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Exercice 1
Exercice 2
On considère la fonction f dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.
Les réponses seront données avec la précision permise par le
graphique.
Exercice 3 est un parallélogramme de centre . Les hauteurs des triangles et issues respectivement des sommets et se coupent en .
Exercice 4
Soit la fonction définie sur par
.
Exercice 5
est un réel positif.
On considère un cercle de diamètre , un carré de côté , un
trianglme équilatéral de côté et un rectangle de côté et
.
Exercice 1
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
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Devoir commun de mathématiques
Y. Morel
Exercice 1
- Factoriser les expressions suivantes:
- Résoudre
Exercice 2
On considère la fonction f dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.
- Déterminer l'ensemble de définition de .
- Déterminer les images des nombres et .
- Déterminer les antécédents de et .
- Dresser le tableau de variations de .
- Résoudre graphiquement l'équation .
- Résoudre graphiquement l'équation .
- Soit la fonction définie sur par .
- Tracer la représentation graphique dela fonction .
- En déduire les solutions de l'équation .
- Tracer la représentation graphique dela fonction .
- Quelles valeurs de peut-on choisir pour qu'il y ait exactement deux solutions à l'équation ?
Exercice 3 est un parallélogramme de centre . Les hauteurs des triangles et issues respectivement des sommets et se coupent en .
- Faire une figure.
- Dans le triangle , que représentant les droites
et ?
- Que représente le point pour le triangle ?
- En déduire que les droites et sont perpendiculaires.
- Montrer que .
- Montrer que .
- Parmi les expressions de , choisir la plus appropriée
pour répondre aux questions suivantes:
- Déterminer par le calcul les images par de ,
, et de .
- Déterminer par le calcul les antécédents éventuels par
de .
- Résoudre .
- Résoudre .
- Déterminer par le calcul les images par de ,
, et de .
- En utilisant l'expression de de la question , étudier
les variations de sur et sur ,
puis dresser le tableau de variations de .
- En utilisant le tableau de variations de , comparer
et pour élément de .
Justifier votre réponse.
-
- Exprimer leur périmètre en fonction de .
- Ranger leur périmètre par ordre croissant.
- Exprimer leur périmètre en fonction de .
- Comparer les aires sachant que l'aire d'un triangle équilatéral de côté est .
Solution:
Exercice 1
-
-
Valeur interdite: , soit .
Exercice 2
|
|
-
- Dans le triangle , les droites et sont issues d'un
sommet du triangle et perpendiculaires au côté opposé:
et sont des hauteurs du triangle .
- Le point est à l'intersection de deux hauteurs du
triangle ; est donc l'orthocentre du triangle .
- On déduit de ce qui précéde que est la troisième
hauteur du triangle , et donc, en particulier, que et
sont perpendiculaires.
Comme est un parallélogramme, les côtés opposés et sont parallèles, et donc, la droite est aussi perpendiculaire à .
- .
On a donc bien, pour tout nombre réel , . - .
On a donc bien, pour tout nombre réel , . -
- ;
- Les éventuels antécédents de par sont tels
que
, soit, , ou encore,
.
Cette expression se factorise sous la forme de l'équation produit, , ce qui nous permet d'en déduire que ou que , soit: Les antécédents de par sont et .
- En utilisant l'expression factorisée de ,
.
Ce produit de facteur est nul si et seulement si l'un des deux est nul, soit ou .
- En utilisant l'expression initiale de ,
- En utilisant l'expression initiale de ,
- Soit deux nombres et quelconques de tels que , alors d'où,
,
et donc,,
et ainsi,,
soit.
On en déduit que est décroissante sur .Soit deux nombres et quelconques de tels que , alors d'où, ,
et donc,,
et ainsi,,
soit.
On en déduit que est croissante sur .
- La fonction est croissante sur , ainsi, si , , tandis que si , .
- ;
-
- Le périmètre du cercle de rayon est
;
le périmètre du carré est
;
le périmètre du triangle équilatéral est , et celui du rectangle est
. - On a , et donc en multipliant par (qui est une longueur, donc positive), , soit
- Le périmètre du cercle de rayon est
;
le périmètre du carré est
;
- Les différentes aires sont : , , , et . On a alors, comme , en divisant par , , puis en multipliant par , , en d'autres termes,
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