Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Bac blanc
Terminale S
Bac blanc
Bac blanc de mathématiques, Terminale S- Fichier
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- Bac blanc de mathématiques, Terminale S
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- Terminale S
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- bac blanc, mathématiques, corrigé de mathématiques, maths, TS
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\documentclass[11pt,onecolumn,a4paper]{article} \usepackage[french]{babel} %\selectlanguage{francais} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{enumerate} \usepackage{pst-all} \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Yoann Morel}, pdfsubject={Corrigé du bac blanc de mathémtiques}, pdftitle={Correction du baccalauréat blanc de mathématiques}, pdfkeywords={bac blanc, corrigé, Mathématiques, TS, terminale S} } \hypersetup{ colorlinks = true, linkcolor = blue, anchorcolor = red, citecolor = blue, filecolor = red, urlcolor = red } \voffset=-1cm % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\ul}{\underline} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}{\overrightarrow} \newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}} \newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}} \newcommand{\ct}{\centerline} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R \def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z \def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} \newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}} \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{ \protect\vspace*{\fill}} \setlength{\columnsep}{30pt} % default=10pt \setlength{\columnseprule}{1pt} % default=0pt (no line) \setlength{\headsep}{0in} % default=0.35in \setlength{\parskip}{0ex} \setlength{\parindent}{0mm} \voffset=-1.8cm \textheight=27.7cm \textwidth=19cm \topmargin=0cm \headheight=-0.cm \footskip=1cm \oddsidemargin=-1.8cm \usepackage{ifthen} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{.1pt} \lhead{}\chead{}\rhead{} \lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}} \cfoot{} \rfoot{Corrigé du bac blanc de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \ct{\bf\LARGE{Correction du bac blanc de math\'ematiques}} \vspace{-.8em} \bgex \textit{Nouvelle Cal\'edonie, 2012}\hrulefill{\bf 5 points} \textbf{Partie A.} 1. $P\lp i\sqrt2\rp= \lp i\sqrt2\rp^3-\lp2+i\sqrt2\rp\lp i\sqrt2\rp^2+2\lp1+i\sqrt2\rp\lp i\sqrt2\rp-2i\sqrt2$ \quad avec, $\lp i\sqrt2\rp^2=i^2\sqrt2^2=-2$, et $\lp i\sqrt2\rp^3=\lp i\sqrt2\rp^2\tm i\sqrt2=-2i\sqrt2$ \quad ainsi, $\bgar[t]{ll} P\lp i\sqrt2\rp &= -2i\sqrt2+2\lp2+i\sqrt2\rp+2\lp1+i\sqrt2\rp\lp i\sqrt2\rp-2i\sqrt2 \\ &=-2i\sqrt2+4+2i\sqrt2+2i\sqrt2-4-2i\sqrt2 =0 \enar$ \quad $z_0=i\sqrt2$ est donc bien une racine de $P$. \bgen[1.]\setcounter{enumi}{1} \item \bgen[a)] \item En d\'eveloppant, on a: $\bgar[t]{ll} \lp z-i\sqrt2\rp\lp z^2+az+b\rp &=z^3+az^2+bz-z^2i\sqrt2-azi\sqrt2-bi\sqrt2\\ &=z^3+\lp a-i\sqrt2\rp z^2+\lp b-ai\sqrt2\rp z-bi\sqrt2 \enar$ En identifiant avec les coefficients du polyn\^ome $P$, on obtient alors: \vspace{-1em} \[\left\{\begin{array}{l c l} a - \text{i}\sqrt{2}&=&-2 - \text{i}\sqrt{2}\\ b - a\text{i}\sqrt{2} &=&2 + 2\text{i}\sqrt{2}\\ -b\text{i}\sqrt{2}&=&-2\text{i}\sqrt{2} \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} a &=&-2 \\ b + 2\text{i}\sqrt{2} &=&2 + 2\text{i}\sqrt{2}\\ -b&=&-2 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} a &=&-2 \\ b&=&2\\ b&=&2 \end{array}\right.\] \vspace{-1em} On a donc la factorisation $P(z)=\lp z-i\sqrt2\rp\lp z^2-2z+2\rp$ \item En utilisant la factorisation pr\'ec\'edente : \vspace{-1em} \[P(z)=0 \iff \lp z-i\sqrt2\rp \lp z^2 - 2z+2\rp=0 \iff \Bigl(z-i\sqrt2=0\ \text{ ou } z^2-2z+2=0\Bigr)\] \vspace{-.8em} On retrouve la racine $i\sqrt2$. L'\'equation du second degr\'e a pour discriminant $\Delta=-4<0$, et admet donc 2 racines complexes conjugu\'ees: $z_1=\dfrac{2-i\sqrt{4}}{2}=1-i \ \text{ et }\ z_2=\overline{z_1}=1+i $ \vspace{-.6em} Les solutions sont donc : $z_0=i\sqrt2$, $z_1=1-i$, et $z_2=1+i$. \item $z_0$ est un nombre imaginaire pur, d'argument $\dfrac\pi2$, et $z_0=\sqrt2e^{i\frac\pi2}$. On a $\left|z_1\right|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, et $z_1=1-i=\sqrt2\lp \dfrac1{\sqrt2}-\dfrac1{\sqrt2}\,i\rp =\sqrt2\lp \dfrac{\sqrt2}2-\dfrac{\sqrt2}2\,i\rp =\sqrt2e^{-i\frac\pi4}$. Enfin, $z_2=\overline{z_1}=\sqrt2e^{i\frac\pi4}$. \enen \enen \vspace{-.6em} \textbf{Partie B.} \bgmp{5.1cm} 1.\\[1em] \[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-2,-2)(2,1.) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt] \multido{\i=-2+1}{5}{ \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-2.2)(\i,2.2) \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-2.2,\i)(2.2,\i) } \psline[linewidth=1.6pt]{->}(-2.2,0)(2.4,0) \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,-2.2)(0,2.4) \psdots(1,1)(1,-1)(0,1.414)(1;135)(-1,-1)(-1,1)(-1.414,0) \uput[ur](1,1){A}\uput[dr](1,-1){B}\uput[l](0,1.414){J}\uput[ul](.45;135){K} \uput[ul](-1,1){D}\uput[d](-1.414,0){L}\uput[dl](-1,-1){C}\uput[dl](0,0){O} \pspolygon(1,1)(1,-1)(-1,-1)(-1,1) \end{pspicture} \] \enmp \bgmp{13.2cm} \bgen[1.]\setcounter{enumi}{1} \item On a $z_K=e^{\frac{3i\pi}{4}}=\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\sin\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}$. $K$ est le milieu du segment $[JL]$ ce qui se traduit par: $z_K=\dfrac{z_J+z_L}{2} \iff z_L=2z_K-z_J=-\sqrt2+i\sqrt2-i\sqrt2=-\sqrt2 $ \item On a $\left|z_A\right|^2 =1^2+1^2=2$, $\left|z_B\right|^2 =1^2+(-1)^2=2$, $\left|z_J\right|^2=\lp\sqrt2\rp^2=2$ $\left|z_L\right|^2=\lp-\sqrt2\rp^2=2$. On a donc $OA=OB=OJ=OL=\sqrt2$, et ainsi les points $A$, $B$, $J$ et $L$ appartiennent \`a un m\^eme cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt2$. \enen \enmp \bgen[1.]\setcounter{enumi}{3} \item $ABCD$ est un carr\'e; on peut raisonner pour le d\'emontrer de nombreuses mani\`eres: en calculant les longueurs $AB$, $AD$ et $DB$ et en utilisant le th\'eor\`eme de Pythagore; en montrant que $z_{\V{AB}}=z_{\V{DC}}$ donc que $ABCD$ est un parall\'elogramme, et en calculant le produit scalaire (avec les coordonn\'ees cart\'esiennes) $\V{AB}\cdot\V{AD}$; ou encore en utilisant le point $O$, intersection et milieu des diagonales\dots Par exemple, $z_{\V{AB}}=z_B-z_A=-2$ et $z_{\V{DC}}=z_C-z_D=-2$, d'o\`u $\V{AB}=\V{DC}$ et le quadrilat\`ere $ABCD$ est donc un parall\'elogramme. De plus, $AB=\left|z_{\V{AB}}\right|=\left|-2\right|=2$, et $AD=\left|z_{\V{AD}}\right|=\left|-2\right|=2$, et $DB=\left|z_{\V{DB}}\right|=\left|2-2i\right|=\sqrt8$. Ainsi, $AB^2+AD^2=DB^2$ donc, d'apr\`es le th\'eor\`eme de Pythagore, le parall\'elogramme $ABCD$ est un rectangle, et comme de plus $AB=AD$, c'est un carr\'e. \enen \enex \bgex\textit{Amérique du Nord, 2011}\hrulefill\textbf{5 points} \textbf{Partie A} On consid\`ere la fonction $g$ d\'efinie sur $\R$ par $g(x)=e^x-x-1$. \bgen[1.] \item $g$ est la somme de la fonction exponentielle et d'une fonction affine et est donc d\'erivable sur $\R$ avec $g'(x)=e^x-1$. De plus, la fonction exponentielle étant croissante sur $\R$, $g'(x)=e^x-1\geqslant0\iff e^x\geqslant1\iff x\geqslant0$. \ul{Limite en $-\infty$:} $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^x=0$, donc $\dsp\lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty$. \ul{Limite en $+\infty$:} On factorise par $e^x$ qui est, en $+\infty$, le terme prépondérant: $g(x)=e^x\lp 1-\dfrac{x}{e^x}-\dfrac{1}{e^x}\rp$, où $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$, et par croissances comparées $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$, donc $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}=0$. On a donc, $\dsp\lim_{x\to+\infty}\lp 1-\dfrac{x}{e^x}-\dfrac{1}{e^x}\rp=1$, et donc, par produit des limites, $\dsp\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$. Ainsi, on a le tableau de variation: \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ &&$0$ & &$+\infty$ \\\hline $g'(x)$ && $-$ &\zb&$+$&\\\hline &$+\infty$&&&&$+\infty$\\ $g$&\psline[arrowsize=6pt]{->}(.2,.4)(1.4,-.4)&& &\psline[arrowsize=6pt]{->}(-.5,-.4)(.6,.4)&\\ &&&$0$&&\\\hline \end{tabular} \item D'après l'étude précèdente des variations de $g$, $g(0)=0$ est le minimum de $g$ sur $\R$; en particulier, pour tout $x\in\R$, $g(x)\geqslant g(0)=0$. \item On a donc pour tout réel $x$, $g(x)=e^x-x-1\geqslant 0$, et ainsi, $e^x-x\geqslant 1>0$. \enen \textbf{Partie B} 1. a) On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec les fonctions $u$ et $v$ définies par les expressions $\la\bgar{ll}u(x)=e^x-1\\v(x)=e^x-x\enar\right.$. $u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur $\R$, comme la fonction exponentielle, et le dénominateur $u(x)=e^x-x$ ne s'annule pas sur $\R$ d'après la partie A.. Ainsi, $f$ est dérivable sur $\R$, avec, pour tout réel $x$, \vspace{-1.em} \[\bgar{ll} f'(x)&=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} =\dfrac{e^x\lp e^x-x\rp-\lp e^x-1\rp\lp e^x-1\rp}{\lp e^x-x\rp^2}\\ &=\dfrac{e^{2x} -xe^x- \lp e^{2x}-2e^x+1\rp}{\lp e^x-x\rp^2} =\dfrac{-xe^x+2e^x-1}{\lp e^x-x\rp^2} =\dfrac{e^x(2-x)-1}{\lp e^x-x\rp^2} \enar\] \bgen[a)] \setcounter{enumi}{1} \item $0\leqslant x\leqslant 1 \iff -1\leqslant -x\leqslant 0 \iff 1\leqslant 2-x\leqslant 2$, et comme la fonction exponentielle est croissante sur $[0;1]$, $0\leqslant x\leqslant 1\iff e^0=1\leqslant e^x\leqslant e^1=e$. Ainsi, en multipliant terme à terme ces deux dernières inégalités, où tous les termes sont positifs, on obtient $1\leqslant e^x(2-x)\leqslant 2e$, et donc, $0\leqslant e^x(2-x)-1\leqslant 2e-1$. Comme le dénominateur $\lp e^x-x\rp^2>0$ (d'après la partie A.), on a donc $f'(x)\geqslant 0$ et donc $f$ est croissante sur $[0;1]$. \enen \bgen[1.]\setcounter{enumi}{1} \item Comme $f$ est croissante sur $[0;1]$, on a $x\in[0;1]\iff 0\leqslant x\leqslant 1\iff f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(1)$. Or $f(0)=\dfrac{e^0-1}{e^0-1}=0$ et $f(1)=\dfrac{e^1-1}{e^1-1}=1$, et on a donc bien $0\leqslant f(x)\leqslant 1 \iff f(x)\in[0;1]$. \item \bgen[a)] \item Pour tout $x$ de $[0;1]$, $f(x)-x =\dfrac{e^x-1}{e^x-x}-x =\dfrac{e^x-1-x\lp e^x-x\rp}{e^x-x} =\dfrac{e^x-1-xe^x+x^2}{e^x-x}$. Or $(1-x)g(x)=(1-x)\lp e^x-x-1\rp=e^x-x-1-xe^x+x^2+x=e^x-1-xe^x+x^2$. On a donc ainsi bien, pour tout $x\in[0;1]$, $f(x)-x=\dfrac{(1-x)g(x)}{e^x-x}$. \item On a vu que, pour tout $x\in\R_+$, donc aussi tout $x\in[0;1]$, $g(x)\geqslant 0$ et $e^x-x>0$. Ainsi, $f(x)-x$ est du m\^eme signe que $1-x$, et donc $f(x)-x$ est positif sur $[0;1]$: la courbe $(C)$ est au dessus de la droite $(D)$ sur $[0;1]$, $(C)$ et $(D)$ se coupant en $x=0$ et en $x=1$. \enen %\item % \bgen[a)] % \item $f$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$, avec $u(x)=e^x-x$. % % Comme, pour $x\in[0;1]$, $e^x-x>0$, d'apr\`es la partie A, une % primitiver de $f$ est donc % $F=\ln u$, soit $F(x)=\ln\lp e^x-x\rp$. % \item L'aire du domaine est: % \[\mathcal{A}=\int_0^1\!\!\Bigl( f(x)-x\Bigr)\,dx % =\int_0^1\!\!f(x)\,dx-\int_0^1\!\!x\,dx % =\Bigl[F(x)\Bigr]_0^1-\Bigl[\dfrac12x^2\Bigr]_0^1 % =\Bigl(F(1)-F(0)\Bigr)- \Bigl(\dfrac121^2-\dfrac120^2\Bigr) % =\ln(e-1)-\dfrac12 % \] % \enen \enen \textbf{Partie C} \vspace{-1.4em} \bgmp{6.5cm} 1. \\[1em] \[\psset{xunit=6cm,yunit=5cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-.1,-.05)(1.5,.94) \psline[linewidth=1.6pt]{->}(-.05,0)(1.,0) \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,-.05)(0,1.1) \newcommand{\f}[1]{2.718 #1 exp 1 sub 2.718 #1 exp #1 sub div} \psplot{0}{1}{\f{x}} \newcommand{\fr}[1]{#1 10 div} \multido{\i=1+1}{10}{ \psline[linewidth=.8pt,linestyle=dotted](!\fr{\i}\space-.05)(!\fr{\i}\space1.02) \psline[linewidth=.8pt,linestyle=dotted](!-.05\space\fr{\i})(!1.02\space\fr{\i}) } \rput(-.05,-.05){$O$} \psline(1,-.02)(1,.02)\rput(1,-.08){$1$} \psline(-.02,1)(.02,1)\rput(-.08,1){$1$} \rput(.88,.98){$(C)$} % Construction des termes de la suite \psplot{-0.05}{1.02}{x} \newcommand\fn[2]{% \ifnum#1=1 \f{#2}% \else \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}% \fi } % Valeur initiale (u_0) \def\xinit{0.5} \def\nmax{3} % Initialisation pour u_0 \psline[linestyle=dashed] (\xinit,0) (!\xinit\space\f{\xinit}) (!\f{\xinit}\space\f{\xinit}) \rput(\xinit,-0.06){$u_0$} % Boucle pour u_1, u_2, ..., u_nmax \multido{\i=1+1}{\nmax}{ \psline[linestyle=dashed] (!\fn{\i}{\xinit} \space 0) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit}) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) (!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$} \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.06){$u_\i$} } \end{pspicture} \] \enmp \bgmp{12.8cm} \bgen\setcounter{enumi}{1} \item Montrons par r\'ecurrence que pour tout entier $n$, $\dfrac12\leqslant\!u_n\!\leqslant\!u_{n+1}\!\leqslant\!1$. \vspace{-.6em} \textit{Initialisation:} Pour $n=0$, $u_0=\dfrac12$ et $u_1\!=\!f\lp u_0\rp\!=\!f\lp\dfrac12\rp\simeq 0,56$, et donc on a bien $\dfrac12\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant 1$. \vspace{-.5em} \textit{H\'er\'edit\'e:} Supposons que pour un certain entier $n$, on ait $\dfrac12\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$, alors, comme la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$, on a donc $f\lp\dfrac12\rp\leqslant f\lp u_n\rp\leqslant f\lp u_{n+1}\rp\leqslant f(1)$, \vspace{-.5em} soit aussi, comme $f\lp\dfrac12\rp\simeq 0,56\geqslant \dfrac12$, $f(1)=1$, et $f\lp u_n\rp=u_{n+1}$ et $f\lp u_{n+1}\rp=u_{n+2}$, $\dfrac12\leqslant f\lp\dfrac12\rp\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 1$, ce qui montre que la propri\'et\'e est encore vraie au rang $n+1$. \enen \enmp \textit{Conclusion:} D'apr\`es le principe de r\'ecurrence, pour tout entier~$n$, $\dfrac12\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$. \bgen[1.]\setcounter{enumi}{1} \item D'apr\`es le r\'esultat pr\'ec\'edent, la suite $\lp u_n\rp$ est croissante et major\'ee par 1, elle est donc convergente vers une limite $l\leqslant1$. %Comme la fonction $f$ est continue sur $\R_+$ (car elle y est m\^eme %d\'erivable), on a alors %\[u_{n+1}=f\lp u_n\rp %\Longrightarrow \lim_{n\to+\infty} u_{n+1}=\lim_{n\to+\infty}f\lp u_n\rp %\Longrightarrow l=f(l)\] \item La limite $l$ est %donc une solution de l'\'equation $f(l)=l$, et il s'agit donc de l'abscisse d'un point d'intersection de $(C)$ et $(D)$, soit $l=0$ ou $l=1$ d'apr\`es la question 2.b) de la partie B. Or, d'apr\`es la question 2., pour tout entier $n$, $\dfrac12\leqslant u_n\leqslant 1$, et donc $\lp u_n\rp$ est minor\'ee par $\dfrac12$ et ne peut pas converger vers $l=0$. Ainsi $l=1$, et la suite $\lp u_n\rp$ converge donc vers 1. \enen \enex \vspace{-1em} \bgex\textit{Nouvelle Cal\'edonie, mars 2008} \hrulefill{\bf 5 points} \bgen[1.] \item \bgen[a)] \item On a l'arbre pond\'er\'e suivant: \[\psset{xunit=1.5cm,yunit=.8cm} \begin{pspicture}(-2,-1.8)(5,1.1) \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$E$}\rput(0.7,1.2){$0,60$} \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput(3.75,2.25){$M$}\rput(2.9,2.2){$0,10$} \psline(2,1.5)(3.5,1.5)\rput(3.75,1.5){$R$}\rput(2.9,1.6){$0,75$} \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput(3.75,0.75){$G$}\rput(2.9,0.7){$0,15$} % \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.75,-1.5){$\overline{E}$}\rput(0.7,-1.2){$0,40$} \psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)\rput(3.75,-0.75){$M$}\rput(2.9,-0.7){$0,05$} \psline(2,-1.5)(3.5,-1.5)\rput(3.75,-1.5){$R$}\rput(2.9,-1.4){$0,65$} \psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)\rput(3.75,-2.25){$G$}\rput(2.9,-2.2){$0,30$} \end{pspicture}\] \item La probabilit\'e que l'oiseau achet\'e par l'enfant soit vivant au bout de trois mois est d'apr\`es l'arbre (ou la formule des probabilit\'es totales): $0,60\tm\lp0,75+0,15\rp+0,40\tm\lp0,65+0,30\rp=0,92$. \item De m\^eme la probabilit\'e pour l'enfant d'avoir un oiseau rouge est: $0,60\tm0,75+0,40\tm0,65=0,71$. \item La probabilit\'e que l'oiseau provienne du premier \'elevage sachant qu'il est gris est: \vspace{-1.em} \[P_G\lp E\rp=\dfrac{P\lp E\cap G\rp}{P(G)} =\dfrac{0,60\tm0,15}{0,60\tm0,15+0,40\tm0,30} =\dfrac{0,09}{0,21}\simeq 0,43 \] \enen \item On r\'ep\`ete $n=5$ fois l'exp\'erience "choisir au hasard un oiseau", dont le succ\`es est "l'oiseau est toujours en vie au bout d'un mois" et de probabilit\'e $p=0,92$. Ces exp\'eriences sont suppos\'ees identique et ind\'ependante entre elles. Ainsi, la variable al\'eatoire $Y$ \'egale au nombre de succ\`es, c'est-\`a-dire d'oiseaux en vie au bout d'un mois sur ces 5 pris au hasard, suit la loi binomiale de param\`etres $n=5$ et $p=0,92$. La probabilit\'e qu'au bout d'un mois trois soient en vie est alors: \vspace{-1.4em} \[P\lp Y=3\rp=\binom{5}{3}0,92^3 \times (1 - 0,92)^2 = 10 \times 0,92^3 \times 0,08^2 \simeq 0,05\] \vspace{-1.5em} \item On a le tableau de loi de probabilit\'e suivant: \begin{tabular}{|*{4}{c|}}\hline couleur & rouge & gris & mort\\ \hline probabilit\'e & 0,71&0,21&0,08\\ \hline gain(euros) &$+1$&$+0,25$&$-0,10$\\ \hline \end{tabular} \medskip On a donc $E(X) = 0,71 \times 1 + 0,21 \times 0,25 - 0,08 \times 0,10 = 0,7545\approx 0,75 $ euro. \item \bgen[a)] \item L'enfant répète de façon identiques et indépendantes $n$ fois l'expérience aléatoire: "prélever un oiseau". La probabilité pour qu'un oiseau pris au hasard soit gris est, en utilisant l'arbre de la question 1., $0,60\tm0,15+0,40\tm0,30=0,21$. Ainsi, si l'enfant note $Z$ la variable aléatoire égale au nombre d'oiseaux gris parmi les $n$ oiseaux qu'il a achetés, $Z$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,21$. On a alors, $p_n=P\lp Z\geqslant 1\rp=1-P\lp\overline{Z\geqslant1}\rp=1-P\lp Z=0\rp=1-(1-0,21)^n=1-0,79^n$. \item On cherche alors $n$ tel que $p_n=1-0,79^n\geqslant 0,99 \iff 0,79^n\leqslant 1-0,99=0,01$ puis, comme la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $\R_+^*$, $\ln(0,79^n)=n\ln(0,79)\leqslant\ln(0,01)$, et enfin, en divisant par $\ln(0,79)<\ln(1)<0$, $n\geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,79)}\simeq 19,54$. L'enfant doit donc acheter au moins 20 oiseaux. \enen \enen \enex \vspace{-1em} \bgex \textit{Am\'erique du Nord, 2013}\hrulefill{\bf 5 points} On consid\`ere la suite $\lp u_n\rp$ d\'efinie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{2u_n}$. \bgen[1.] \item \bgen[a)] \item Pour $n=3$, la variable $i$ de la boucle varie de 1 \`a 3: \bgit \item Pour $i=1$, on affecte \`a $u$ la valeur $\sqrt{2u}=\sqrt{2}\simeq 1,4142$ \item Pour $i=2$, on affecte \`a $u$ la valeur $\sqrt{2u}\simeq\sqrt{2\tm 1,4142}\simeq 1,6818$ \item Pour $i=3$, on affecte \`a $u$ la valeur $\sqrt{2u}\simeq\sqrt{2\tm 1,6818}\simeq 1,8340$ \enit L'algorithme affiche finalement la derni\`ere valeur de $u$ trouv\'ee: $1,8340$. \item Cet algorithme permet de calculer et d'afficher le terme de rang $n$ de la suite $\lp u_n\rp$. \item D'apr\`es ces valeurs approch\'ees, on peut conjecturer que la suite est croissante et converge vers 2. \enen \item \bgen[a)] \item D\'emontrons par r\'ecurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0<u_n\leqslant 2$. \textit{Initialisation:} Pour $n=0$, $u_0=1$, donc on a bien $0<u_n\leqslant2$. \textit{H\'er\'edit\'e:} Supposons que pour un entier naturel $n$ on ait $0<u_n\leqslant2$, alors, en multipliant ces in\'egalit\'es par $2>0$, $0<2u_n\leqslant 4$, puis, comme la fonction racine carr\'ee est strictement croissante sur $\R_+$, on a enfin $0=\sqrt{0}<\sqrt{2u_n}\leqslant \sqrt{4}=2$. Ainsi, comme $\sqrt{2u_n}=u_{n+1}$, on a donc bien encore, au rang $n+1$, $0<u_{n+1}\leqslant2$. \textit{Conclusion:} D'apr\`es le principe de r\'ecurrence, pour tout entier naturel~$n$, $0<u_n\leqslant2$. \item Pour d\'eterminer le sens de variation de la suite, on peut proc\'eder de (au moins) deux fa\c cons: \textbf{1\`ere m\'ethode: par r\'ecurrence.} \textit{Initialisation:} $u_0=1$ et $u_1=\sqrt{2u_0}=\sqrt2>u_0$. On a donc initialement, pour $n=0$, $u_{n+1}>u_n$. \textit{H\'er\'edit\'e:} Supposons que pour un entier $n$, on ait $u_{n+1}>u_n$, alors, en multipliant par $2>0$, $2u_{n+1}>2u_n$, puis, comme la fonction racine carr\'ee est strictement croissante sur $\R_+$ et que, d'apr\`es la question pr\'ec\'edente, $u_n>0$ pour tout $n$, on a donc $\sqrt{2u_{n+1}}>\sqrt{2u_n}$, soit $u_{n+2}>u_{n+1}$, et la propri\'et\'e $u_{n+1}<u_n$ est encore vraie au rang $n+1$. \textit{Conclusion:} D'apr\`es le principe de r\'ecurrence, pour tout entier~$n$, $u_{n+1}>u_n$; en d'autres termes la suite $(u_n)$ est strictement croissante. \textbf{2\`eme m\'ethode: d\'emonstration directe.} Pour $n\in\N$, on a $u_{n+1}-u_n=\sqrt{2u_n}-u_n$, soit, en utilisant la quantit\'e conjugu\'ee: $u_{n+1}-u_n=\sqrt{2u_n}-u_n =\dfrac{2u_n-u_n^2}{\sqrt{2u_n}+u_n} =\dfrac{u_n\lp 2-u_n\rp}{\sqrt{2u_n}+u_n}$. Or, d'apr\`es la question pr\'ec\'edente, $0<u_n\leqslant 2$, et donc, $2-u_n\geqslant0$, et $\sqrt{u_n}+u_n>0$. On a donc $u_{n+1}-u_n\geqslant 0$, et la suite $\lp u_n\rp$ est donc croissante. \item La suite $(u_n)$ est ainsi croissante et est major\'ee par 2: elle converge donc vers une limite $l$. \enen \item \bgen[a)] \item Pour tout entier naturel $n$, $v_n=\ln u_n-\ln2=$, donc, \vspace{-1.2em} \[\bgar{ll} v_{n+1} &= \ln\lp u_{n+1}\rp-\ln2=\ln\lp\sqrt{2u_{n}}\rp-\ln2 =\dfrac12\ln\lp 2u_n\rp-\ln2 \\ &=\dfrac12\lp \ln2+\ln u_n\rp-\ln2 =\dfrac12\lp\ln u_n-\ln2\rp=\dfrac12 v_n \enar\] \vspace{-.8em} $\lp v_n\rp$ est donc la suite g\'eom\'etrique de raison $\dfrac12$ et de 1er terme $v_0=\ln u_0-\ln2=\ln1-\ln2=-\ln2$. \item On d\'eduit de ce qui pr\'ec\`ede que pour tout entier naturel $n$, $v_n=-\ln 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$, puis que $v_n=\ln u_n-\ln2\iff \ln u_n=v_n+\ln2\iff u_n=e^{v_n+\ln2}=e^{v_n}e^{\ln2}=2e^{v_n}$. \item Comme $0<\dfrac12<1$, $\dsp\lim_{n\to+\infty}{\lp\dfrac12\rp^n}=0$ et donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}{\lp v_n\rp}=0$. Comme $\dsp\lim_{x\to0}{e^x}=1$, par composition des limites on a: $\dsp\lim_{n\to+\infty}{e^{v_n}}=1$ et finalement: $\dsp\lim_{n\to+\infty}{u_n}=2$. \item \[ \begin{tabular}{|ll|}\hline Variables: &$n$ est un entier naturel\\ & $u$ est un r\'eel\\ Initialisation:&Affecter \`a $n$ la valeur $0$\\ &Affecter \`a $u$ la valeur 1\\ Traitement:&Tant que $u\leqslant 1,999$\\ &Affecter \`a $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\ &Affecter \`a $n$ la valeur $n+1$\\ Sortie:&Afficher $n$\\ \hline \end{tabular} \] \enen \enen \enex \clearpage \setcounter{nex}{3} \bgex\quad\textbf{\bf (5 points) %\textit{Commun à tous les candidats}} \quad\textit{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}} On cherche à résoudre dans $\Z$ l'équation $(E_n): 7\,x^2+y^2=2^n$, où $n\in\N$. \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item $(E_0): 7\,x^2+y^2=1$. Si $x\not=0$, alors $7x^2\geqslant7$ et alors $y^2=1-7x^2<0$ ce qui est impossible. On doit donc avoir nécessairement $x=0$, et donc $y^2=1$, soit $y=-1$ ou $y=1$. $(E_0)$ a dont deux solutions: $(0;-1)$ et $(0;1)$. \medskip $(E_1): 7\,x^2+y^2=2$. De m\^eme on doit avoir $x=0$ et alors $y^2=2$, qui n'a pas de solution dans $\Z$. Ainsi, $(E_1)$ n'a pas de solution. \medskip $(E_2): 7\,x^2+y^2=4$. On doit encore avoir nécessairement $x=0$, et donc $y^2=4$, soit $y=-2$ ou $y=2$. $(E_2)$ a donc deux solutions: $(0;-2)$ et $(0;2)$. \item Soit $(x,y)$ est une solution de $(E_n)$, $n\geqslant1$, alors, comme $7\equiv1[2]$ et $2^n\equiv0[2]$, on doit avoir $x^2+y^2\equiv0[2]$. Ainsi, si $x$ est pair, soit $x\equiv0[2]$, alors $x^2\equiv0[2]$, et donc $y^2\equiv0[2]$: $y^2$ est pair, et donc $y$ aussi. Si $x$ est impair, soit $x\equiv1[2]$ alors $y^2\equiv1[2]$ et donc $y^2$, donc $y$ est aussi impair. \medskip En résumé, $x$ et $y$ ont même parité. \item Soit $n=2p+1$, $p\in\N$, alors $(E_n): 7x^2+y^2=2^{2p+1}=2\tm\lp2^{2}\rp^n=2\tm4^n$\\ et ainsi, modulo 3, comme $7\equiv 1\,[3]$ et $4^n\equiv 1^n\,[3]\equiv 1[3]$, on obtient $(E_n): x^2+y^2\equiv 2\,[3]$. Si par exemple $x\equiv 0[3]$, alors $x^2\equiv 0^2[3]\equiv 0[3]$ et on devrait donc avoir $y^2\equiv 2[3]$. Or, \bgit \item si $y\equiv 0[3]$ alors $y^2\equiv 0[3]$ \item si $y\equiv 1[3]$ alors $y^2\equiv 1^2[3]\equiv 1[3]$ \item si $y\equiv 2[3]$ alors $y^2\equiv 2^2[3]\equiv 1[3]$ \enit Il est donc impossible d'avoir $y^2\equiv 2[3]$ donc $x$ ne peut pas \^etre divisble par 3. Comme $x$ et $y$ jouent des r\^oles symétriques dans l'équation modulo 3, $y$ ne peut pas non plus \^etre divisible par 3. \item Soit $n=2p$, $p\in\N$, alors $(E_n): 7x^2+y^2=2^{2p}=\lp2^p\rp^2$. Ainsi, on admet au moins les solutions $\lp0;2^p\rp$ et $\lp0;-2^p\rp$ \item $(E_6): 7x^2+y^2=2^6=64$. si $|x|\geqslant4$, alors $x^2\geqslant16$ et donc $7x^2\geqslant 112$, d'où $y^2=64-7x^2<0$ ce qui est impossible. On doit donc nécessairement avoir $|x|\leqslant3$, soit $-3\leqslant x\leqslant3$. \item Soit $\lp x;y\rp$ une solution de $(E_n):7x^2+y^2=2^n$. Alors, $2^{n+2}=4\tm2^n=4\lp7x^2+y^2\rp =7\tm4x^2+4y^2=7\lp2x\rp^2+\lp2y\rp^2$. On trouve donc que $\lp 2x;2y\rp$ est une solution de $\lp E_{n+2}\rp$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} On pose le système $(S)\left\{ \begin{array}{c@{\ +\ }c@{\ =\ }c}7\,x^2&y^2&2^4\\13\,x^2&2\,y^2&31\end{array}\right.\text{ et la matrice } A=\begin{pmatrix}7&1\\13&2\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Soit $B=\lp\bgar{c}2^4\\31\enar\rp$ et $X=\lp\bgar{c}x^2\\y^2\enar\rp$, alors le système s'écrit $AX=B$. \item $A^2-9\,A =\lp\bgar{cc}7 & 1\\13&2\enar\rp\lp\bgar{cc}7 & 1\\13&2\enar\rp -9\lp\bgar{cc}7 & 1\\13&2\enar\rp =\lp\bgar{cc}-1 & 0\\0&-1\enar\rp =-I_2$. \item On a donc, $-A^2+9A=A\lp -A+9I_2\rp=\lp -A+9I_2\rp A=I_2$, d'où $A$ est inversible, \\ d'inverse $A^{-1}=-A+9I_2=\lp\bgar{cc}2 & -1\\-13&7\enar\rp$. \item Retrouver la matrice inverse de $A$ au moyen d'une formule d'inversion connue pour les matrices d'ordre 2. On aurait aussi pu utiliser la formule: $A^{-1}=\dfrac{1}{7\tm2-13\tm1}\lp\bgar{cc}2&-1\\-13&7\enar\rp$ \item \`A l'aide de $A^{-1}$, on obtient les solutions de $(S)$: \[AX=B\iff X=A^{-1}B =\lp\bgar{cc}2 & -1\\-13&7\enar\rp\lp\bgar{c}2^4\\31\enar\rp =\lp\bgar{c} 2^5-31\\-13\tm2^4+7\tm31\enar\rp =\lp\bgar{c}1\\9\enar\rp\] On trouve ainsi $x^2=1$, soit $x=-1$ ou $x=1$, et $y^2=9$, soit $y=-3$ ou $y=3$. \end{enumerate} \enex \label{LastPage} \end{document}
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