Source Latex
sujet du devoir
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% Generateur automatique de devoir, %
% par Y. Morel %
% https://xymaths.fr %
% %
% Genere le: %
% jeudi 19 septembre 2013 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
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\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={ROC},
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pdfkeywords={Math�matiques, 1�reS, 1S, premi�re S,
devoir, DS, DM,
fonctions,
fonctions associ�es, fonction associ�e,
sens de variation
}
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\protect\vspace*{\fill}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
%{\pagestyle{empty}}%
%{%
%\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1S/}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - $1^{\text{�re}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
$u$ est une fonction d\'efinie sur l'intervalle $[0;+\infty[$.
Son tableau de variation est le suivant:
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $0$ && $1$ && $2$ &&$+\infty$ \\\hline
&0&&&&&&\\
$u$ && \psline{->}(-0.3,0.4)(0.3,-0.3)
&&\psline{->}(-0.3,-0.3)(0.3,0.1)&0&
\psline{->}(-0.3,0.2)(0.3,0.6)&
\\
&&&$-1$&&&&\\\hline
\end{tabular}
\]
Dresser le tableau de variation de chacune des fonctions suivantes:
\vspd
\bgit
\item[a)] $f$ d\'efinie par $f(x)=-2u(x)+1$\,.
\vspd
\item[b)] $g$ d\'efinie par $g(x)=-\dfrac{1}{2}\sqrt{u(x)}+3$\,.
\vspd
\item[c)] $h$ d\'efinie par $h(x)=\dfrac{1}{u(x)}$.
\enit
\enex
\bgex
Soit $f$ une fonction d\'efinie sur $\R$, d\'ecroissante sur $\R$,
et telle que, pour tout $x$ r\'eel, $f(x)\not=0$.
Soit de plus $\lambda$ un r\'eel strictement n\'egatif.
\vspd
Montrer que la fonction $g=\dfrac{1}{\lambda f}$ est d\'ecroissante sur
$\R$.
\enex
\bgex
Soit $u$ et $v$ deux fonctions d\'efinies sur $\R$ par:
\[
u(x)=3x+1\qquad\mbox{ et, }\qquad v(x)=x^2-2\,.
\]
On d\'efinit la fonction $f$ selon $f=u\circ v$.
\vspd
\bgit
\item[a)] D\'eterminer l'expression de la fonction $f$.
\vspd
\item[b)] D\'eterminer le sens de variation de $f$.
\enit
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\lb 0\,;\,\dfrac{1}{2}\rb$ par
l'expression
\[f(x)=1-\frac{1}{\sqrt{1-x}}\,.
\]
\bgit
\item[a)] Dresser le tableau de variation de $f$.
\vspd
\item[b)] En d\'eduire un encadrement de l'expression
$\dsp 1-\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}$ lorsque
$x\in\lb 0\,;\,\dfrac{1}{2}\rb$.
\enit
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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