Source Latex
de la correction du devoir
\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
\usepackage[french]{babel}
\selectlanguage{french}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{calc}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Bac de mathématiques terminale générale, spécialité mathématiques, 15 mars 2021, sujet 2},
pdftitle={Bac de mathématiques},
pdfkeywords={logarithme népérien, devoir corrigé, Mathématiques, terminale générale, spécialité mathématiques}
}
\hypersetup{
colorlinks = true,
linkcolor = blue,
anchorcolor = red,
citecolor = blue,
filecolor = red,
urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt} % default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt} % default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in} % default=0.35in
\setlength{\parskip}{0ex}
\setlength{\parindent}{0mm}
\voffset=-2cm
\textheight=27.4cm
\textwidth=19.cm
\topmargin=0cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.5cm
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
\cfoot{}
\rfoot{Bac de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{.5em}
\ct{\bf\Large{\sc Baccalauréat générale}}
\medskip
\ct{\bf\Large{\sc \'Epreuve d'enseignement de spécialité}}
\bigskip
\ct{\bf\Large{\sc -- Math\'ematiques --}}
\medskip
\ct{\textbf{Corrigé du sujet 2 -- 15 mars 2021}}
\vspace{0.5cm}
%
%\vspace{0,5cm}
%
%\emph{L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
%L'usage de la calculatrice sans mémoire, \og type collège \fg, est autorisé.}
%\vspace{0,25cm}
%
%Le candidat traite \textbf{4 exercices} : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.
%
%\bigskip
\textbf{\large Exercice 1 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}
\medskip
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\ Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.}
%
%\bigskip
\textbf{PARTIE I}
\begin{enumerate}
\item \textbf{d.} $0,76$\\
Il s'agit de $P(X=0)=\dsp\binom{9}{0} \times 0,03^0 \times 0,97^9 \approx 0,76$.
\item \textbf{c.} $\dsp\binom{9}{2}\tm0,97^7\tm0,03^2$\\
Il s'agit de
$P(X=2)=\dsp\binom{9}{2} \times 0,03^2 \times 0,97^7$.
\item \textbf{d.} $1- P(X = 0)$\\
Il s'agit de $P(X\geqslant 1)=1 - P(X=0)$.
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{PARTIE II}
\[\psset{xunit=1.3cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-.4,-2)(4.2,1.5)
\psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.75,1){$V_1$}
\rput(.8,.9){$\frac58$}
\rput(.8,-1){$\frac38$}
\psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.75,-1){$B_1$}
\psline(2.1,1.2)(3.5,1.6)\rput(3.8,1.6){$V_2$}
\rput(2.8,1.7){$\frac47$}
\psline(2.1,.8)(3.5,.4)\rput(3.8,.4){$B_2$}
\rput(2.8,.3){$\frac37$}
\rput(2.9,-.3){$\frac57$}
\psline(2.1,-1.2)(3.5,-1.6)\rput(3.8,-1.6){$B_2$}
\psline(2.1,-.8)(3.5,-.4)\rput(3.8,-.4){$V_2$}
\rput(2.8,-1.7){$\frac27$}
\end{pspicture}\]
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item \textbf{b.} $\dfrac{4}{7}$\\
D'après l'arbre, $P_{V_1}\left(V_2\right) = \dfrac{4}{7}$.
\item \textbf{a.}$\dfrac58$\\
D'après l'arbre, formule des probabilités totales:
\[\bgar{ll}P\lp V_2\rp&= P\lp V_1\cap V_2\rp + P\lp B_1\cap V_2\rp\\[.4em]
&= \dfrac{5}{8}\times \dfrac{4}{7} + \dfrac{3}{8}\times \dfrac{5}{7}
= \dfrac{20}{56}+\dfrac{15}{56} =\dfrac58
\enar\]
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{\large Exercice 2 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item $u_1=u_0+v_0=1+1=2$ et $v_1=2\times u_0+v_0 = 2\times 1+1=3$.
\item On a, pour tout $n$, $v_{n+1}= 2u_n+v_n\iff v_{n+1}-v_n=2u_n$.
Comme on admet que la suite $(u_n)$ est strictement positive
on en déduit donc que, pour tout $n$, $v_{n+1}-v_n=2u_n>0$
c'est-à-dire que la suite $(v_n)$ est strictement croissante.
\medskip
Comme, de plus, $v_0=1$, on en déduit que, pour tout entier $n$,
$v_n\geqslant v_0=1$.
\item Soit $\mathcal{P}_n$ la propriété: $u_n \geqslant n + 1$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation}
Pour $n=0$, $u_n=u_0=1$ et $n+1=1$
donc $u_n\geqslant n+1$; $\mathcal{P}_0$ est vraie.
\item \textbf{Hérédité}
Supposons que, pour un certain entier $n$, $\mathcal{P}_n$ est vraie,
c'est-à-dire que $u_n\geqslant n+1$.
On a alors
$u_{n+1}=u_n+v_n\geqslant n+1+v_n$.
Or, d'après la question précédente, on a $v_n\geqslant1$,
ce qui implique donc que
$u_{n+1}\geqslant n+1+v_n\geqslant n+2$,
et qui montre que la propriété $\mathcal{P}_{n+1}$ est aussi vraie.
\item \textbf{Conclusion}
On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence,
que la propriété $\mathcal{P}_n: u_n\geqslant n+1$
est vraie pour tout entier $n$.
\end{itemize}
\item Pour tout entier $n$, on a $u_n\geqslant n+1$,
et comme $\dsp\lim_{n\to +\infty} n+1=+\infty$,
donc par comparaison, corollaire du théorème des gendarmes,
on a aussi
$\dsp\lim_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item $(-1)^{n+1}$ vaut soit $-1$ soit $1$ selon la parité de $n$
et donc $-1\leqslant (-1)^{n+1} \leqslant 1$.
En divisant par $u_n>0$ donc $u_n^2>0$, on obtient alors
\[-\dfrac{1}{u_n^2} \leqslant \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2} \leqslant \dfrac{1}{u_n^2}\]
\item On a vu que $\dsp\lim_{n\to +\infty} u_n=+\infty$ donc $\dsp\lim_{n\to +\infty} u_n^2=+\infty$, et alors $\dsp\lim_{n\to +\infty} -\dfrac{1}{u_n^2} = \dsp\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{u_n^2} = 0$.
On en déduit, d'après le théorème des gendarmes et la question précédente,
$\dsp\lim_{n \to + \infty} \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2}=0$.
\item $r_n^2 = 2 + \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2}$
et $\dsp\lim_{n \to + \infty} \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2}=0$,
donc: $\dsp\lim_{n \to +\infty} r_n^2=2$.
On en déduit donc $(r_n)$ converge bien vers $\sqrt{2}$.
\item Pour tout entier naturel $n$,
\[\bgar{ll}r_{n+1}&=\dfrac{v_{n+1}}{u_{n+1}} = \dfrac{2u_n + v_n}{u_n+v_n}\\[1em]
&=\dfrac{u_n\left (2+\dfrac{v_n}{u_n}\right )}{u_n \left ( 1+\dfrac{v_n}{u_n}\right )}\\[2.4em]
&=\dfrac{2+\dfrac{v_n}{u_n}}{ 1+\dfrac{v_n}{u_n}}
= \dfrac{2 + r_n}{1 + r_n}\enar
\]
\item La valeur de $n=5$ renvoyée par ce programme correspond à la plus petite valeur de $n$ pour laquelle la distance entre $r_n$ et $\sqrt{2}$ est inférieure ou égale à $10^{-4}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{\large Exercice 3 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 4 points}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Pour montrer que le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan (ABC),
il suffit de démontrer que ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (ABC), par exemple $\V{AB}(-2~;~3~;~0)$ et $\V{AC}(-2~;~0~;~1)$ qui ne sont pas colinéaires.
On a $\V{AB}\cdot \vec{n}=-2\tm3 + 3\tm2 + 0\tm6 = 0$
donc $\V{AB}\perp \vec{n}$,
et par ailleurs
$\V{AC}\cdot \vec{n}=-2\tm3 + 0\tm2 + 1\tm6 = 0$
donc $\V{AC}\perp \vec{n}$.
Le vecteur $\vec{n}$ est donc bien normal au plan (ABC).
\item D'après la question précédente, le plan (ABC) a une équation cartésienne
qui peut s'écrire sous la forme
$3x + 2y + 6z +d = 0$.
De plus, A est un point de ce plan, donc
$3\tm2+2\tm0+6\tm0+d=0\iff d=-6$.
Le plan (ABC) a donc pour équation cartésienne $3x + 2y + 6z - 6 = 0$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item La droite $d$ est orthogonale au plan (ABC) donc elle a pour vecteur directeur le vecteur $\vec{n}$ normal à (ABC).
De plus elle passe par l'origine $O(0~;~0~;~0)$,
d'où la représentation paramétrique
\[\la\bgar{ccl}
x &=& 3t\\
y &=& 2t,\quad t\in\R\\
z &=& 6t
\enar
\right.\]
\item La droite $d$ coupe le plan (ABC) au point H donc ses coordonnées
vérifient le système
\[\left \lbrace
\bgar{rcl}
x_{\text H} &=& 3t\\
y_{\text H} &=& 2t\\
z_{\text H} &=& 6t\\
3x_{\text H}+2y_{\text H}+6z_{\text H}-6 &=& 0
\end{array}
\right.\]
On en déduit que
\[\bgar{ll}&3\tm3t+2\tm2t+6\tm6t-6=0\\[.4em]
&\iff9t+4t+36t=6\\
&\iff t=\dfrac{6}{49}\enar\]
On trouve alors les coordonnées du point d'intersection H par
\[\la\bgar{ccccl}
x_H&=&3t&=&\dfrac{18}{49}\\[.8em]
y_H&=&2t&=&\dfrac{12}{49}\\[.8em]
z_H&=&6t&=&\dfrac{36}{49}\enar\right.\]
qui sont bien les coordonnées recherchées.
\item
\[\bgar{ll}OH&=\sqrt{ (x_H - x_O)^2 + (y_H - y_O)^2 + (z_H - z_O)^2}\\[.8em]
&= \sqrt{\lp\dfrac{18}{49}\rp^2 + \lp\dfrac{12}{49}\rp^2 + \lp\dfrac{36}{49}\rp^2}\\[1.4em]
&= \sqrt{\dfrac{1764}{49^2}}
= \dfrac{6}{7}
\enar\]
\end{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item En prenant le triangle OAB pour base de la pyramide OABC, la hauteur est OC, et le volume est égal à
\[\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times \mathcal{A}_{OAB}\times\text{OC}\]
avec l'aire du triangle OAB.
\[\mathcal{A}_{OAB}= \dfrac{1}{2}\times \text{OA}\times \text{OB} = \dfrac{1}{2}\times 2\times 3 = 3\]
et $\text{OC}=1$
et donc
\[\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times 3 \times 1= 1\]
\item En prenant le triangle ABC pour base de la pyramide OABC, la hauteur est OH, et le volume est égal à
\[\mathcal{V}=\dfrac13\times \mathcal{A}_{ABC}\times\text{OH}\]
d'où
\[\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{3\mathcal{V}}{OH}
=\dfrac{3}{\frac67}=\dfrac72\]
\end{itemize}
\end{enumerate}
\newpage
\textbf{\large EXERCICE au choix du candidat \hfill 5 points}
\textbf{\large Exercice A}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont les solutions de l'équation
\[\bgar{ll}f(x)=g(x)&\iff x^2 e^{-x}=e^{-x}\\[.4em]
&\iff (x^2-1) e^{-x}=0
\enar\]
Pour tout réel $x$, $e^{-x}>0$ donc en particulier
$e^{-x}\neq 0$, et alors
\[f(x)=g(x) \iff x^2-1=0 \iff x=-1 \text{ ou } x=1\]
Pour $x=-1$, $g(x)=e$, et pour $x=1$, $g(x)=e^{-1}$.
Les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont donc $(-1~;~e)$ et $(1~;~e^{-1})$.
\item La position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$
est donnée par le signe de $f(x)-g(x)=(x^2-1)e^{-x}$.
\[{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{1cm}}
\begin{array}{|c | *7{c} |}
\hline
x & -\infty & \esp & -1 & \esp & 1 & \esp & +\infty \\
\hline
x^2-1 & & + & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & + &\\
\hline
e^{-x} & & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & + &\\
\hline
(x^2-1)e^{-x} & & + & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & - & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & + &\\
\hline
\end{array}
}
\]
Donc sur les intervalles $]-\infty~;~-1[$ et $]1~;~+\infty[$,
la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$,
et sur l'intervalle $]-1~;~1[$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous de la courbe $\mathcal{C}_g$,
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item On dérive le produit
\[\bgar{ll}
d'(x) &= (-1) e^{-x} - \lp2x \tm e^{-x} + x^2 \times (-1)e^{-x}\rp\\[.6em]
&= e^{-x} \lp -1 -2x +x^2\rp\\[.6em]
&= e^{-x} \lp x^2-2x-1\rp\enar\]
\item Le trin\^ome du second degré $x^2-2x-1$ a poiur discriminant
$\Delta=8>0$ et admet donc deux racines réelles distinctes
$x_1=\dfrac{2-\sqrt8}2=1-\sqrt2$ et $x_2=1+\sqrt2$.
\[\begin{tabular}{|c|*7{c}|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $1-\sqrt2$ && $1+\sqrt2$ && $+\infty$\\\hline
$e^{-x}$ &&$+$ &$|$&$+$&$|$&$+$&\\\hline
$x^2-2x-1$ &&$+$ &\zb&$-$&\zb&$+$&\\\hline
$d'(x)$ &&$+$ &\zb&$-$&\zb&$+$&\\\hline
&&&&&&&\\
$d$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]
On en déduit donc, en se restreignant à l'intervalle $[-1;1]$,
\[\begin{tabular}{|c|*5{c}|}\hline
$x$ & $-1$ && $1-\sqrt2$ && 1\\\hline
&&&&&\\
$d$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]
\item D'après la question précédente, la distance $d(x)$ est maximale pour $x_0= 1-\sqrt{2}$, et vaut
\[\bgar{ll}d\lp1-\sqrt2\rp
&= \lp1 - \lp1 + 2 - 2\sqrt2\rp\rp e^{-1+\sqrt{2}}\\[.6em]
&= \left(2\sqrt{2} - 2\right)e^{-1+\sqrt{2}} \approx 1,3\enar\]
\end{enumerate}
\item Pour déterminer le nombre de solutions de l'équation $h(x) = 0$,
on peut penser au théorème des valeurs intermédiaires, ou théorème de la bijection.
On étudie pour cela la fonction $h$ qui est contineu sur $\R$.
On a $h'(x)=-e^{-x}-1$ donc, comme $e^{-x}>0$,
on a $h'(x)<-1<0$ et la fonction $h$ est strictement décroissante sur $\R$.
\begin{itemize}
\item $h(-1)=e^{1}+1-2= e-1>0$; comme $h$ est strictement décroissante, $h(x)>0$ pour $x<-1$, donc $h$ ne s'annule pas sur l'intervalle $]-\infty~;~-1[$.
\item $h(0)=e^{0}-2 = -1 <0$; comme $h$ est strictement décroissante, $h(x)<0$ pour $x>0$, donc $h$ ne s'annule pas sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\item Sur l'intervalle $[-1~;~0]$, la fonction $h$ est continue et strictement décroissante, et on sait que $h(-1)>0$ et $h(0)<0$, et donc l'équation $h(x)=0$ admet une solution unique.
\end{itemize}
La droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}_g$ ont donc un unique point d'intersection dont l'abscisse est comprise entre $-1$ et $0$.
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{\large Exercice B}
\medskip
Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par: $g(x) = \ln(x) + 2x - 2$.
\smallskip
\begin{enumerate}
\item En $+\infty$,
$\dsp\lim_{x\to +\infty} \ln (x) = +\infty$
et $\dsp\lim_{x\to +\infty} 2x -2= +\infty$ donc, par addition des limites,
$\dsp\lim_{x\to +\infty} g(x) = +\infty$.
\medskip
De m\^eme,
$\dsp\lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}} \ln (x) = -\infty$
et $\dsp\lim_{x\to 0} 2x-2 = -2$ donc, par addition,
$\dsp\lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}} g(x) = -\infty$.
\item La fonction $g$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$,
avec $g'(x)=\dfrac1x+2>2>0$ et donc la fonction
$g$ est strictement croissante sur $]0~;~ +\infty[$.
\item La fonction $g$ est continue (car m\^eme dérivable) sur $[0;+\infty[$,
strictement croissante, et
avec $\dsp\lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}} g(x) = -\infty$.
et $\dsp\lim_{x\to +\infty} g(x) = +\infty$.
On en déduit, d'après le théorème des valeurs intermédiaires,
ou théorème de la bijection,
que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$
sur $]0~;~ +\infty[$.
\item Comme $g(1)=0$ donc l'unique solution précédente est en fait $\alpha=1$, et
on déduit, comme $g$ est strictement croissante sur $\R_+^*$ que
\bgit
\item sur $]0~;~1[$, $x<1\iff g(x)<g(1)=0$: $g$ est strictement négative
\item sur $]1;+\infty[$, $x>1\iff g(x)<g(1)=0$: $g$ est strictement positive
\enit
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie II : étude d'une fonction } \boldmath $f$\unboldmath
\medskip
On considère la fonction $f$, définie sur $]0~;~ +\infty[$par: $f(x) = \left(2 - \dfrac{1}{x}\right)[\ln (x) - 1]$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item On dérive le produit $f=uv$
avec $u(x)=2-\dfrac1x$ donc $u'(x)=\dfrac1{x^2}$
et $v(x)=\ln(x)-1$ donc $v'(x)=\dfrac1x$.
On obtient alors $f'=u'v+uv'$,
soit
\[\bgar{ll}f'(x)&=\dfrac1{x^2}\lp\ln(x)-1\rp + \lp2-\dfrac1x\rp\dfrac1x\\[1.2em] &= \dfrac{\ln(x)-1 +2x-1}{x^2}
=\dfrac{g(x)}{x^2}\enar\]
\item D'après la partie précédente, on a
\[\begin{tabular}{|c|*5{c}|}\hline
$x$&0&&1&&$+\infty$\\\hline
$x^2$ && $+$ &$|$ &$+$&\\\hline
$g(x)$ && $-$ &\zb &$+$&\\\hline
$f'(x)$ && $-$ &\zb &$+$&\\\hline
&\psline(-.08,1.9)(-.08,-1.2)\psline(0,1.9)(0,-1.2)&&&&\\
$f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&$-1$&&\\
\hline\end{tabular}\]
\end{enumerate}
\item
\[\bgar{ll}f(x)=0 &\iff \lp2-\dfrac1x\rp\lp\ln(x)-1\rp=0\\[.8em]
&\iff 2-\dfrac{1}{x}=0 \text{ ou } \ln(x)-1=0\\[.8em]
&\iff x=\dfrac{1}{2} \text{ ou } x=e
\enar\]
L'équation $f(x) = 0$ admet donc deux solutions sur $]0~;~ +\infty[$: $x=\dfrac{1}{2}$ et $x=e$.
On en déduit, à l'aide de la question précédente,
le tableau de signes de la fonction $f$ sur $]0~;~ +\infty[$:
\[\begin{tabular}{|c|*7{c}|}\hline
$x$&0&&$\frac12$&&$e$ && $+\infty$\\\hline
$f(x)$ &$||$ & $+$ &\zb&$-$&\zb&$+$&\\\hline
\end{tabular}\]
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie III : étude d'une fonction \boldmath $F$\unboldmath{} admettant pour dérivée la fonction \boldmath $f$\unboldmath}
\medskip
\begin{enumerate}
\item On a $F'= f$, donc, d'après le résultat de la question précédente
\[\begin{tabular}{|c|*7{c}|}\hline
$x$&0&&$\frac12$&&$e$ && $+\infty$\\\hline
$F'(x)=f(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\zb&$+$&\\\hline
&\psline(-.08,.9)(-.08,-1.2)\psline(0,.9)(0,-1.2)&&&&&&\\
$F$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&&&&&\\
\hline\end{tabular}\]
\item Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$ à la courbe
$\mathcal{C}_F$ est $F'(a)=f(a)$. 4
On cherche donc les abscisses $a$ telles que
\[F'(a)=f(a)=0\]
On a déjà résolu cette équation précédemment, et la courbe
$\mathcal{C}_F$ admet donc deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses,
en $x=\frac12$ et en $x=e$.
\end{enumerate}
\label{LastPage}
\end{document}
Télécharger le fichier source 
