Source Latex: Exercices de mathématiques, Transformée en Z
BTS
Transformée en Z
Exercices (non corrigés) de mathématiques en BTS: transformée en Z- Fichier
- Type: Exercices
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- Description
- Exercices (non corrigés) de mathématiques en BTS: transformée en Z
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- BTS
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- transformée en Z, transformation en Z, BTS
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\documentclass[12pt]{article} %\usepackage{french} \usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb} \usepackage[french]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{a4wide} \usepackage{graphicx} \usepackage{epsf} \usepackage{calc} \usepackage{enumerate} \usepackage{array} %\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} %\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pstricks-add} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-circ,pstricks-add} %\usepackage{pst-all} %\usepackage{pstricks-add} \usepackage{tabularx} \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Yoann Morel}, pdfsubject={Exercices de math�matiques - BTS}, pdftitle={Exercices de math�matiques - BTS}, pdfkeywords={Math�matiques, BTS, Transform�e en z} } \hypersetup{ colorlinks = true, linkcolor = red, anchorcolor = red, citecolor = blue, filecolor = red, pagecolor = red, urlcolor = red } \voffset=-.8cm % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\ct}{\centerline} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N \def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0 \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R \def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z \renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e} \renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m} \def\epsi{\varepsilon} \def\lbd{\lambda} \def\tht{\theta} \def\vphi{\varphi} \def\Cf{\mathcal{C}_f} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}} \nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcounter{nex}%[section] \setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}} \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \nwc{\limcdt}[4]{ $\dsp \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar} {#3}={#4}$ } \nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ } \headheight=0cm \textheight=25.2cm \topmargin=-1.8cm \footskip=1.2cm \textwidth=18cm \oddsidemargin=-1cm \parindent=0.2cm \newlength{\ProgIndent} \setlength{\ProgIndent}{0.3cm} \setlength{\unitlength}{1cm} \newcounter{ntheo} \setcounter{ntheo}{1} \newlength{\ltheo} \nwc{\bgth}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } \newcounter{nprop} \setcounter{nprop}{1} \newlength{\lprop} \nwc{\bgprop}[1]{ \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}} \noindent \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{nprop} } \nwc{\bgcorol}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp } \newcounter{ndef} \setcounter{ndef}{1} \newlength{\ldef} \nwc{\bgdef}[1]{ \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}} \noindent \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } \nwc{\bgproof}[1]{ \vspq\noindent \ul{D�monstration:} #1 \hfill$\square$ } % "Cadre" type Objectifs.... \nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ } \newlength{\lgObjTitle} \newlength{\hgObj} \newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle} \newcommand{\Obj}[1]{% \begin{flushright}% \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle} \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}} \bgmp{17.1cm} \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp \enmp \end{flushright} } \renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -} \renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})} \renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}} % Bandeau en bas de page \newcommand{\TITLE}{Transform�es de Laplace et en z - Exercices} \author{Y. Morel} \date{} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{lastpage} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt} \lhead{}\chead{}\rhead{} \lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/BTS/Groupe-A/Mathematiques-BTS.php}{xymaths.fr - BTS}} \rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}} \cfoot{\TITLE} %\cfoot{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %\thispagestyle{empty} \vspace*{-0.8cm} \ct{\LARGE \bf \TITLE} \vspace{0.4cm} \bgex On consid�re le signal causal $x$ d�fini par la repr�sentation graphique suivante: \begin{center} \psset{arrowsize=5pt} \begin{pspicture}(-2.5,-1)(6.8,2.8) \psline{->}(-2.5,0)(6.8,0) \psline{->}(0,-1)(0,2.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$} \rput(7,-0.1){$n$} \psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$} \psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$} \multido{\i=-2+1}{9}{ \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$} } \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red](0,1)(1,1) \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red](-2.2,0)(0,0) \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red](1,0)(6.2,0) \rput(5.5,1){$x(t)=0$ pour $t>1$} \psline[linestyle=dashed](1,1)(1,0) \end{pspicture} \end{center} \bgen \item Compl�ter: \qquad $ x(t)=\la\bgar{ll} \qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } t<0 \\[0.3cm] \qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } 0\leqslant t< 1 \\[0.3cm] \qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } t\geqslant 1 \\[0.3cm] \enar\right. $ \item Donner alors une expression de $x(t)$ en fonction de $t$ et de l'�chelon unit� $u(t)$ et de ses retard�s. \item D�terminer alors la transform�e de Laplace, $X(p)$, du signal $x$. \item Retrouver le r�sultat pr�c�dent en utilisant directement la d�finition de la transform�e de Laplace du signal causal $x$. \enen \enex \vspace{0.8cm} \bgex On consid�re le signal causal $x$ d�fini par la repr�sentation graphique suivante: \begin{center} \begin{pspicture}(-2.5,-1.8)(6.8,3.8) \psline{->}(-2.5,0)(6.8,0) \psline{->}(0,-1.5)(0,3.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$} \rput(7,-0.1){$n$} \psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$} \psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$} \psline(-0.1,3)(0.1,3)\rput(-0.2,3){$3$} \psline(-0.1,-1)(0.1,-1)\rput(-0.2,-1){-$1$} \multido{\i=-2+1}{9}{ \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$} } \rput(5.5,1){$x(t)=0$ pour $t\geqslant 3$} \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red](-2.2,0)(0,0) \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red](0,3)(3,0) \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=red](3,0)(6.2,0) \end{pspicture} \end{center} \bgen \item Compl�ter: \qquad $ x(t)=\la\bgar{ll} \qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } t<0 \\[0.3cm] \qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } 0\leqslant t\leqslant 3 \\[0.3cm] \qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } t\geqslant 3 \\[0.3cm] \enar\right. $ \item Donner alors une expression de $x(t)$ en fonction de $t$ et de l'�chelon unit� $u(t)$ et de ses retard�s. \item D�terminer alors la transform�e de Laplace, $X(p)$, du signal $x$. \item Retrouver le r�sultat pr�c�dent en utilisant directement la d�finition de la transform�e de Laplace du signal causal $x$. \enen \enex \clearpage \bgex On consid�re le signal discret et causal $(x(n))$ d�fini par la repr�sentation graphique suivante: \begin{center} \psset{arrowsize=5pt} \begin{pspicture}(-2.5,-1)(6.8,2.4) \psline{->}(-2.5,0)(6.8,0) \psline{->}(0,-1)(0,2.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$} \rput(7,-0.1){$n$} \psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$} \psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$} \multido{\i=-2+1}{9}{ \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$} } \rput(-2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}} \rput(-1,0){\textcolor{red}{$\bullet$}} \rput(0,1){\textcolor{red}{$\bullet$}} \rput(1,1){\textcolor{red}{$\bullet$}} \rput(2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}} \rput(3,0){\textcolor{red}{$\bullet$}} \rput(4,0){\textcolor{red}{$\bullet$}} \rput(5,0){\textcolor{red}{$\bullet$}} \rput(6,0){\textcolor{red}{$\bullet$}} \rput(5.5,1){$x(n)=0$ pour $n\geqslant 2$} \psline[linestyle=dashed](0,1)(1,1)(1,0)(4,0) \end{pspicture} \end{center} \bgen \item Compl�ter: \qquad $ x(n)=\la\bgar{ll} \qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } n<0 \\[0.3cm] \qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } 0\leqslant n\leqslant 1 \\[0.3cm] \qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } n\geqslant 2 \\[0.3cm] \enar\right. $ \item Donner alors une expression de $x(n)$ en fonction de $n$ et de l'�chelon unit� discret $u(n)$ et de ses retard�s. \item D�terminer alors la transform�e en $z$, $X(z)$, du signal discret $(x(n))$. \item Retrouver le r�sultat pr�c�dent en utilisant directement la d�finition de la transform�e en $z$. \enen \enex \vspq \bgex On consid�re le signal discret et causal $(x(n))$ d�fini par la repr�sentation graphique suivante: \begin{center} \begin{pspicture}(-2.5,-1.6)(6.8,3.4) \psline{->}(-2.5,0)(6.8,0) \psline{->}(0,-1.5)(0,3.5)%\rput(-0.2,-0.2){$0$} \rput(7,-0.1){$n$} \psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.2,1){$1$} \psline(-0.1,2)(0.1,2)\rput(-0.2,2){$2$} \psline(-0.1,3)(0.1,3)\rput(-0.2,3){$3$} \psline(-0.1,-1)(0.1,-1)\rput(-0.2,-1){-$1$} \multido{\i=-2+1}{9}{ \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$} } \rput(-2,0){\textcolor{red}{$\bullet$}} \rput(-1,0){\textcolor{red}{$\bullet$}} \rput(0,3){\textcolor{red}{$\bullet$}} \rput(1,2){\textcolor{red}{$\bullet$}} \rput(2,1){\textcolor{red}{$\bullet$}} \rput(3,0){\textcolor{red}{$\bullet$}} \rput(4,0){\textcolor{red}{$\bullet$}} \rput(5,0){\textcolor{red}{$\bullet$}} \rput(6,0){\textcolor{red}{$\bullet$}} \rput(5.5,1){$x(n)=0$ pour $n\geqslant 3$} \psline[linestyle=dashed](0,3)(3,0) \end{pspicture} \end{center} \bgen[I.] \item En utilisant la d�finition de la transform�e en $z$, d�terminer la transform�e en $z$, $X(z)$, de $(x(n))$. \item \bgen[1.] \item Soit le polyn�me $P(z)=3z^4-4z^3+1$. \bgen[a)] \item Montrer que $1$ est une racine de $P$. En d�duire une factorisation de $P$ sous la forme $P(z)=(z-1)Q(z)$, o� $Q(z)$ est un polyn�me que l'on d�terminera. \item Montrer que $Q(1)=0$. En d�duire une factorisation de $Q$, puis de $P$. \enen \item \bgen[a)] \item Compl�ter: \[ x(n)=\la\bgar{ll} \qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } n<0 \\[0.3cm] \qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } 0\leqslant n\leqslant 3 \\[0.3cm] \qquad\qquad\dots\qquad\qquad \text{si } n\geqslant 3 \\[0.3cm] \enar\right. \] \item Donner alors une expression de $x(n)$ en fonction de $n$, en utilisant l'�chelon unit� $u(n)$ et ses retard�s. \item D�terminer alors la transform�e en $z$, $X(z)$, du signal $(x(n))$. Montrer que $X(z)=\dfrac{P(z)}{z^2(z-1)}$, et retrouver alors l'expression du I. \enen \enen \enen \enex \end{document}
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