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Exercice 1
Exercice 2
On considère la fonction f dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.
Les réponses seront données avec la précision permise par le
graphique.
Exercice 3
est un parallélogramme de centre
. Les hauteurs des
triangles
et
issues respectivement
des sommets
et
se coupent en
.
Exercice 4
Soit
la fonction définie sur
par
.
Exercice 5
est un réel positif.
On considère un cercle de diamètre
, un carré de côté
, un
trianglme équilatéral de côté
et un rectangle de côté
et
.
Exercice 1
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
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Devoir commun de mathématiques
Y. Morel
Exercice 1
- Factoriser les expressions suivantes:
- Résoudre
Exercice 2
On considère la fonction f dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.
![](DS_Commun-IMG/4.png)
- Déterminer l'ensemble de définition
de
.
- Déterminer les images des nombres
et
.
- Déterminer les antécédents de
et
.
- Dresser le tableau de variations de
.
- Résoudre graphiquement l'équation
.
- Résoudre graphiquement l'équation
.
- Soit
la fonction définie sur
par
.
- Tracer la représentation graphique dela fonction
.
- En déduire les solutions de l'équation
.
- Tracer la représentation graphique dela fonction
- Quelles valeurs de
peut-on choisir pour qu'il y ait exactement deux solutions à l'équation
?
Exercice 3
![](DS_Commun-IMG/21.png)
![](DS_Commun-IMG/22.png)
![](DS_Commun-IMG/23.png)
![](DS_Commun-IMG/24.png)
![](DS_Commun-IMG/25.png)
![](DS_Commun-IMG/26.png)
![](DS_Commun-IMG/27.png)
- Faire une figure.
- Dans le triangle
, que représentant les droites
et
?
- Que représente le point
pour le triangle
?
- En déduire que les droites
et
sont perpendiculaires.
![](DS_Commun-IMG/35.png)
![](DS_Commun-IMG/36.png)
![](DS_Commun-IMG/37.png)
- Montrer que
.
- Montrer que
.
- Parmi les expressions de
, choisir la plus appropriée pour répondre aux questions suivantes:
- Déterminer par le calcul les images par
de
,
,
et de
.
- Déterminer par le calcul les antécédents éventuels par
de
.
- Résoudre
.
- Résoudre
.
- Déterminer par le calcul les images par
- En utilisant l'expression de
de la question
, étudier les variations de
sur
et sur
, puis dresser le tableau de variations de
.
- En utilisant le tableau de variations de
, comparer
et
pour
élément de
.
Justifier votre réponse.
![](DS_Commun-IMG/61.png)
![](DS_Commun-IMG/62.png)
![](DS_Commun-IMG/63.png)
![](DS_Commun-IMG/64.png)
![](DS_Commun-IMG/65.png)
![](DS_Commun-IMG/66.png)
-
- Exprimer leur périmètre en fonction de
.
- Ranger leur périmètre par ordre croissant.
- Exprimer leur périmètre en fonction de
- Comparer les aires sachant que l'aire d'un triangle
équilatéral de côté
est
.
Solution:
Exercice 1
-
-
Valeur interdite: , soit
.
lorsque
.
Exercice 2
|
![]() |
-
- Dans le triangle
, les droites
et
sont issues d'un sommet du triangle et perpendiculaires au côté opposé:
et
sont des hauteurs du triangle
.
- Le point
est à l'intersection de deux hauteurs du triangle
;
est donc l'orthocentre du triangle
.
- On déduit de ce qui précéde que
est la troisième hauteur du triangle
, et donc, en particulier, que
et
sont perpendiculaires.
Commeest un parallélogramme, les côtés opposés
et
sont parallèles, et donc, la droite
est aussi perpendiculaire à
.
-
.
On a donc bien, pour tout nombre réel,
.
-
.
On a donc bien, pour tout nombre réel,
.
-
-
;
;
- Les éventuels antécédents
de
par
sont tels que
, soit,
, ou encore,
.
Cette expression se factorise sous la forme de l'équation produit,, ce qui nous permet d'en déduire que
ou que
, soit: Les antécédents de
par
sont
et
.
- En utilisant l'expression factorisée de
,
.
Ce produit de facteur est nul si et seulement si l'un des deux est nul, soitou
.
- En utilisant l'expression initiale de
,
pour
.
- En utilisant l'expression initiale de
- Soit deux nombres
et
quelconques de
tels que
, alors
d'où,,
et donc,,
et ainsi,,
soit.
On en déduit queest décroissante sur
.
Soit deux nombres et
quelconques de
tels que
, alors
d'où,,
et donc,,
et ainsi,,
soit.
On en déduit queest croissante sur
.
- La fonction
est croissante sur
, ainsi, si
,
, tandis que si
,
.
-
-
- Le périmètre du cercle de rayon
est
; le périmètre du carré est
;
le périmètre du triangle équilatéral est, et celui du rectangle est
.
- On a
, et donc en multipliant par
(qui est une longueur, donc positive),
, soit
- Le périmètre du cercle de rayon
-
Les différentes aires sont :
,
,
, et
. On a alors, comme
, en divisant par
,
, puis en multipliant par
,
, en d'autres termes,
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