Devoir corrigé de maths en Terminale générale, spécialité mathématiques

Annale Bac, spé maths - 12 mai 2022

Baccalauréat 12 mai 2022. Sujet posé en spécialité mathématiques, filière générale. Correction détaillée du sujet.

Exercice 1: Arbre et loi binomiale

Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord.
Dans l'état d'Oklahoma, aux États-Unis, 70 % des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose.
Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que :
  • Si le coyote est malade, le test est positif dans 97 % des cas.
  • Si le coyote n'est pas malade, le test est négatif dans 95 % des cas.

Partie A
Des vétérinaires capturent un coyote d'Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l'ehrlichiose.
On considère les évènements suivants :
  • M: « le coyote est malade »;
  • T: « le test du coyote est positif ».

On note $\overline{M}$ et $\overline{T}$ respectivement les évènements contraires de M et T.
  1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation.
    \[\psset{xunit=1.3cm,yunit=1.4cm} \begin{pspicture}(-.4,-2)(4.2,2) \psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.75,1){$M$} \rput(.8,.9){\dots} \rput(.8,-1){\dots} \psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.75,-1){$\overline{M}$} \psline(2.1,1.2)(3.5,1.6)\rput(3.8,1.6){$T$} \rput(2.8,1.7){\dots} \psline(2.1,.8)(3.5,.4)\rput(3.8,.4){$\overline{T}$} \rput(2.8,.2){\dots} \rput(2.8,-.4){\dots} \psline(2.1,-1.2)(3.5,-1.6)\rput(3.8,-1.6){$\overline{T}$} \psline(2.1,-.8)(3.5,-.4)\rput(3.8,-.4){$T$} \rput(2.8,-1.8){\dots} \end{pspicture}\]


  2. Déterminer la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif.
  3. Démontrer que la probabilité de T est égale à $0,694$.
  4. On appelle « valeur prédictive positive du test »  la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif.
    Calculer la valeur prédictive positive du test. On arrondira le résultat au millième.
    1. Par analogie avec la question précédente, proposer une définition de la « valeur prédictive négative du test »  et calculer cette valeur en arrondissant au millième.
    2. Comparer les valeurs prédictives positive et négative du test, et interpréter.

Partie B
On rappelle que la probabilité qu'un coyote capturé au hasard présente un test positif est de $0,694$.
  1. Lorsqu'on capture au hasard cinq coyotes, on assimile ce choix à un tirage avec remise.
    On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard associe le nombre de coyotes dans cet échantillon ayant un test positif.
    1. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Justifier et préciser ses paramètres.
    2. Calculer la probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif. On arrondira le résultat au centième.
    3. Un vétérinaire affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif : cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
  2. Pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d'un coyote présentant un test positif. Combien doivent-ils capturer de coyotes pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux présente un test positif soit supérieure à $0,99$ ?

Correction exercice 1

Partie A

  1. \[\psset{xunit=1.3cm,yunit=1.4cm} \begin{pspicture}(-.4,-2)(4.2,2) \psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.75,1){$M$} \rput(.8,.9){70\%} \rput(.8,-1){30\%} \psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.75,-1){$\overline{M}$} \psline(2.1,1.2)(3.5,1.6)\rput(3.8,1.6){$T$} \rput(2.8,1.7){97\%} \psline(2.1,.8)(3.5,.4)\rput(3.8,.4){$\overline{T}$} \rput(2.8,.4){3\%} \rput(2.8,-.4){5\%} \psline(2.1,-1.2)(3.5,-1.6)\rput(3.8,-1.6){$\overline{T}$} \psline(2.1,-.8)(3.5,-.4)\rput(3.8,-.4){$T$} \rput(2.8,-1.7){95\%} \end{pspicture}\]


  2. D'après l'arbre, la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif est
    \[P(\overline{M}\cap T)=30\%\tm5\%=1,5\%\]

  3. D'après l'arbre, ou la formule des probabilités totales,
    \[P(T)=70\%\tm97\%+30\%\tm5\%=69,4\%=0,694\]

  4. La valeur prédictive positive du test est la probabilité conditionnelle
    \[P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{70\%\tm97\%}{69,4\%}\simeq0,978=97,8\%\]

    1. Par analogie avec la question précédente, la « valeur prédictive négative du test »  est la probabilité que le coyote ne soit effectivement pas malade sachant que son test est négatif, et vaut
      \[P_{\overline{T}}(\overline{M})=\dfrac{P(\overline{T}\cap\overline{M})}{P(\overline{T})} =\dfrac{30\%\tm95\%}{1-0,694}\simeq0,931=93,1\%\]

    2. La valeur prédictive positive est plus grande que celle négative: le test est donc plus fiable pour diagonostiquer un animal malade qu'un animal sain.




Partie B
    1. On répète $n=5$ fois l'expérience aléatoire "capturer un coyote", dont le succès est "le coyote a un test positif" de probabilité $p=0,694$. Ces répétitions sont identiques et indépendantes (car on l'assimile à un tirage avec remise).
      Enfin, la variable aléatoire $X$ est égale au nombre de succès sur ces 5 répétitions, c'est-à-dire au nombre de coyotes dont le test est positif.
      On en déduit que cette variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,694$.
    2. La probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif est, à l'aide de la calculatrice,
      \[P(X=1)\simeq 0,03\]

    3. La probabilité qu'au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif est
      \[P(X\geqslant4)\simeq0,52\]

      ce qui montre que l'affirmation du vétérinaire est vraie.
  2. On capture donc $n$ coyotes, et on note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de coyotes ayant un test positif dans cet échantillon. Comme précédemment, $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,694$.
    On cherche $n$ tel que $P(Y\geqslant1)\geqslant0,99$
    On a
    \[P(Y\geqslant1)=1-P(Y=0)=1-(1-0,694)^n=1-0,306^n\]

    et donc
    \[\begin{array}{ll}&P(Y\geqslant1)\geqslant0,99\\ \iff& 1-0,306^n\geqslant0,99\\ \iff& 0,306^n\leqslant0,01\enar\]

    soit, en prenant le logarithme qui est strictement croissant (donc l'ordre est conservé), puis en divisant par $\ln(0,306)<0$ (donc l'ordre est changé):
    \[\begin{array}{ll}&P(Y\geqslant1)\geqslant0,99\\ \iff&\ln\lp0,306^n\rp=n\ln(0,306)\leqslant\ln(0,01)\\ \iff&n\geqslant\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,306)}\simeq3,88\enar\]

    Il faut donc capturer au moins 4 coyote.



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Exercice 2: QCM: fonctions, convexité, suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.


Pour les questions 1 à 3 ci-dessous, on considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$. La courbe de sa fonction dérivée $f'$ est donnée ci-dessous.
On admet que $f'$ admet un maximum en $- \dfrac{3}{2}$ et que sa courbe coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(- \dfrac12~;~0\right)$.
Question 1 :

a. La fonction $f$ admet un maximum en $-\dfrac32$
b. La fonction $f$ admet un maximum en $-\dfrac12$
c. La fonction $f$ admet un minimum en $-\dfrac12$
d. Au point d'abscisse $-1$, la courbe de la fonction $f$ admet une tangente horizontale.

On rappelle que la courbe ci-dessous représente la fonction dérivée $f'$ de $f$.

\[\psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture*}(-5.2,-2.6)(1,1) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.15pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5.2,-2.6)(1,1) %\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-5.2,0.05)(-4,0.13)(-3,0.28)(-2,0.4)(-1,0.35)(0,-1)(0.38,-2.6) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{3}{2 x mul 1 add 2.71828 x exp mul neg} \end{pspicture*}\]




Question 2 :

a. La fonction $f$ est convexe sur $\left]- \infty~;~- \dfrac32\right[$
b. La fonction $f$ est convexe sur $\left]- \infty;~- \dfrac12\right[$
c. La courbe $\mathcal{C}_f$ représentant la fonction $f$ n'admet pas de point d'inflexion
d. la fonction $f$ est concave sur $\left] - \infty~;~- \dfrac12\right[$


Question 3:

La dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$ vérifie :
a. $f''(x) \geqslant 0$ pour $x \in \left]-\infty~;~- \dfrac12\right[$
b. $f''(x) \geqslant 0$ pour $x \in [- 2~;~- 1]$
c. $f''\left(- \dfrac32 \right) = 0$
d. $f''(- 3) = 0$


Question 4 :

On considère trois suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$. On sait que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leqslant v_n\leqslant w_n$ et de plus: $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n= 1$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_n= 3$.
On peut alors affirmer que :
a. la suite $\left(v_n\right)$ converge
b. Si la suite $\left(u_n\right)$ est croissante alors la suite $\left(v_n\right)$ est minorée par $u_0$
c. $1 \leqslant v_0 \leqslant 3$
d. la suite $\left(v_n\right)$ diverge.


Question 5:

On considère une suite $\left(u_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$ non nul: $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \dfrac1n$.
On peut alors affirmer que :
a. la suite $\left(u_n\right)$ diverge
b. la suite $\left(u_n\right)$ converge c.$\dsp\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$ d. $\dsp\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$.


Question 6:

On considère $\left(u_n\right)$ une suite réelle telle que pour tout entier naturel $n$, on a : $n < u_n < n + 1$.
On peut affirmer que:
a. Il existe un entier naturel $N$ tel que $u_N$ est un entier
b. la suite $\left(u_n\right)$ est croissante
c. la suite $\left(u_n\right)$ est convergente
d. La suite $\left(u_n\right)$ n'a pas de limite.

Correction exercice 2



Question 1 : b.
Pour $x\leqslant-1$, on a $f'(x)\geqslant0$ donc $f$ est croissante, et inversement ensuite pour $x\geqslant1$.
Ainsi, $f$ a un maximum local en $x=-\dfrac12$.


Question 2 : a.
La dérivée $f'$ est croissante sur $\left]- \infty~;~- \dfrac32\right[$, donc $f''$ est positive sur cet intervalle, et $f$ y est convexe.


Question 3: c.
$f'$ admet un maximum en $x=-\dfrac32$, donc sa dérivée $f''$ s'y annule.

Question 4 : b.
$(u_n)$ croissante signifie que
\[u_0\leqslant u_1\leqslant u_2\leqslant \dots\leqslant u_n\leqslant\dots\]

et on a donc, pour tout entier $n$,
\[u_0\leqslant u_n\leqslant v_n\]

ce qui montre que $(v_n)$ est minorée par $u_0$.


Question 5: b.
Les inégalités données montrent que $(u_n)$ est croissante et aussi aue $(u_n)$ est majorée, par 1 par exemple, car
\[u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\dfrac1n\leqslant1\]


Ainsi $(u_n)$ est convergente (théorème de convergence monotone)


Question 6: b.
On a
\[n < u_n < n + 1\]

donc, au rang suivant
\[n+1 < u_{n+1} < n + 2\]

et donc, en particulier
\[u_n<n+1<u_{n+1}\]

qui montre que la suite est croissante.


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Exercice 3: Un peu de tout dans l'espace

On considère un cube ABCDEFGH et on appelle K le milieu du segment [BC].
On se place dans le repère $\left( A~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AE}\rp$ et on considère le tétraèdre EFGK.
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par:
\[V=\dfrac13\tm\mathcal{B}\tm h\]

où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

$$(5.5,5.8) \psframe(0.2,0.2)(3.7,3.7)%ABFE \psline(3.7,0.2)(5,1.9)(5,5.4)(3.7,3.7)%BCGF \psline(5,5.4)(1.5,5.4)(0.2,3.7)%GHE \psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.5,1.9)(5,1.9)%ADC \psline[linestyle=dashed](1.5,1.9)(1.5,5.4)%DH \pspolygon[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](0.2,3.7)(5,5.4)(4.35,1.05)%EGK \uput[dl](0.2,0.2){\small A}\uput[dr](3.7,0.2){\small B}\uput[r](5,1.9){\small C} \uput[dr](1.5,1.9){\small D}\uput[l](0.2,3.7){\small E}\uput[r](3.7,3.7){\small F} \uput[ur](5,5.4){\small G}\uput[ul](1.5,5.4){\small H}\uput[dr](4.35,1.05){\small K} $$

  1. Préciser les coordonnées des points E, F, G et K.
  2. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}\phantom{-}2\\-2\\\phantom{-}1\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan (EGK).
  3. Démontrer que le plan (EGK) admet pour équation cartésienne : $2x - 2y + z - 1 = 0.$
  4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan (ECK) passant par F.
  5. Montrer que le projeté orthogonal L de F sur le plan (EGK) a pour coordonnées $\lp\dfrac59~;~\dfrac49~;~\dfrac79\rp$.
  6. Justifier que la longueur LF est égale à $\dfrac23$.
  7. Calculer l'aire du triangle EFG. En déduire que le volume du tétraèdre EFGK est égal à $\dfrac16$.
  8. Déduire des questions précédentes l'aire du triangle EGK.
  9. On considère les points P milieu du segment [EG], M milieu du segment [EK] et N milieu du segment[GK]. Déterminer le volume du tétraèdre FPMN.

Correction exercice 3

  1. E( 0 ; 0; 1)  ;    F( 1 ; 0; 1)  ;    G( 1 ; 1 ; 1)  ;    K( 1 ; 0,5 ; 0)
  2. On a $\overrightarrow{EG}( 1 ; 1 ; 0)$ et $\overrightarrow{EK}( 1 ; 0,5 ; -1)$ qui sont non colinéaires, et tels que
    \[\vec{n}\cdot\overrightarrow{EG}=2\tm1+(-2)\tm1+1\tm0=0\]

    et
    \[\vec{n}\cdot\overrightarrow{EK}=2\tm1+(-2)\tm0,5+1\tm(-1)=0\]

    et donc $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs colinéaires du plan (EGK) et donc $\vec{n}$ est orthogonal au plan (EGK).
  3. On déduit de la question précédente qu'une équation cartésienne du plan (EGK) s'écrit sous la forme
    \[2x-2y+z+d=0\]

    De plus, $E\in(EGK)$, d'où $2\tm0-2\tm0+1+d=0\iff d=-1$, et donc le plan (EGK) admet bien pour équation cartésienne : $2x - 2y + z - 1 = 0.$
  4. La droite $(d)$ orthogonale au plan (ECK) admet donc $\vec{n}$ pour vecteur directeur et comme elle passe de plus par F, on peut écrire la représentation paramétrique
    \[\la\begin{array}{lclcl}x&=&1&+&2t\\y&=&&-&2t\\z&=&1&+&t\enar\right. \ , \ t\in\R\]


  5. Comme $F\in(d)$ et $(d)\perp(EGK)$, le projeté orthogonal L de F sur le plan (EGK) est l'intersection de la droite et du plan.
    En particulier les coordonnées de L vérifient la représentation paramétrique précédente, pour un certain paramètre $t\in\R$, et aussi l'équation du plan (EGK), soit
    \[\begin{array}{ll}&2x-2y+z-1=0\\ \iff&2(1+2t)-2(-2t)+(1+t)-1=0\\ \iff&t=-\dfrac29 \enar\]

    d'où les coordonnées de L:
    \[\la\begin{array}{lclclcl}x&=&1&+&2\lp-\dfrac29\rp&=&\dfrac59\\ y&=&&-&2\lp-\dfrac29\rp&=&\dfrac49\\ z&=&1&+&\lp-\dfrac29\rp&=&\dfrac79\enar\right.\]

    qui sont bien les coordonnées recherchées.

  6. \[\begin{array}{ll}LF&=\sqrt{\lp\dfrac59-1\rp^2+\lp\dfrac49-0\rp^2+\lp\dfrac79-1\rp^2}\\[1.4em] &=\sqrt{\dfrac{4^2+4^2+2^2}{9^2}} =\sqrt{\dfrac{36}{9^2}}=\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac23 \enar\]


  7. Le triangle EFG est isocèle rectangle et a pour aire
    \[\mathcal{A}_{EFG}=\dfrac12EF\times EG=\dfrac12\]

    Dans le tétraèdre EFGK, la hauteur associée à la base EFG est KK',
    \[\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5.5,5.8) \psframe(0.2,0.2)(3.7,3.7)%ABFE \psline(3.7,0.2)(5,1.9)(5,5.4)(3.7,3.7)%BCGF \psline(5,5.4)(1.5,5.4)(0.2,3.7)%GHE \psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.5,1.9)(5,1.9)%ADC \psline[linestyle=dashed](1.5,1.9)(1.5,5.4)%DH \pspolygon[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](0.2,3.7)(5,5.4)(4.35,1.05)%EGK \uput[dl](0.2,0.2){\small A}\uput[dr](3.7,0.2){\small B}\uput[r](5,1.9){\small C} \uput[dr](1.5,1.9){\small D}\uput[l](0.2,3.7){\small E}\uput[r](3.7,3.7){\small F} \uput[ur](5,5.4){\small G}\uput[ul](1.5,5.4){\small H}\uput[dr](4.35,1.05){\small K} \psline[linecolor=red,linewidth=1.8pt](4.35,1.05)(4.35,4.55) \rput(4.2,4.7){K'} \end{pspicture}\]

    On a KK'=1 et donc le volume
    \[\begin{array}{ll}\mathcal{V}_{EFGK}&=\dfrac13\tm\mathcal{A}_{AEFG}\tm KK'\\[1em] &=\dfrac13\tm\dfrac12\tm1=\dfrac16\enar\]

  8. On eput aussi calculer ce volume en prenant la base EGK, la hauteur associée étant alors LF, et on a donc
    \[\begin{array}{ll}&\mathcal{V}_{EFGK}=\dfrac13\tm\mathcal{A}_{EGK}\tm LF\\ \iff& \dfrac16=\dfrac13\tm\mathcal{A}_{EGK}\tm\dfrac23\\ \iff&\mathcal{A}_{EGK}=\dfrac34 \enar\]



  9. \[\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5.5,5.8) \psframe(0.2,0.2)(3.7,3.7)%ABFE \psline(3.7,0.2)(5,1.9)(5,5.4)(3.7,3.7)%BCGF \psline(5,5.4)(1.5,5.4)(0.2,3.7)%GHE \psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.5,1.9)(5,1.9)%ADC \psline[linestyle=dashed](1.5,1.9)(1.5,5.4)%DH \pspolygon[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](0.2,3.7)(5,5.4)(4.35,1.05)%EGK \uput[dl](0.2,0.2){\small A}\uput[dr](3.7,0.2){\small B}\uput[r](5,1.9){\small C} \uput[dr](1.5,1.9){\small D}\uput[l](0.2,3.7){\small E}\uput[r](3.7,3.7){\small F} \uput[ur](5,5.4){\small G}\uput[ul](1.5,5.4){\small H}\uput[dr](4.35,1.05){\small K} % \pspolygon[linecolor=blue](2.6,4.55)(2.275,2.375)(4.675,3.225)%PMN \psline[linecolor=blue](2.6,4.55)(3.7,3.7) \psline[linecolor=blue](2.275,2.375)(3.7,3.7) \psline[linecolor=blue](4.675,3.225)(3.7,3.7) \rput(2.4,4.7){\blue P} \rput(2,2.2){\blue M} \rput(4.84,3.){\blue N} \end{pspicture}\]

    Comme les deux triangles EGK et PMN sont dans le même plan, les hauteurs qui leurs sont associées dans les deux trétraèdres sont les mêmes, soit LF.
    D'arpès le théorème de Thalès, on a $PM=\dfrac12GK$, $MN=\dfrac12EG$ et $PN=\dfrac12EK$: les longueurs de tous les côtés sont divisées par 2, et l'aire est donc divisée par 4.
    Finalement, on obtient l'aire du tétraèdre:
    \[\begin{array}{ll} \mathcal{V}_{FPMN}&=\dfrac13\tm\mathcal{A}_{PMN}\tm LF\\ &=\dfrac13\tm\lp\dfrac14\tm\dfrac34\rp\tm\dfrac23\\ &=\dfrac1{24} \enar\]





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Exercice 4: Trajectoire d'une balle de golf

Partie A : études de deux fonctions

On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par:

\[f(x) = 0,06\left(-x^2 +13,7x\right)\quad \text{et}\quad g(x) = (-0,15x + 2,2)e^{0,2x} - 2,2.\]


On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables et on note $f'$ et $g'$ leurs fonctions dérivées respectives.


  1. On donne le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

    \[\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(6.5,2) \psframe(6.5,2)\psline(0,1.5)(6.5,1.5)\psline(1.5,0)(1.5,2) \uput[u](0.75,1.4){$x$} \uput[u](1.6,1.4){$0$} \uput[u](4,1.4){$6,85$} \uput[u](6,1.4){$+ \infty$} \rput(0.75,0.75){$f(x)$}\uput[u](1.65,0){$0$}\uput[d](4,1.5){$f(6,85)$}\uput[u](6,0){$- \infty$} \psline{->}(1.9,0.4)(3.2,1.1)\psline{->}(4.8,1.1)(5.7,0.4) \end{pspicture}\]


    1. Justifier la limite de $f$ en $+\infty$.
    2. Justifier les variations de la fonction $f$.
    3. Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
    1. Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
    2. Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $[0~;~+\infty[$ on a : $g'(x) = (- 0,03x + 0,29)e^{0,2x}$.
    3. Étudier les variations de la fonction $g$ et dresser son tableau de variations sur $[0~;~+\infty[$.
      Préciser une valeur approchée à $10^{-2}$ près du maximum de $g$.
    4. Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution non nulle et déterminer, à $10^{-2}$ près, une valeur approchée de cette solution.




Partie B : trajectoires d'une balle de golf


Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club»  de golf.
On souhaite exploiter les fonctions $f$ et $g$ étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d'une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat.
On admettra ici que $13,7$ est la valeur qui annule la fonction $f$ et une approximation de la valeur qui annule la fonction $g$.
On donne ci-dessous les représentations graphiques de $f$ et $g$ sur l'intervalle [0 ; 13,7].

$$(-1,-1)(14,3.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-1)(14,3.5) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{13.7}{13.7 x mul x dup mul sub 0.06 mul}\uput[ul](3,2){\red $\mathcal{C}_f$} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13.7}{2.2 0.15 x mul sub 2.71828 0.2 x mul exp mul 2.2 sub}\uput[ur](12,2.2){\blue $\mathcal{C}_g$} \uput[dl](0,0){0}\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[d](13.7,0){13,7} $$


Pour $x$ représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe, (avec $0 < x < 13,7$), $f(x)$ (ou $g(x)$ selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards (1 yard correspond à environ $0,914$ mètre).
On appelle « angle de décollage »  de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe ($\mathcal{C}_f$ ou $\mathcal{C}_g$ selon le modèle) en son point d'abscisse $0$. Une mesure de l'angle de décollage de la balle est un nombre réel $d$ tel que $\tan (d)$ est égal au coefficient directeur de cette tangente.
De même, on appelle « angle d'atterrissage »  de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe ($\mathcal{C}_f$ ou $\mathcal{C}_g$ selon le modèle) en son point d'abscisse $13,7$. Une mesure de l'angle d'atterrissage de la balle est un nombre réel $a$ tel que $\tan (a)$ est égal à l'opposé du coefficient directeur de cette tangente.
Tous les angles sont mesurés en degré.

\[\begin{tabular}{|*2{p{8cm}|}}\hline Le sch\'ema illustre les angles de d\'ecollage et d'atterrissage associ\'es \`a la courbe $\mathcal{C}_f$&Le sch\'ema illustre les angles de d\'ecollage et d'atterrissage associ\'es \`a la courbe $\mathcal{C}_g$.\\ \hline \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-0.3,-0.75)(14,3.5) %\psgrid \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10](0,0)(-0.3,-0.3)(14,3) \psplot[plotpoints=1000]{0}{2}{0.822 x mul} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{13.7}{13.7 x mul x dup mul sub 0.06 mul}\uput[ul](3,2){\red $\mathcal{C}_f$} \psline(13.7,0)(11,2) \psarc(0,0){0.7}{0}{40}\rput(1.2,0.5){\footnotesize $d$} \psarc(13.7,0){0.7}{140}{180}\rput(12.4,0.5){\footnotesize $a$} \uput[d](13.7,0){\footnotesize 13,7} \end{pspicture}&\psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-0.3,-0.75)(14,3.5) %\psgrid \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10](0,0)(-0.3,-0.5)(14,3) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13.7}{2.2 0.15 x mul sub 2.71828 0.2 x mul exp mul 2.2 sub} \psline(0,0)(10.4,2.8) \psline(13.7,0)(12,2.9) \psarc(0,0){1}{0}{20}\rput(2,0.25){\footnotesize $d$} \psarc(13.7,0){1}{120}{180}\rput(12.4,0.5){\footnotesize $a$} \uput[d](13.7,0){\footnotesize 13,7} \end{pspicture}\\ \hline \end{tabular}\]




  1. Première modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $f(x)$ la hauteur correspondante de la balle.
    Selon ce modèle :
    1. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
    2. Vérifier que $f'(0) = 0,822$.
    3. Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
    4. Quelle propriété graphique de la courbe $\mathcal{C}_f$ permet de justifier que les angles de décollage et d'atterrissage de la balle sont égaux ?
  2. Seconde modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $g(x)$ la hauteur correspondante de la balle. Selon ce modèle :
    1. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ? On précise que $g'(0) = 0,29$ et $g'(13,7) \approx -1,87$.
    2. Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
    3. Justifier que $62$ est une valeur approchée, arrondie à l'unité près, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage de la balle.


    Tableau : extrait d'une feuille de calcul donnant une mesure en degré d'un angle quand on connait sa tangente :

    \[%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \begin{tabular}{|c|p{2em}|*{12}{c|}} \hline &A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline 1&$\!\!\tan(\theta)$&0,815&0,816&0,817&0,818&0,819&0,82&0,821&0,822&0,823&0,824&0,825&0,826\\ \hline 2&\scriptsize \mbox{$\theta$ en} degr\'es&39,18&39,21&39,25&39,28&39,32&39,35&39,39&39,42&39,45&39,49&39,52&39,56\\ \hline 3& &&&&&&&&&&&&\\ \hline 4&$\!\!\tan(\theta)$&0,285& 0,286& 0,287& 0,288& 0,289&0,29&0,291&0,292& 0,293&0,294&0,295 &0,296\\ \hline 5&\scriptsize \mbox{$\theta$ en} degr\'es&15,91 &15,96&16,01& 16,07& 16,12& 16,17& 16,23& 16,28& 16,33& 16,38& 16,44& 16,49\\ \hline \end{tabular}\]





Partie C : interrogation des modèles

À partir d'un grand nombre d'observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants:

\[\begin{tabular}{|*4{p{4.2cm}|}}\hline Angle de d\'ecollage en degr\'e &Hauteur maximale en yard &Angle d'atterrissage en degr\'e &Distance horizontale en yard au point de chute\\ \hline 24&32&52&137\\ \hline \end{tabular}\]


Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel ? La réponse sera justifiée. Partie A : études de deux fonctions

On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par:

\[f(x) = 0,06\left(-x^2 +13,7x\right)\quad \text{et}\quad g(x) = (-0,15x + 2,2)e^{0,2x} - 2,2.\]


On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables et on note $f'$ et $g'$ leurs fonctions dérivées respectives.


  1. On donne le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

    \[\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(6.5,2) \psframe(6.5,2)\psline(0,1.5)(6.5,1.5)\psline(1.5,0)(1.5,2) \uput[u](0.75,1.4){$x$} \uput[u](1.6,1.4){$0$} \uput[u](4,1.4){$6,85$} \uput[u](6,1.4){$+ \infty$} \rput(0.75,0.75){$f(x)$}\uput[u](1.65,0){$0$}\uput[d](4,1.5){$f(6,85)$}\uput[u](6,0){$- \infty$} \psline{->}(1.9,0.4)(3.2,1.1)\psline{->}(4.8,1.1)(5.7,0.4) \end{pspicture}\]


    1. Justifier la limite de $f$ en $+\infty$.
    2. Justifier les variations de la fonction $f$.
    3. Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
    1. Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
    2. Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $[0~;~+\infty[$ on a : $g'(x) = (- 0,03x + 0,29)e^{0,2x}$.
    3. Étudier les variations de la fonction $g$ et dresser son tableau de variations sur $[0~;~+\infty[$.
      Préciser une valeur approchée à $10^{-2}$ près du maximum de $g$.
    4. Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution non nulle et déterminer, à $10^{-2}$ près, une valeur approchée de cette solution.




Partie B : trajectoires d'une balle de golf


Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un instrument appelé « club»  de golf.
On souhaite exploiter les fonctions $f$ et $g$ étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d'une balle de golf. On suppose que le terrain est parfaitement plat.
On admettra ici que $13,7$ est la valeur qui annule la fonction $f$ et une approximation de la valeur qui annule la fonction $g$.
On donne ci-dessous les représentations graphiques de $f$ et $g$ sur l'intervalle [0 ; 13,7].

$$(-1,-1)(14,3.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-1)(14,3.5) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{13.7}{13.7 x mul x dup mul sub 0.06 mul}\uput[ul](3,2){\red $\mathcal{C}_f$} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13.7}{2.2 0.15 x mul sub 2.71828 0.2 x mul exp mul 2.2 sub}\uput[ur](12,2.2){\blue $\mathcal{C}_g$} \uput[dl](0,0){0}\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[d](13.7,0){13,7} $$


Pour $x$ représentant la distance horizontale parcourue par la balle en dizaine de yards après la frappe, (avec $0 < x < 13,7$), $f(x)$ (ou $g(x)$ selon le modèle) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards (1 yard correspond à environ $0,914$ mètre).
On appelle « angle de décollage »  de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe ($\mathcal{C}_f$ ou $\mathcal{C}_g$ selon le modèle) en son point d'abscisse $0$. Une mesure de l'angle de décollage de la balle est un nombre réel $d$ tel que $\tan (d)$ est égal au coefficient directeur de cette tangente.
De même, on appelle « angle d'atterrissage »  de la balle, l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe ($\mathcal{C}_f$ ou $\mathcal{C}_g$ selon le modèle) en son point d'abscisse $13,7$. Une mesure de l'angle d'atterrissage de la balle est un nombre réel $a$ tel que $\tan (a)$ est égal à l'opposé du coefficient directeur de cette tangente.
Tous les angles sont mesurés en degré.

\[\begin{tabular}{|*2{p{8cm}|}}\hline Le sch\'ema illustre les angles de d\'ecollage et d'atterrissage associ\'es \`a la courbe $\mathcal{C}_f$&Le sch\'ema illustre les angles de d\'ecollage et d'atterrissage associ\'es \`a la courbe $\mathcal{C}_g$.\\ \hline \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-0.3,-0.75)(14,3.5) %\psgrid \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10](0,0)(-0.3,-0.3)(14,3) \psplot[plotpoints=1000]{0}{2}{0.822 x mul} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{13.7}{13.7 x mul x dup mul sub 0.06 mul}\uput[ul](3,2){\red $\mathcal{C}_f$} \psline(13.7,0)(11,2) \psarc(0,0){0.7}{0}{40}\rput(1.2,0.5){\footnotesize $d$} \psarc(13.7,0){0.7}{140}{180}\rput(12.4,0.5){\footnotesize $a$} \uput[d](13.7,0){\footnotesize 13,7} \end{pspicture}&\psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-0.3,-0.75)(14,3.5) %\psgrid \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10](0,0)(-0.3,-0.5)(14,3) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13.7}{2.2 0.15 x mul sub 2.71828 0.2 x mul exp mul 2.2 sub} \psline(0,0)(10.4,2.8) \psline(13.7,0)(12,2.9) \psarc(0,0){1}{0}{20}\rput(2,0.25){\footnotesize $d$} \psarc(13.7,0){1}{120}{180}\rput(12.4,0.5){\footnotesize $a$} \uput[d](13.7,0){\footnotesize 13,7} \end{pspicture}\\ \hline \end{tabular}\]




  1. Première modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $f(x)$ la hauteur correspondante de la balle.
    Selon ce modèle :
    1. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?
    2. Vérifier que $f'(0) = 0,822$.
    3. Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
    4. Quelle propriété graphique de la courbe $\mathcal{C}_f$ permet de justifier que les angles de décollage et d'atterrissage de la balle sont égaux ?
  2. Seconde modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $g(x)$ la hauteur correspondante de la balle. Selon ce modèle :
    1. Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ? On précise que $g'(0) = 0,29$ et $g'(13,7) \approx -1,87$.
    2. Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième. (On pourra éventuellement utiliser le tableau ci-dessous).
    3. Justifier que $62$ est une valeur approchée, arrondie à l'unité près, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage de la balle.


    Tableau : extrait d'une feuille de calcul donnant une mesure en degré d'un angle quand on connait sa tangente :

    \[%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \begin{tabular}{|c|p{2em}|*{12}{c|}} \hline &A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline 1&$\!\!\tan(\theta)$&0,815&0,816&0,817&0,818&0,819&0,82&0,821&0,822&0,823&0,824&0,825&0,826\\ \hline 2&\scriptsize \mbox{$\theta$ en} degr\'es&39,18&39,21&39,25&39,28&39,32&39,35&39,39&39,42&39,45&39,49&39,52&39,56\\ \hline 3& &&&&&&&&&&&&\\ \hline 4&$\!\!\tan(\theta)$&0,285& 0,286& 0,287& 0,288& 0,289&0,29&0,291&0,292& 0,293&0,294&0,295 &0,296\\ \hline 5&\scriptsize \mbox{$\theta$ en} degr\'es&15,91 &15,96&16,01& 16,07& 16,12& 16,17& 16,23& 16,28& 16,33& 16,38& 16,44& 16,49\\ \hline \end{tabular}\]





Partie C : interrogation des modèles

À partir d'un grand nombre d'observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants:

\[\begin{tabular}{|*4{p{4.2cm}|}}\hline Angle de d\'ecollage en degr\'e &Hauteur maximale en yard &Angle d'atterrissage en degr\'e &Distance horizontale en yard au point de chute\\ \hline 24&32&52&137\\ \hline \end{tabular}\]


Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel ? La réponse sera justifiée.
Correction exercice 4

Partie A : études de deux fonctions

    1. On a, pour tout $x>0$,
      \[f(x)=-0,06x^2\lp1-\dfrac{13,7}x\rp\]

      avec
      \[\lim_{x\to+\infty}-0,06x^2=-\infty\]

      et
      \[\lim_{x\to+\infty}\lp1-\dfrac{13,7}x\rp=1\]

      d'où, par produit, la limite
      \[\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\]

    2. On a $f'(x)=0,06(-2x+13,7)$ d'où le tableau de signes et de variations
      \[\begin{tabular}{|c|*5c|}\hline $x$ & 0 && 6,85 && $+\infty$ \\\hline $-2x+13,7$&& $+$ &\zb&$-$&\\\hline $f'(x)$&& $+$ &\zb&$-$&\\\hline &&&$f(6,85)$&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &&&&&\\\hline \end{tabular}\]


    3. On a
      \[\begin{array}{ll}f(x) = 0&\iff -x^2+13,7x=0\\ &\iff x(-x+13,7)=0\\ &\iff x=0 \text{ ou } x=13,7\enar\]

    1. On a
      \[\lim_{x\to+\infty}(-0,15x+2,2)=-\infty\]

      et
      \[\lim_{x\to+\infty}e^{0,2x}=+\infty\]

      et donc, par produit,
      \[\lim_{x\to+\infty}(-0,15x+2,2)e^{0,2x}=-\infty\]

      et donc aussi,
      \[\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty\]


    2. On a $g=u\,v$ avec $u(x)=-0,15x+2,2$ et $u'(x)=-0,15$ et $v(x)=e^{0,2x}=e^{w(x)}$ donc $v'(x)=w'(x)e^{w(x)}=0,2e^{0,2x}$.
      On obtient donc $g'=u'v+uv'$, soit pour tout $x>0$,
      \[\begin{array}{ll}g'(x)&=-0,15e^{0,2x}+(-0,15x+2,2)\tm0,2e^{0,2x}\\ &=\Bigl(-0,15+0,2(-0,15x+2,2)\Bigr)e^{0,2x}\\ &=\lp-0,03x+0,29\right) e^{0,2x} \enar\]


    3. On obtient alors le tableau de signes et de variations:
      \[\begin{tabular}{|c|*5c|}\hline $x$ & 0 && $29/3$ && $+\infty$ \\\hline $-0,03x+0,29$&& $+$ &\zb&$-$&\\\hline $e^{0,2x}$&& $+$ &\vline&$+$&\\\hline $g'(x)$&& $+$ &\zb&$-$&\\\hline &&&$g\lp29/3\rp$&&\\ $g$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &0&&&&$-\infty$\\\hline \end{tabular}\]


      On trouve comme valeur maximale
      \[g\lp\dfrac{29}3\rp\simeq2,98\]

    4. on a pour tout $x\in]0;29/3]$, $g(x)>0$ et donc l'équation $g(x)=0$ n'admet aucune soltuion.
      Sur $[29/3;+\infty[$, la fonction $g$ est continue (car même dérivable), strictement décroissante avec $g\lp29/3\rp>0$ et $\dsp\lim_{x\to+\infty}g(x)<0$.
      Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, ou théorème de la bijection, l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur $[29/3;+\infty[$.
      Finalement, l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$, c'est-à-dire une unique solution non nulle.
      Avec la calculatrice, par balayage ou dichotomie par exemple, on trouve comme valeur approchée de cette solution $13,72$.


Partie B : trajectoires d'une balle de golf
  1. Première modélisation : on rappelle qu'ici, l'unité étant la dizaine de yards, $x$ représente la distance horizontale parcourue par la balle après la frappe et $f(x)$ la hauteur correspondante de la balle.
    Selon ce modèle :
    1. On a vu que le maximum de $f$ est $f(6,85)\simeq2,815$ soit une hauteur maximale de 28,15 yards.
    2. On a $f'(x)=0,06(-2x+13,7)$, d'où $f'(0)=0,06\tm13,7=0,822$.
    3. $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ en 0, c'est-à-dire justement au décollage.
      On a donc $f'(0)=\tan(\theta)$ et donc, d'après le tableau donné dans l'énoncé, $\theta\simeq39,42\,\text{degr\'e}$.
    4. La courbe est une parabole. En particulier, elle est symétrique par rapport à la droite $x=6,85$, abscisse de son sommet. Les points de décollage $x=0$ et d'atterissage $x=13,7$ sont symétriques eux aussi par rapport à cette droite, et il en est donc de même des angles que forment les tangentes à la courbes en ces deux points, c'est-à-dire que les angles de décollage et d'atterrissage de la balle sont égaux.
  2. Seconde modélisation
    1. D'après ce modèle, la hauteur maximale est
      \[g\lp\dfrac{29}3\rp\simeq2,98\]

      soit 29,8 yard. On précise que et $g'(13,7) \approx -1,87$.
    2. $g'(0) = 0,29=\tan(d)$ soit, d'après le tableau foruni, $d\simeq16,17\,\text{degr\'e}$.
    3. De même pour l'angle d'atterissage, $g'(13,17)\simeq-1,87=\tan(\alpha)$ soit $\alpha\simeq\arctan(-1,87)\simeq-61,8$ soit, arrondie à l'unité près, environ 62 degrés.

Partie C : interrogation des modèles

Les angles de décollage et d'atterissage sont très clairement différents, et le modèle parabolique de la fonction $f$ n'est donc clairement pas adapté.
La hauteur maximale est aussi mieux approchée par le second modèle.

Parmi les deux modèles étudiés, le modèle fourni par la fonction $g$ semble donc le plus adapté.




Cacher la correction


Voir aussi:
ccc