\to-\infty}\frac{R(x)}{Q(x)}
=0$.
}
\ul{Ex.} $\dsp f(x)=\frac{x^1+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}$
D�composer les fonctions suivantes:
$\dsp\bullet g(x)=\frac{x^2+2x-5}{2x-1}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet h(x)=\frac{6x^3-4x^2+3}{x^2+x+1}$
\vspq
Soit donc $\dsp f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=ax+b+\frac{R(x)}{Q(x)}$.
On note $\Delta$ la droite d'�quation $y=ax+b$.
\bgmp{10cm}
Soit, pour $x\in \mathcal{D}_f$, $M$ le point de $\mathcal{C}_f$
d'abscisse $x$ et $N$ le point de $\Delta$ d'abscisse $x$.
\vspace{0.6cm}
Alors, $MN=\big|f(x)-(ax+b)\big|$,
\vspace{0.6cm}
et, $\dsp \lim_{x\to+\infty} MN = \lim_{x\to-\infty} MN=0$
\vspace{0.6cm}
La droite $\Delta$ d'�quation $y=ax+b$ est asymptote oblique �
$\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
\enmp
\bgmp{10cm}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-5,-7)(7,10)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(-6,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,-6)(0,9)
\psplot[linewidth=0.8pt]{-6}{6}{x 1 add}
\psplot[linewidth=0.8pt]{1.3}{5.8}{
x x mul 1 add
x -1 add
div
}
\psplot[linewidth=0.8pt]{-5.8}{0.7}{
x x mul 1 add
x -1 add
div
}
\rput(1.7,8.5){$\mathcal{C}_f$}
\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](5,-0.3)(5,6.5)
\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](-0.4,6)(5,6)
\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](-0.8,6.5)(5,6.5)
\rput(5,-0.5){$x$}
\rput(-1.5,6){$y=ax+b$}
\rput(-1.5,6.5){$f(x)$}
\psline[linewidth=1pt](4.85,5.85)(5.15,6.15)
\psline[linewidth=1pt](4.85,6.15)(5.15,5.85)
\psline[linewidth=1pt](4.85,6.35)(5.15,6.65)
\psline[linewidth=1pt](4.85,6.65)(5.15,6.35)
\rput(5.1,7){$M$}
\rput(5.4,6.){$N$}
\end{pspicture}
\enmp
\ul{Ex.}
$\bullet$ Soit la fonction $f$ d�finie par l'expression
$\dsp f(x)=\frac{-x^2+x+3}{x+2}$. Etudier $f$.
\vspq
$\bullet$ Soit $g$ la fonction d�finie par l'expression
$\dsp g(x)=\frac{x^2+x-1}{x-1}$. Etudier $g$.
\vspq
$\bullet$ Soit $h$ la fonction d�finie par l'expression
$\dsp h(x)=\frac{2x^3+3x^2-7x+3}{x^2+2x-3}$. Etudier $h$.
\end{document}
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