Devoir corrigé de maths en Terminale générale, spécialité mathématiques

Annale Bac, spé maths - 11 mai 2022

Baccalauréat 11 mai 2022. Sujet posé en spécialité mathématiques, filière générale. Correction détaillée du sujet.

Exercice 1: Exponentielle et suite récurrente

Dans le cadre d'un essai clinique on envisage deux protocoles de traiterment de d'une maladie.
L'objectif de cet exercice est d'étudier, pour ces deux protocoles, l'évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d'un patient en fonction du temps.


Les parties A et B sont indépendantes


Partie A : Étude du premier protocole


Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient.
On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 10] par
\[f(t) = 3t e^{-0,5t+1},\]

où $t$ désigne le temps, exprimé en heure, écoulé depuis la prise du comprimé.


    1. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0 ; 10] et on note $f'$ sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout nombre réel $t$ de [0 ; 10], on a: $f'(t) = 3(-0,5t + 1)e^{-0,5t+1}$.
    2. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 10].
    3. Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité maximale?
    1. Montrer que l'équation $f(t) = 5$ admet une unique solution sur l'intervalle [0 ; 2] notée $\alpha$, dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près. On admet que l'équation $f(t) = 5$ admet une unique solution sur l'intervalle [2 ; 10], notée $\beta$, et qu'une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près est 3,46.
    2. On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5 mg. Déterminer, à la minute près, la durée d'efficacité du médicament dans le cas de ce protocole.




Partie B : Étude du deuxième protocole


Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqüre intraveineuse, une dose de $2$ mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de $1,8$ mg.
On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu'il est ensuite progressivement éliminé.
On estime que lorsqu'une heure s'est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de 30 % par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.
On modélise cette situation à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne la quantité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la $n$-ième heure. On a donc $u_0 = 2$.


  1. Calculer, selon cette modélisation, la quantité $u_1$, de médicament (en mg) présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la première heure.
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,7u_n + 1,8$.
    1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n<u_{n+1} < 6$.
    2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
    3. Déterminer la valeur de $\ell$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
  4. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 6 - u_n$.
    1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,7$ dont on précisera le premier terme.
    2. Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis de $u_n$n en fonction de $n$.
    3. Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5,5 mg. Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d'injections réalisées en appliquant ce protocole.

Correction exercice 1
Partie A : Étude du premier protocole
    1. On a $f=uv$ avec $u(t)=3t$ donc $u'(t)=3$ et $v(t)=e^{-0,5t+1}=e^{w(t)}$ avec $w(t)=-0,5t+1$ donc $w'(t)=-0,5$ et alors $v'(t)=w'(t)e^{w'(t)}=-0,5e^{-0,5t+1}$.
      On obtient alors $f'=u'v+uv'$, soit
      \[\begin{array}{ll}f'(t)&=3e^{-0,5t+1}+3t\tm\lp-0,5e^{-0,5t+1}\rp\\[.4em] &=3e^{-0,5t+1}\lp1-0,5t\rp\\[.4em] &=3(-0,5t + 1)e^{-0,5t+1}\enar\]


    2. On a alors le signe de lé dérivée et le sens de variation:
      \[\begin{tabular}{|c|*5c|}\hline $t$ & 0 && 2 && 10 \\\hline $-0,5t+1$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline $e^{-0,5t+1}$ && $+$ &\vline & $+$ & \\\hline $f'(t)$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline &&&&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &&&&&\\\hline \end{tabular}\]


    3. Selon cette modélisation, la quantité maximale de médicament présente dans le sang du patient sera de $f(2)=3\tm2e^0=6$ mg, au bout de 2 heures.
    1. Sur [0;2], la fonction $f$ est continue (car même dérivable), strictement croissante, avec $f(0)=0<5$ et $f(2)=6>5$, et ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), on sait donc qu'il existe une unique solution $\alpha$ à l'équation $f(t) = 5$.
      Avec la calculatrice, par balayage par exemple, on touve $1,02<\alpha<1,03$ soit, $\alpha\simeq1,02$.
    2. On peut compléter le tableau de variation:
      \[\begin{tabular}{|c|*9c|}\hline $t$ & 0 &&$\alpha$ && 2 &&$\beta$&& 10 \\\hline &&&&&&&&&\\ $f$&&\psline[arrowsize=8pt]{->}(-.5,-.5)(1.3,.5)&5&&& \psline[arrowsize=8pt]{->}(-.2,.5)(1.4,-.5)&5&&\\ &&&&&&&&&\\\hline \end{tabular}\]

      grâce auquel on trouve que la durée d'efficacité du médicament est donc de $\beta-\alpha\simeq3,46-1,02=2,44$ soit 2,44 heures, ou encore 2 heures et 26 minutes.




Partie B : Étude du deuxième protocole
  1. Selon cette modélisation, à la première heure la quantité dans le sang a diminué de 30%, il en reste donc $0,7\tm2=1,4\,\text{mg}$. On réinjecte de plus une nouvelle dose de 1,8 mg, et on trouve donc que
    \[u_1=0,7\tm2+1,8=3,2\]


  2. De même que précédemment, à la (n+1)-ème heure, la quantité dans le sang présente l'heure précédente, soit $u_n$ a diminué de 30%, soit $0,7u_n$, et on réinjecte, donc ajoute, 1,8 mg.
    On obtient donc bien la relation $u_{n+1} = 0,7u_n + 1,8$.
    1. Soit la proposition $\mathcal{P}_n: u_n <u_{n+1} < 6$.

      Initialisation: on a $u_0=2$ et $u_1=3,2$ d'où $\mathcal{P}_1$ est vraie: $u_0<u_1<6$.

      Hérédité: Supposons que pour un certain entier $n$, $\mathcal{P}_n$ soit vraie, c'est-à-dire $u_n <u_{n+1} < 6$.
      Alors, en multipliant par $0,7>0$, on obtient $0,7u_n<0,7u_{n+1}<0,7\tm6=4,2$,
      puis en ajoutant 1,8 on aboutit à $0,7u_n+1,8<0,7u_{n+1}+1,8<4,2+1,8$,
      c'est-à-dire exactement $u_{n+1}<u_{n+1}<6$ et qui montre donc $\mathcal{P}_{n+1}$ est alors vraie.

      Conclusion: on vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier $n$, $\mathcal{P}_n$ est vraie, c'est-à-dire $u_n <u_{n+1} < 6$.
    2. On déduit du résultat précédent que la suite $\left( u_n\rp$ est croissante et aussi qu'elle est majorée par 6.
      On en déduit donc (théorème de convergence monotone) qu'elle converge vers une limite $l$.
    3. On a $u_{n+1}=0,7u_n+1,8$ et on sait que $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=l$.
      Ainsi, on doit nécessairement avoir (théorème du point fixe), que
      \[l=0,7l+1,8\iff l=\dfrac{1,8}{0,3}=6\]

    1. Pour tout entier $n$, on a
      \[\begin{array}{ll}v_{n+1}&=6-u_{n+1}\\ &=6-\lp0,7u_n+1,8\rp\\ &=4,2-0,7u_n\\ &=0,7\lp6-u_n\right) =0,7v_n\enar\]

      ce qui montre que la suite $\left( v_n\rp$ est bien géométrique de raison $0,7$ et de premier terme $v_0=6-u_0=4$.
    2. On en déduit alors que, pour tout entier $n$,
      \[v_n=v_0\times q^n=4\times0,7^n\]

      puis, comme $v_n=6-u_n\iff u_n=6-v_n$, que
      \[u_n=6-4\tm0,7^n\]


    3. On arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5,5 mg, soit lorsque
      \[\begin{array}{ll}&u_n\geqslant5,5\\ \iff&6-4\tm0,7^n\geqslant5,5\\ \iff&-4\tm0,7^n\geqslant-0,5\enar\]

      soit, en divisant par $-4<0$, puis en prenant le logarithme népérien qui est strictement croissant,
      \[\begin{array}{ll}&u_n\geqslant5,5\\ \iff&0,7^n\leqslant\dfrac{-0,5}{-4}=0,125\\ \iff&\ln\lp0,7^n\rp=n\ln(0,7)\leqslant\ln(0,125)\enar\]

      Enfin, en divisant par $\ln(0,7)<0$, on obtient finalement
      \[\begin{array}{ll}&u_n\geqslant5,5\\ \iff n\geqslant\dfrac{\ln(0,125)}{\ln(0,7)}\simeq5,8\enar\]

      Comme on réalise une injection par heure, il faut donc en réaliser 6.



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Exercice 2: Un peu de tout dans l'espace

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left( O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp$, on considère:
  • le point A de coordonnées $(-1~;~1~;~3)$,
  • la droite $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est: $\la\begin{array}{lcl} x&=&1+2t\\y &=& 2 - t,\\z&=& 2+2t \enar\right. t \in \R$.
    1. Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $\mathcal{D}$. On admet que le point A n'appartient pas à la droite $\mathcal{D}$.
    2. Montrer que le point $B( -1~;~3~;~0)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.
    3. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \vec{u}$.
  2. On note $\mathcal{P}$ le plan passant par le point A et orthogonal à la droite $\mathcal{D}$, et on appelle H le point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $\mathcal{D}$. Ainsi, H est le projeté orthogonal de A sur la droite $\mathcal{D}$.
    1. Montrer que le plan $\mathcal{P}$ admet pour équation cartésienne: $2x - y + 2z - 3 = 0$.
    2. En déduire que le point H a pour coordonnées $\left(\dfrac79~;~\dfrac{19}{9}~;~\dfrac{16}{9}\right)$.
    3. Calculer la longueur AH. On donnera une valeur exacte.
  3. Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur la droite $\mathcal{D}$, par une autre méthode. On rappelle que le point B$( -1~;~3~;~0)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ et que le vecteur $\vec{u}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.
    1. Justifier qu'il existe un nombre réel $k$ tel que $\overrightarrow{HB} = k\vec{u}$.
    2. Montrer que $k = \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|^2}$.
    3. Calculer la valeur du nombre réel $k$ et retrouver les coordonnées du point H.
  4. On considère un point C appartenant au plan $\mathcal{P}$ tel que le volume du tétraèdre ABCH soit égal à $\dfrac89$. Calculer l'aire du triangle ACH.
    On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par: $V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

Correction exercice 2

    1. Un vecteur directeur est donné par $\vec{u}(2;-1;2)$
    2. Avec les coordonnées de B, on a
      \[\la\begin{array}{lcl} -1&=&1+2t\\3 &=& 2 - t,\\0&=& 2+2t \enar\right. \iff \la\begin{array}{lcl} t&=&-1\\t&=&-1,\\t&=&-1 \enar\right.\]

      ce qui montre que B appartient bien à la droite $\mathcal{D}$.
    3. On a $\overrightarrow{AB}(0;2;-3)$ donc
      \[\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}=0\tm2+2\tm(-1)+(-3)\tm2=-8\]


  2. \[\begin{pspicture}(0,-2)(7,3.5) \pspolygon(0,0)(5,0)(7,2)(2,2) \rput(.6,.3){$\mathcal{P}$} \rput(2.3,1.3){$\tm$}\rput(2,1.1){$A$} \psline(4,4)(4,1) \psline[linestyle=dashed](4,1)(4,0) \psline(4,0)(4,-2) \rput(4,1){$\tm$}\rput(4.3,1.2){$H$} \rput(3.7,3.5){$\mathcal{D}$} \psline[linecolor=blue,linewidth=2pt]{->}(4,-1.5)(4,-.5) \psline[linecolor=blue](3.92,-1.5)(4.08,-1.5) \rput(4.25,-1.1){\blue$\vec{u}$} \rput(4,2.6){$\tm$}\rput(4.3,2.7){$B$} \end{pspicture}\]


    1. Le plan $\mathcal{P}$ est orthogonale à la droite $\mathcal{D}$ dirigée par $\vec{u}$ qui est donc un vecteur normal à ce plan qui admet donc une équation cartésienne de la forme
      \[2x-y+2z+d=0\]

      On sait de plus que $A(-1;1;3)\in\mathcal{P}$, et donc que
      \[2(-1)-(1)+2(3)+d=0\iff d=-3\]

      Finalement, on a trouvé une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$:
      \[\mathcal{P}: 2x - y + 2z - 3 = 0\]

    2. Le plan $\mathcal{P}$ et la droite $\mathcal{D}$ sont orthogonaux; en particulier ils se coupent en un unique point $H$.
      Soit $H(x;y;z)$, alors
      \[H\in\mathcal{D}\iff \la\begin{array}{lcl} x&=&1+2t\\y &=& 2 - t,\\z&=& 2+2t \enar\right. t \in \R\]

      et de plus,
      \[\begin{array}{ll}H\in\mathcal{P}&\iff 2x - y + 2z - 3 = 0\\ &\iff2(1+2t)-(2-t)+2(2+2t)-3=0\\ &\iff t=-\dfrac19 \enar\]

      et on obtient alors les coordonnées
      \[\la\begin{array}{lcl} x&=&1+2\tm\lp-1\frac19\rp=\frac79\\[.4em] y &=& 2 - \lp-\frac19\rp=\frac{19}9\\[.4em] z&=& 2+2\lp-\frac19\rp=\frac{16}9 \enar\right. t \in \R\]

      qui sont bien les coordonnées recherchées du point H.

    3. \[\begin{array}{ll} AH&=\sqrt{\lp\dfrac79-(-1)\rp^2+\lp\dfrac{19}9-1\rp^2+\lp\dfrac{16}9-3\rp^2}\\ &=\sqrt{\dfrac{16^2+10^2+11^2}{9^2}} =\dfrac{\sqrt{253}}9 \enar\]

    1. Les points H et B appartiennent tous les deux à la droite $\mathcal{D}$, et $\vec{u}$ est un vecteur directeur de cette droite.
      On en déduit que les vecteurs $\overrightarrow{HB}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, c'est-à-dire qu'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{HB}=k\vec{u}$.
    2. D'après le résultat précédent, en prenant le produit scalaire avec $\vec{u}$ on obtient
      \[\overrightarrow{HB}=k\vec{u}\implies \overrightarrow{HB}\cdot\vec{u}=k\vec{u}\cdot\vec{u}=\left\|\vec{u}\right\|^2\]

      d'où
      \[k=\dfrac{\overrightarrow{HB}\cdot\vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|^2}\]

      Maintenant pour faire intervenir le vecteur $\overrightarrow{AB}$ on peut utiliser la relation de Chasles:
      \[\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AB} \implies \overrightarrow{HB}\cdot\vec{n}=\overrightarrow{HA}\cdot\vec{n}+\overrightarrow{AB}\cdot\vec{n}\]

      or $\overrightarrow{HA}\cdot\vec{n}=0$ car $A\in\mathcal{P}$ et $H\in\mathcal{P}$ et $\vec{u}$ normal à $\mathcal{P}$.
      On vient donc de trouver que
      \[\overrightarrow{HB}\cdot\vec{n}=\overrightarrow{AB}\cdot\vec{n}\]

      et donc la relation souhaitée:
      \[k=\dfrac{\overrightarrow{HB}\cdot\vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|^2} =\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|^2}\]

    3. D'après la question 1.c. on a $\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}=-8$, et comme $\left\|\vec{u}\right\|^2=2^2+(-1)^2+2^2=9$, on obtient que
      \[k=\dfrac{-8}9\]

      et on retrouve les coordonnées du point H(x;y;z):
      \[\overrightarrow{HB}=k\vec{u} \iff \la\begin{array}{lcl} -1-x&=&-\dfrac89\tm2\\ 3-y&=&-\dfrac89\tm(-1)\\ 0-z&=&-\dfrac89\tm2 \enar\right. \iff \la\begin{array}{lcl} x&=&-1+\dfrac{16}9=\dfrac79\\ y&=&3-\dfrac89=\dfrac{19}9\\ z&=&\dfrac{16}9 \enar\right. \]

  4. BH est une hauteur relative à la base ACH, et donc, avec
    \[V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h\]

    avec
    \[\begin{array}{ll} h&=BH=\sqrt{\lp\dfrac79-(-1)\rp^2+\lp\dfrac{19}9-3\rp^2+\lp\dfrac{16}9-0\rp^2}\\ &=\sqrt{\dfrac{16^2+8^2+16^2}{9^2}} =\dfrac{8}{9}\sqrt{9}=\dfrac{24}9 \enar\]

    et $V=\dfrac89$, d'où l'aire de la base ACH:
    \[\dfrac89=\dfrac13\tm\mathcal{B}\tm\dfrac{24}{9} \iff \mathcal{B}=1\]




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Exercice 3: Arbre, loi binomiale et python

Le directeur d'une grande entreprise a proposé à l'ensemble de ses salariés un stage de formation à l'utilisation d'un nouveau logiciel.
Ce stage a été suivi par 25 % des salariés.


  1. Dans cette entreprise, 52 % des salariés sont des femmes, parmi lesquelles 40 % ont suivi le stage.
    On interroge au hasard un salarié de l'entreprise et on considère les évènements:
    • $F$ : « le salarié interrogé est une femme »,
    • $S$: « le salarié interrogé a suivi le stage ».


    $\overline{F}$ et $\overline{S}$ désignent respectivement les évènements contraires des évènements $F$ et $S$.
    1. Donner la probabilité de l'évènement $S.$
    2. Recopier et compléter les pointillés de l'arbre pondéré ci-contre sur les quatre branches indiquées.
    3. Démontrer que la probabilité que la personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage est égale à $0,208$.
    4. On sait que la personne interrogée a suivi le stage. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
    5. Le directeur affirme que, parmi les hommes salariés de l'entreprise, moins de 10 % ont suivi le stage. Justifier l'affirmation du directeur.



    \[\psset{xunit=1.3cm,yunit=1.4cm} \begin{pspicture}(-.4,-2)(4.2,2) \psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.75,1){$F$} \rput(.8,.9){\dots} \rput(.8,-1){\dots} \psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.75,-1){$\overline{F}$} \psline(2.1,1.2)(3.5,1.6)\rput(3.8,1.6){$S$} \rput(2.8,1.7){\dots} \psline(2.1,.8)(3.5,.4)\rput(3.8,.4){$\overline{S}$} \rput(2.8,.2){\dots} %\rput(2.8,-.4){} \psline(2.1,-1.2)(3.5,-1.6)\rput(3.8,-1.6){$\overline{S}$} \psline(2.1,-.8)(3.5,-.4)\rput(3.8,-.4){$S$} %\rput(2.8,-1.8){} \end{pspicture}\]


  2. On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $20$ salariés de cette entreprise choisis au hasard associe le nombre de salariés de cet échantillon ayant suivi le stage. On suppose que l'effectif des salariés de l'entreprise est suffisamment important pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.
    1. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X,
    2. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que 5 salariés dans un échantillon de 20 aient suivi le stage.
    3. Le programme ci-dessous, écrit en langage Python, utilise la fonction binomiale$(i, n, p)$ créée pour l'occasion qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X = i)$ dans le cas où la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

      \[\fbox{\begin{minipage}{7cm} def proba(k):\\ \hspace*{2em} P=0\\ \hspace*{2em} for i in range(0,k+1) :\\ \hspace*{4em} P=P+binomiale(i,20,0.25)\\ \hspace*{2em} return P \end{minipage}}\]


      Déterminer, à $10^{-3}$ près, la valeur renvoyée par ce programme lorsque l'on saisit proba(5) dans la console Python. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
    4. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu'au moins 6 salariés dans un échantillon de 0 aient suivi le stage.
  3. Cette question est indépendante des questions 1 et 2.
    Pour inciter les salariés à suivre le stage, l'entreprise avait décidé d'augmenter les salaires des salariés ayant suivi le stage de 5 %, contre 2 % d'augmentation pour les salariés n'ayant pas suivi le stage. Quel est le pourcentage moyen d'augmentation des salaires de cette entreprise dans ces conditions ?

Correction exercice 3
    1. D'après l'énoncé, on a $P(S)=25\%=0,25$.

    2. \[\psset{xunit=1.3cm,yunit=1.4cm} \begin{pspicture}(-.4,-2)(4.2,2) \psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.75,1){$F$} \rput(.8,.9){52\%} \rput(.8,-1){48\%} \psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.75,-1){$\overline{F}$} \psline(2.1,1.2)(3.5,1.6)\rput(3.8,1.6){$S$} \rput(2.8,1.7){40\%} \psline(2.1,.8)(3.5,.4)\rput(3.8,.4){$\overline{S}$} \rput(2.8,.2){60\%} %\rput(2.8,-.4){} \psline(2.1,-1.2)(3.5,-1.6)\rput(3.8,-1.6){$\overline{S}$} \psline(2.1,-.8)(3.5,-.4)\rput(3.8,-.4){$S$} %\rput(2.8,-1.8){} \end{pspicture}\]


    3. On cherche la probablité $P(F\cap S)=40\tm52\%=0,208$.
    4. La probabilité que ce soit une femme, sachant qu'elle a suivi le stage, est la probabilité conditionnelle
      \[P_S(F)=\dfrac{P(S\cap F)}{P(S)}=\dfrac{0,208}{0,25} =0,832\]


    5. D'après l'arbre, ou la formule des probabilités totales, on a
      \[P(S)=25\%=52\%\tm40\%+48\%\tm P_{\overline{F}}(S)\]

      et donc
      \[P_{\overline{F}}(S)=\dfrac{0,25-0.208}{0,48}=\]



      \[=\dfrac{P(\overline{F}\cap S)}{P(\overline{F})} =\dfrac{P(\overline{F}\cap S)}{48\%}=0,0875=8,75\%\]

      ce qui est en effet moins de 10% comme l'affirme le directeur.

  2. On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $20$ salariés de cette entreprise choisis au hasard associe le nombre de salariés de cet échantillon ayant suivi le stage. On suppose que l'effectif des salariés de l'entreprise est suffisamment important pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.
    1. Pour former un échantillon de 20 salariés, on répète $n=20$ fois l'expérience aléatoire "désigner au hasard un salarié" dont le succès est "le salarié a suivi le stage" de probabilité $p=P(S)=25\%=0,25$. Cs répétitions sont supposées identiques et indépendantes car le tirage est assimilé à un tirage avec remise.
      La variable aléatoire $X$ égale au nombre de scuccès, c'est-à-dire au nombre de salarié ayant suivi le stage dans l'échantillon suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,25$.
    2. À l'aide de la calculatrice, on trouve la probabilité
      \[P(X=5)\simeq 0,202\]

    3. Ce programme calcule les probabilités cumulées, c'est-à-dire
      \[P(X\leqslant k)=P(X=0)+P(X=1)+\dots+P(X=k)\]


      Lorsque l'on saisit proba(5) dans la console Python, le porgramme retourne donc la valeur
      \[P(X\leqslant5)\simeq0,617\]

      Il s'agit de la probabilité que moins de 5 personnes aient suivi le stage dans l'échantillon de 20 personnes.
    4. La probabilité qu'au moins 6 salariés dans un échantillon de 20 aient suivi le stage est
      \[P(X\geqslant6)=1-P(X\leqslant5)\simeq 0,383\]

  3. 25% des salariés ont suivi le stage et ont donc été augmentés de 5%, les autres 75% ont été augmentés de 2%.
    En moyenne, le pourventage d'augmentation est donc de
    \[25\%\tm5\%+75\%\tm2\%=2,75\%\]




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Exercice 4: QCM, limite, convexité, primitive

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Les six questions sont indépendantes


  1. La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{-2x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1}$ admet pour asymptote la droite d'équation:
    a.  $x = -2$
    b.   $y = -1$
    c.   $y = - 2$
    d.   $y = 0$

  2. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x e^{x^2}$.
    La primitive $F$ de $f$ sur $\R$ qui vérifie $F(0) = 1$ est définie par :

    a.   $F(x) = \dfrac{x^2}{2} e^{x^2}$
    b.   $F(x) = \dfrac12 e^{x^2}$
    c.   $F(x) = \lp1 + 2x^2\right) e^{x^2}$ ;
    d.   $F(x) = \dfrac12e^{x^2} + \dfrac12$

  3. On donne ci-contre la représentation graphique $\mathcal{C}_{f'}$ de la fonction dérivée $f'$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

    \[\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-5)(10,1) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](-0.5,-5)(10,1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=11,Dy=11](0,0)(-0.5,-5)(10,1) \psecurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-0.3,-6)(-0.2,-5)(0,-4)(1,-1.2)(2,0)(3,0.45)(4,0.5)(5,0.45)(6,0.4)(10,0.1)(11,0.08) \uput[d](1,0){\footnotesize 1}\uput[d](2,0){\footnotesize 2}\uput[dl](0,0){\footnotesize 0}\uput[d](0,1){\footnotesize 1} \uput[r](0.4,3.5){$\mathcal{C}_{f'}$} \end{pspicture*}\]


    On peut affirmer que la fonction $f$ est :
    a.   concave sur $]0~;~+\infty[$
    b.   convexe sur $]0~;~+\infty[$
    c.   convexe sur [0 ; 2]
    d.   convexe sur $[2~;~+\infty[$
  4. Parmi les primitives de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3e^{-x^2} + 2$ :

    a. toutes sont croissantes sur $\R$
    b. toutes sont décroissantes sur $\R$
    c. certaines sont croissantes sur $\R$ et d'autres décroissantes sur $\R$
    d. toutes sont croissantes sur $]-\infty~;~0]$ et décroissantes sur $[0~;~+\infty[$

  5. La limite en $+\infty$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2\ln x}{3x^2 + 1}$ est égale à :

    a.   $\dfrac23$ ;
    b.   $+ \infty$ ;
    c.   $- \infty$
    d.   $0$

  6. L'équation $e^{2x} + e^x - 12 = 0$ admet dans $\R$ :

    a.   trois solutions;
    b.   deux solutions;
    c.   une seule solution;
    d.   aucune solution.

Correction exercice 4

  1. c.
    On a
    \[\begin{array}{ll}f(x) &= \dfrac{-2x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1}\\[1em] &=\dfrac{-2x^2\lp1-\frac3{2x}+\frac1{2x^2}\right)}{x^2\lp1+\frac1{x^2}\right)}\\[1em] &=-2\dfrac{1-\frac3{2x}+\frac1{2x^2}}{1+\frac1{x^2}} \enar\]

    d'où
    \[\lim_{x\to+\infty}f(x)=-2\]

    et donc la droite d'équation $y=-2$ est asymptote.
  2. d.
    On peut par exemple dériver chacune des propositions, seule la b. et la d. convienne.
    Comme on veut de plus que $F(0)=1$, seule la réponse d. convient finalement.
  3. c.
    Une fonction est convexe lorsque sa dérivée est croissante (et donc dérivée seconde positive).
    Ici on peut conjecturer que la fonction est convexe sur $]-\infty;3]$ environ, et donc en particulier sur $[0;2]$.
  4. a. Les primitives $F$ de $f$ vérifient $F'(x)=f(x)=3e^{-x^2} + 2$. En particulier, comme $e^{-x^2}>0$ sur $\R$, on a $F'(x)>0$ et donc $F$ est nécessairement strictement croissante sur $\R$.
  5. d. On a
    \[f(x) = \dfrac{2\ln x}{3x^2 + 1} =\dfrac{\ln(x)}{x^2}\tm\dfrac{2}{3+\frac1{x^2}}\]

    avec, par croissances comparées
    \[\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2}=0\]

    et donc
    \[\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\]


  6. c.
    On pose $X=e^x$ et alors l'équation se réécrit
    \[X^2+X-12=0\]

    c'est une équation du second degré de discriminant $\Delta=49=7^2>0$ qui admet donc deux solutions réelles distinctes $X_1=-4$ et $X_2=3$.
    On revient alors à l'équation de départ:
    • $X_1=e^{x_1}=-4$ qui est impossible, car $e^x>0$ pour tout réel $x$
    • $X_2=e^{x_2}=3\iff x_2=\ln(3)$
    L'équation admet donc une unique solution sur $\R$.



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Voir aussi:
ccc