Résolution numérique d'équations différentielles

Éléments de correction du cours

Exercice 1:

On considère l'équation différentielle

, avec

On a

$y'+y^2=0\iff y'=-y^2\iff\dfrac{y'}{y^2}=-1$

puis, en intégrant,

$-\dfrac1{y}=-x+k$

où est une constante quelconque.
En prenant l'inverse, on trouve enfin que

$y=-\dfrac1{-x+k}$

puis, avec la condition initiale

$y(0)=-\dfrac1{k}=1\iff k=-1$

on obtient la solution recherchée:

$y:x\mapsto-\dfrac1{-x-1}=\dfrac1{x+1}$

On calcule alors facilement la valeur exacte

$y(1)=\dfrac1{1+1}=\dfrac12$
La méthode d'Euler s'écrit

$y_{i+1}=y_i+h\varphi\lp x_i,y_i\rp$

avec la fonction $\varphi$ telle que $y'(x)=-y^2(x)=\varphi(x,y)$ .

On connaît la valeur initiale et on souhaite calculer numériquement : on cherche donc à résoudre numériquement l'équation sur l'intervalle .
On discrétise cet intervalle:

$\newcommand{\addu}[1]{#1 1 add} \begin{pspicture}(-2,-1.7)(11,1) \psline[arrowsize=8pt,linewidth=1.4pt]{->}(-.5,0)(10,0) \multido{\i=0+1}{3}{\psline(\i,-.2)(\i,.2)} \multido{\i=0+1}{2}{\psline[arrowsize=6pt]{<->}(\i,-1)(!\addu{\i}\space-1)} \rput(.5,-1.3){$h$}\rput(1.5,-1.3){$h$} \rput(2.8,-1){$\dots$} \rput(0,.4){$a\!=\!0$} \rput[r](0.2,-.4){$x_0$} \rput(1,-.4){$x_1$} \rput(2,-.4){$x_2$} \rput(4,-.4){$\dots$} \psline(4.8,-.2)(4.8,.2)\rput(4.8,-.4){$x_i$} \rput(5.5,-.4){$\dots$} \psline(8,-.2)(8,.2)\rput(8,-.4){$x_{n-1}$} \rput(8.8,.4){$b\!=\!1$}\psline(8.8,-.2)(8.8,.2)\rput[l](8.8,-.4){$x_n$} \psline[arrowsize=6pt]{<->}(8,-1)(8.8,-1)\rput(8.5,-1.3){$h$} \end{pspicture}$

Ainsi, avec un pas , on a , , , … , , et le schéma d'Euler s'écrit

$\bgar{ll}y_0=y(0)=1\\[.5em] y_1=y_0+h\varphi(x_0,y_0)=y_0-0,2y_0^2=0,8\\[.5em] y_2=y_1+h\varphi(x_1,y_1)=y_1-0,2y_1^2=0,672\\[.5em] y_3=y_2+h\varphi(x_2,y_2)=y_2-0,2y_2^2\simeq0,582\\[.5em] y_4=y_3+h\varphi(x_3,y_3)=y_3-0,2y_3^2\simeq0,5140\\[.5em] y_5=y_4+h\varphi(x_4,y_5)=y_4-0,2y_4^2\simeq0,4612 \enar$

et on a finit car $y_5\simeq y(x_5)=y(1)$ .

On trouve donc la valeur approchée

$y(1)\simeq0,4612$

avec une erreur relative

$\varepsilon_r=\left|\dfrac{0,5-y_5}{0,5}\right|\simeq0,0777\simeq8\%$

Bien sûr, et c'est l'objectif des TP, cette méthode est destinée à être programmée de manière à pouvoir effectuer ces calculs avec un pas bien plus petit, et donc avec une erreur bien plus faible.

Exercice 2:

On considère l'équation différentielle

sur

, avec les conditions initiales

Comme vu dans le cours sur l'approximation numérique de dérivées, on a pour une fonction quelconque deux fois dérivable,

$f''(a)\simeq\dfrac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{h^2}$

Avec une discrétisation avec un pas , comme dans l'exercice précédent, on a donc

$y''\lp x_i\rp\simeq\dfrac{y(x_i+h)-2f(x_i)+f(x_i-h)}{h^2}$

or $x_i+h=x_{i+1}$ et $x_i-h=x_{i-1}$ , d'où

$\bgar{ll} y''\lp x_i\rp&\simeq\dfrac{y\lp x_{i+1}\rp-2y\lp x_i\rp+f\lp x_{i-1}\rp}{h^2}\\[.8em] &=\dfrac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}\enar$
On en déduire le schéma numérique d'approximation suivant

$\bgar{ll}y''-4y=0&\Longrightarrow y''\lp x_i\rp-4y\lp x_i\rp=0\\[.6em] &\iff\dfrac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}-4y_i=0\\[1em] &\iff\bgar[t]{ll}y_{i+1}&=2y_i-y_{i-1}+4h^2y_i\\[1em] &=\lp2+4h^2\rp y_i-y_{i-1}\enar \enar$

Ainsi, à partir de cette relation, connaissant et on calcule , puis , puis …
On a simplement $y_0=y\lp x_0\rp=y(0)=0$ .

La deuxième condition initiale concerne la dérivée, pour laquelle on utilise une approximation numérique (voir cours sur l'approximation numérique de dérivées):

$y'(0)\simeq\dfrac{y(0+h)-y(0)}h$

soit

$y'(0)\simeq\dfrac{y_1-y_0}h$

or et on vient de voir que .
On en déduit donc que

$2=\dfrac{y_1}h\iff y_1=2h$

Maintenant, avec ces deux valeurs initiales et le schéma numérique de la question précédente, on peut calculer, armé de patience ou d'un ordinateur correctement programmé, toutes les valeurs successives $y_i=y\lp x_i\rp$ .

Illustration graphique

Voir aussi: