Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Probabilités, un algorithme et une inéquation

seconde

Probabilités, un algorithme et une inéquation

Devoir de mathématiques, 2nde: probabilités, algorithme, tableaux de signes, résolution d'une inéquation avec des fractions
Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques, 2nde: probabilités, algorithme, tableaux de signes, résolution d'une inéquation avec des fractions
Niveau
seconde
Mots clé
devoir corrigé de mathématiques, probabilités, algorithme, algorithmique, tableau de signe, inéquation, mathématiques, seconde, 2nde

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%                                      %
%   Generateur automatique de devoir,  %
%   par Y. Morel                       %
%   http://xymaths.fr                  %
%                                      %
%      Genere le:                      %
%   mercredi 04 avril 2018              %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[11pt,onecolumn,a4paper]{article}

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\usepackage{array}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques: probabilités, algorithmique , inéquations, tableaus de signes},
    pdftitle={Correction du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={probabilités, algorithme, tableau de signe, inéquation, mathématiques, seconde, 2nde}
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    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    urlcolor = red
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\voffset=-1.5cm

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\usepackage{ifthen}

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\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/2nde/Mathematiques-2nde.php}{xymaths - 2nde}}
\rfoot{Corrigé du devoir de math\'ematiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}


\bgex
\bgen
\item
  \bgen[a)] 
  \item D'apr\`es l'\'enonc\'e, 
    $p(A)=8\,\%$ et $p(B)=6\,\%$. 

  \item $A\cup B$ est l'\'ev\'enement: 
    \og l'article pr\'elev\'e au hasard pr\'esente soit un d\'efaut d'assemblage,
    soit un d\'efaut de dimensionnement\fg, c'est-\`a-dire, 
    $A\cup B$ est l'\'ev\'enement: \og l'article est d\'efectueux\fg.

    La  probabilit\'e de l'\'ev\`enement  $A\cup B$ est donc 
    $P(A\cup B)=12\,\%$. 
  \enen

\item L'\'ev\`enement  \og un article pr\'elev\'e au hasard ne pr\'esente aucun
  d\'efaut \fg est l'\'ev\'enement contraire de $A\cup B$. 
  Ainsi, sa probabilit\'e est de $1-12\,\%=88\,\%$". 

\item \og un article pr\'elev\'e au hasard pr\'esente les deux d\'efauts \fg 
  est l'\'ev\'enement $A\cap B$; il a pour probabilit\'e: 
  $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=8\,\%+6\,\%-12\,\%=2\,\%$.
\enen

\enex


\bgex
\[\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(5,2.6)
  \psline(0,0)(1.5,1.5)
  \rput[l](1.8,1.5){Pi\`ece truqu\'ee}\rput(0.7,1.2){$\dfrac12$}
  \psline(4,1.5)(5.5,2.25)\rput(5.75,2.25){$P$}\rput(4.7,2.2){$\dfrac{9}{10}$}
  \psline(4,1.5)(5.5,0.75)\rput(5.75,0.75){$F$}\rput(4.7,0.7){$\dfrac{1}{10}$}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-1.5)
  \rput[l](1.6,-1.5){Pi\`ece non truqu\'ee}\rput(0.7,-1.2){$\dfrac12$}
  \psline(4,-1.5)(5.5,-0.75)\rput(5.75,-0.75){$P$}\rput(4.7,-0.7){$\dfrac12$}
  \psline(4,-1.5)(5.5,-2.25)\rput(5.75,-2.25){$F$}\rput(4.7,-2.2){$\dfrac12$}
\end{pspicture}\]
La probabilit\'e d'obtenir "Pile" est alors 
$p=\dfrac12\tm\dfrac{9}{10}+\dfrac12\tm\dfrac12=\dfrac{14}{20}
=\dfrac{7}{10}$

\enex


\bgex
La variable $N$ vaut donc initialement 4. \\
La boucle va donc faire varier $I$ de 1 \`a 4. 
\bgit
\item Pour $I=1$, on affecte la valeur 
$5\tm0+1=1$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite. 

\item Pour $I=2$, on affecte la valeur 
  $5\tm1+2=7$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite. 

\item Pour $I=3$, on affecte la valeur 
  $5\tm7+3=38$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite. 

\item Pour $I=4$, on affecte la valeur 
  $5\tm38+4=194$ \`a $A$ que l'on affiche ensuite. 
\enit

L'algorithme affiche donc, successivement: 
"Choisir un nombre", 
"1", "7", "38", "194", 
"R\'esultat final", "194"
\enex

\bgex
$\dfrac{2}{x-1}\leqslant\dfrac{3}{x+2}
\iff\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{3}{x+2}
=\dfrac{-x+7}{(x-1)(x+2)}\leqslant0$.

On dresse le tableau de signes:
\[
\begin{tabular}[t]{|c|ccccccccc|}\hline
$x$&$-\infty$ && $-2$ & & $1$ & & $7$ & & $+\infty$ \\\hline
$-x+7$ & & $+$ & $|$ & $+$ & $|$ &$+$ & \zb & $-$ &\\\hline
$x-1$ &&$-$ & $|$ & $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$x+2$ & & $-$ & \zb & $+$ & $|$ &$+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$E(x)$ & & $+$ & \db & $-$ & \db & $+$ & \zb & $-$& \\\hline
\end{tabular}
\]
d'où on trouve l'ensemble des solutions: 
$\mathcal{S}=]-2;1[\cup[7;+\infty[$
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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