Devoir corrigé de maths en Terminale générale, spécialité mathématiques

Annale Bac, spé maths - 12 mai 2022

Baccalauréat 12 mai 2022. Sujet posé en spécialité mathématiques, filière générale. Correction détaillée du sujet.

Exercice 1: probabilités conditionnelles, arbre, loi binomiale

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.
Les questions sont indépendantes.


Un technicien contrôle les machines équipant une grande entreprise. Toutes ces machines sont identiques.
On sait que :
  • 20 % des machines sont sous garantie;
  • 0,2 % des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie;
  • 8,2 % des machines sont défectueuses.



Le technicien teste une machine au hasard.


On considère les évènements suivants:
  • $G$: « la machine est sous garantie »;
  • $D$: « la machine est défectueuse»;
  • $\overline{G}$ et $\overline{D}$ désignent respectivement les évènements contraires de $G$ et $D$.

Pour répondre aux questions 1 à 3, on pourra s'aider de l'arbre proposé ci-contre.
    


\[\psset{xunit=1.5cm,yunit=.7cm} \begin{pspicture}(-.5,-2.)(5,2) \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$G$} \psline(2,1.5)(3.5,2.25) \psline(2,1.5)(3.5,0.75) % \psline(0,0)(1.7,-1.5) \psline(1.7,-1.5)(3.5,-0.75) \psline(1.7,-1.5)(3.5,-2.25) \end{pspicture}\]




  1. La probabilité $p_G(D)$ de l'évènement $D$ sachant que $G$ est réalisé est égale à :

    a. 0,002
    b. 0,01
    c. 0,024
    d. 0,2


  2. La probabilité $p\left(\overline{G} \cap D\right)$ est égale à :

    a. 0,01
    b. 0,08
    c. 0,1
    d. 0,21


  3. La machine est défectueuse. La probabilité qu'elle soit sous garantie est environ égale, à $10^{-3}$ près, à:

    a. 0,01
    b. 0,024
    c. 0,082
    d. 0,1



    Pour les questions 4 et 5, on choisit au hasard et de façon indépendante $n$ machines de l'entreprise, où $n$ désigne un entier naturel non nul.
    On assimile ce choix à un tirage avec remise, et on désigne par $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque lot de $n$ machines le nombre de machines défectueuses dans ce lot.
    On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,082$.

  4. Dans cette question, on prend $n =50$.
    La valeur de la probabilité $p(X > 2)$, arrondie au millième, est de :

    a. 0,136
    b. 0,789
    c. 0,864
    d. 0,924


  5. On considère un entier $n$ pour lequel la probabilité que toutes les machines d'un lot de taille $n$ fonctionnent correctement est supérieure à $0,4$. La plus grande valeur possible pour $n$ est égale à :

    a. 5
    b. 6
    c. 10
    d. 11


Correction exercice 1
  1. b. $p_G(D)=\dfrac{P(G\cap D)}{P(G)}=\dfrac{0,2\%}{20\%}=0,01$
  2. b. D'après l'arbre, ou la formule des probabilités totales, on a
    \[P(D) = P(G\cap D) + P(\overline{G}\cap D) \]

    soit donc, avec les données de l'énoncé,
    \[8,2\% = 0,2\% + P(\overline{G}\cap D) \iff P(\overline{G}\cap D) = 8\% = 0,08\]


  3. b. Il s'agit de la probabilité conditionnelle
    \[P_D(G)=\dfrac{P(G\cap D)}{P(D)}\dfrac{0,2\%}{8,2\%}\simeq0,024\]


  4. b. Avec une calculatrice on trouve $p(X > 2)\simeq0,789$
  5. c. En tâtonnant avec la calculatrice, on trouve la plus grande valeur de $n=10$.

    On peut aussi résoudre exactement le problème: pour $X$ qui suit la loi $\mathcal{B}(n,p)$, on a $P(X=0)=(1-p)^n=0,918^n$, et donc
    \[\begin{array}{ll} P(X=0)\geqslant0,4&\iff0,918^n\geqslant0,4\\ &n\ln(0,918)\geqslant \ln(0,4) \enar\]

    puis, en divisant par $\ln(0,918)<0$, donc en changeant l'ordre, on trouve
    \[n\leqslant\dfrac{\ln(0,4)}{\ln(0,918)}\simeq10,71\]

    et donc le plus grand entier est $n=10$.



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Exercice 2: Logarithme, variation, limites et TVI

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par
\[f(x) = x^2 - 8\ln (x)\]

où ln désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$, on note $f'$ sa fonction dérivée.


  1. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$.
  2. On admet que, pour tout $x > 0$,  $f(x) = x^2\left(1 - 8\dfrac{\ln (x)}{x^2}\right)$.
    En déduire la limite: $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
  3. Montrer que, pour tout réel $x$ de $]0~;~+\infty[$, $f'(x) = \dfrac{2\left(x^2 - 4\right)}{x}$.
  4. Étudier les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations complet.
    On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
  5. Démontrer que, sur l'intervalle ]0 ; 2], l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\alpha$).
  6. On admet que, sur l'intervalle $[2~;~ +\infty[$, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\beta$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\beta$).
    En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
  7. Pour tout nombre réel $k$, on considère la fonction $g_k$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par:
    \[g_k(x) = x^2 - 8\ln (x) + k.\]


    En s'aidant du tableau de variations de $f$, déterminer la plus petite valeur de $k$ pour laquelle la fonction $g_k$ est positive sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

Correction exercice 2
(Bac spécialité maths, 20 mars 2023) $f(x) = x^2 - 8\ln (x)$ pour $x\in]0~;~+\infty[$

  1. $\dsp\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ et $\dsp\lim_{x \to 0} \ln(x) = -\infty$ d'où, par soustraction des limites, $\dsp\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$.
  2. $\dsp\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$ et, par croissances comparées, $\dsp\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln (x)}{x^2}=0$, d'où par produit des limites, $\dsp\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
  3. On a, pour tout réel $x>0$,
    \[f'(x) = 2x-8\tm\dfrac1x=\dfrac{2x^2-8}x=\dfrac{2\left( x^2 - 4\right)}{x}\]

  4. Le numérateur de $f'(x)$ est un trinôme du second degré de racines évidentes $-2$ et $2$, et on a donc
    \[\begin{tabular}{|c|lcccc|}\hline $x$ & 0 &&$2$ && $+\infty$ \\\hline $x^2-4$ && $-$ &\zb&$+$&\\\hline $x$ &0& $+$ &$|$&$+$&\\\hline $f'(x)$ && $-$ &\zb&$+$&\\\hline &\ $+\infty$&&&&$+\infty$\\ $f$&\psline(0,-.7)(0,1.4)\,\psline(0,-.7)(0,1.4)&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&$4-8\ln(2)$&&\\\hline \end{tabular}\]

    Le minimum de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ est $f(2)=8-4\ln(2)$ atteint en $x=2$.
  5. Sur l'intervalle ]0 ; 2], $f$ est continue et strictement décroissante, avec $\dsp\lim_{x\to+}f(x)=+\infty$ et $f(2)\simeq-1,5<0$.
    On en déduit, d'après le théorème de la bijection (ou théorème des valeurs intermédaires version forte) que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur cet intervalle.
  6. On complète le tableau de variation précédent en y ajoutant $f(\alpha)=f(\beta)=0$, et on en déduit le signe de $f$:
    \[\begin{tabular}{|c|lcccccccc|}\hline $x$ & 0 &$\alpha$& &&$2$ && $\beta$ && $+\infty$ \\\hline &\ $+\infty$&&&&&&&&$+\infty$\\ $f$&\psline(0,-1.2)(0,.9)\,\psline(0,-1.2)(0,.9) &\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.4,.5)(1.1,-.4)0&&&&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.4,-.4)(1.3,.5)&0&&\\ &&&&&$4-8\ln(2)$&&&&\\\hline $f(x)$&\ $+$&0&&&$-$&&0&$+$&\\\hline \end{tabular}\]


  7. Pour tout nombre réel $k$, on a
    \[g_k(x) = x^2 - 8\ln (x) + k = f(x) + k\]

    On a vu précédemment que, pour tout $x>0$, on a $f(x)\geqslant4-8ln(2)$ et ainsi,
    \[g_k(x)=f(x)+k\geqslant4-8ln(2)+k\]

    Pour $g_k(x)$ soit positive pour tout $x>0$, il faut et suffit donc de choisir $k=-4+8ln(2)$



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Exercice 3: Suite géométrique, exponentielle et Python

Une entreprise a créé une Foire Aux Questions (« FAQ ») sur son site internet.


On étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois.



Partie A : Première modélisation


Dans cette partie, on admet que, chaque mois :
  • 90 % des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ ;
  • 130 nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ.

Au cours du premier mois, $300$ questions ont été posées.


Pour estimer le nombre de questions, en centaines, présentes sur la FAQ le n-ième mois, on modélise la situation ci-dessus à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_1 =3$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 1,$
\[u_{n+1} = 0,9u_n + 1,3\]




  1. Calculer $u_2$ et $u_3$ et proposer une interprétation dans le contexte de l'exercice.
  2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :
    \[u_n = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0,9^n.\]


  3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

    
4. On considère le programme ci-contre, écrit en langage Python.
Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(8.5) et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.


\[\renewcommand\arraystretch{0.9} \begin{tabular}{|p{5cm}|} \hline def seuil(p) :\\ \qquad n=1\\ \qquad u=3\\ \qquad while u$<=$p :\\ \qquad \qquad n=n+1\\ \qquad \qquad u=0.9*u+1.3 \\ \qquad return n\\ \hline \end{tabular}\]





Partie B : Une autre modélisation


Dans cette partie, on considère une seconde modélisation à l'aide d'une nouvelle suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par:
\[v_n = 9 - 6 \times e^{-0,19\times(n - 1)}.\]


Le terme $v_n$ est une estimation du nombre de questions, en centaines, présentes le $n$-ième mois sur la FAQ.


  1. Préciser les valeurs arrondies au centième de $v_1$ et $v_2$.
  2. Déterminer, en justifiant la réponse, la plus petite valeur de $n$ telle que $v_n > 8,5$.




Partie C : Comparaison des deux modèles


  1. L'entreprise considère qu'elle doit modifier la présentation de son site lorsque plus de 850 questions sont présentes sur la FAQ.
    Parmi ces deux modélisations, laquelle conduit à procéder le plus tôt à cette modification ?
    Justifier votre réponse.
  2. En justifiant la réponse, pour quelle modélisation y a-t-il le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme?

Correction exercice 3
Partie A : Première modélisation
$u_1 =3$ et, pour tout entier naturel $n\geqslant1$, $u_{n+1} = 0,9u_n + 1,3$


  1. $u_2=0,9u_1+1,3=0,9\tm3+1,3=4$, soit 400 questions au bout de 1 mois et $u_3=0,9u_2+1,3=0,9\tm4+1,3=4,9$, soit 490 questions au bout du 2ème mois.
  2. Soit $P(n): u_n = 13 - \dfrac{100}9\tm0,9^n$, pour $n \geqslant 1$.
    Initialisation: Pour $n=1$ on a $13-\dfrac{100}9\tm0,9^1=13-10=3$, et comme $u_1=3$, on en déduit que la propriété $P(1)$ est donc vraie.

    Hérédité: Supposonss que, pour un certain entier $n$, la propriété $P(n)$ soit vraie, c'est-à-dire: $u_n = 13 - \dfrac{100}9\tm0,9^n$.
    On a, par définition de la suite, $u_{n+1}=0,9u_n+1,3$, et donc, en utilisant l'hypothèse de récurrence,
    \[\begin{array}{ll} u_{n+1}&=0,9\tm\lp13 - \dfrac{100}9\tm0,9^n\rp+1,3\\ &=0,9\tm13-\dfrac{100}9\tm0,9^{n+1}+1,3\\ &=13-\dfrac{100}9\tm0,9^{n+1}\enar\]

    ce qui montre que la propriété $P(n+1)$ est donc aussi vraie.

    Conclusion: On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que
    $P(n): u_n = 13 - \dfrac{100}9\tm0,9^n$ est vraie pour tout entier $n \geqslant 1$.
  3. En utilisant l'expression précédente, on a
    \[\begin{array}{ll} u_{n+1}-u_n&=\lp13 - \dfrac{100}9\tm0,9^{n+1}\rp-\lp13 - \dfrac{100}9\tm0,9^n\rp\\[1em] &=13 - \dfrac{100}9\tm0,9^{n+1}-13 + \dfrac{100}9\tm0,9^n\\[.8em] &=\dfrac{100}9\tm0,9^n\lp0,9-1\rp\\[.8em] &=\dfrac{100}9\tm0,9^n\tm0,1>0\enar\]

    On en déduit que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
  4. Ce programme retourne le premier rang $n$ tel que $u_n>8,5$.
    On trouve, soit en effectuant ce programme sur la calculatrice, soit par le calcul exact:
    \[\begin{array}{ll} u_n>8,5 &\iff 13-\dfrac{100}9\tm0,9^n>8,5\\ &\iff -\dfrac{100}9\tm0,9^n>-4,5\\ &\iff 0,9^n<\dfrac{4,5\tm9}{100}\\ &\iff\ln(0,9^n)=n\ln(0,9)<\ln\lp\dfrac{4,5\tm9}{100}\rp\\ &\iff n>\dfrac1{ln(0,9)}\tm\dfrac{4,5\tm9}{100}\simeq8,58 \enar\]

    Ainsi, le premier entier, renvoyé par le programme Python lors de l'exécution de seuil(8.5) est $10$.



Partie B : Une autre modélisation $v_n = 9 - 6 \times e^{-0,19\times(n-1)}$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$.
  1. $v_1=9-6e^0=9-6=3$ et $v_2=9-6e^{-0,19}\simeq4,04$.

  2. \[\begin{array}{ll}v_n > 8,5 &\iff 9 - 6 \times e^{-0,19\times(n-1)}>8,5 \\ &\iff - 6 \times e^{-0,19\times(n-1)}>-0,5\\ &\iff e^{-0,19(n-1)}<\dfrac{0,5}{6}\\ &\iff -0,19(n-1)<\ln\lp\dfrac{0,5}{6}\rp\\[1em] &\iff n-1>\dfrac1{-0,19}\tm\ln\lp\dfrac{0,5}{6}\rp\\[1em] &\iff n>\dfrac1{-0,19}\tm\ln\lp\dfrac{0,5}{6}\rp+1\simeq 14,08 \enar\]

    La plus petite valeur entière recherchée est donc $n=15$.




Partie C : Comparaison des deux modèles


  1. Avec le premier modèle, les 850 questions sont dépassées pour $n=10$ semaines, tandis qu'avec le deuxième modèle, elles sont dépassées pour $n=15$ semaines. Le premier modèle conduit donc à procéder le plus tôt à la modification.
  2. A long terme, c'est-à-dire pour $n$ grand, ou encore pour $n\to+\infty$, on a:
    • Pour le 1er modèle: comme $-1<0,9<1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}0,9^n=0$ et donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=13$
    • Pour le 2ème modèle: on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}e^{-0,19(n-1)}=0$ et donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=9$

    À long terme, pour la première modélisation il y a le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme.



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Exercice 4: Géométrie dans l'espace: représentation paramétrique, équation cartésienne de plan, ...

On considère le cube ABCDEFCH d'arête 1.
On appelle I le point d'intersection du plan (GBD) avec la droite (EC).
L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left( A~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AE}\rp$.


\[\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7.3,5.7) \psframe(0.8,0.3)(4.8,4.3) \psline(4.8,0.3)(6.3,1.3)(6.3,5.3)(4.8,4.3)%BCGF \psline(6.3,5.3)(2.3,5.3)(0.8,4.3)%GHE \psline(4.8,0.3)(6.3,5.3)%BG \psline[linestyle=dashed](0.8,0.3)(2.3,1.3)(6.3,1.3)%ADC \psline[linestyle=dashed](2.3,1.3)(2.3,5.3)%DH \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](4.8,0.3)(2.3,1.3)(6.3,5.3)%BDG \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](0.8,4.3)(6.3,1.3)%EC \uput[d](0.8,0.3){A} \uput[d](4.8,0.3){B} \uput[dr](6.3,1.3){C} \uput[d](2.3,1.3){D} \uput[u](0.8,4.3){E} \uput[u](4.8,4.3){F} \uput[u](6.3,5.3){G} \uput[u](2.3,5.3){H} \uput[dl](4.5,2.27){I} \uput[dl](3.55,0.8){J} \psdots(4.5,2.27)(3.55,0.8) \end{pspicture}\]




  1. Donner dans ce repère les coordonnées des points E, C, G.
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).
  3. Démontrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD).
    1. Justifier qu'une équation cartésienne du plan (GBD) est :
      \[x + y - z - 1 = 0.\]

    2. Montrer que le point I a pour coordonnées $\left(\dfrac23~;~\dfrac23~;~\dfrac13\right)$.
    3. En déduire que la distance du point E au plan (GBD) est égale à $\dfrac{2\sqrt 3}{3}$.
    1. Démontrer que le triangle BDG est équilatéral.
    2. Calculer l'aire du triangle BDG. On pourra utiliser le point J, milieu du segment [BD].
  6. Justifier que le volume du tétraèdre EGBD est égal à $\dfrac13$.
    On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac13 Bh$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.

Correction exercice 4
(Bac spécialité maths, 20 mars 2023)
  1. $E(0;0;1)$, $C(1;1;0)$ et $G(1;1;1)$.
  2. On a $\overrightarrow{EC}(1;1;-1)$ qui dirige $(EC)$ et qui passe par $E(0;0;1)$ d'où une représentation paramétrique
    \[(EC):\la\begin{array}{lclcl} x&=&0&+&t\\ y&=&0&+&t\\ z&=&1&-&t \enar\right.\ , \ pour t\in\R\]

    soit
    \[(EC):\la\begin{array}{lcl} x&=&t\\ y&=&t\\ z&=&1-t \enar\right.\ , \ pour t\in\R\]

  3. On a $B(1;0;0)$ donc $\overrightarrow{BG}(0;1;1)$ et alors $\overrightarrow{BG}\cdot\overrightarrow{EC}=0\tm1+1\tm1+1\tm(-1)=0$
    et $D(0;1;0)$ donc $\overrightarrow{BD}(-1;1;0)$ et alors $\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{EC}=-1\tm1+1\tm1+0\tm(-1)=0$
    Ainsi, $(EC)$ est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan $(GBD)$, et donc $(EC)$ est orthogonale au plan $(GBD)$.
    1. $\overrightarrow{EC}(1;1;-1)$ est donc un vecteur normal au plan $(GBD)$ qui a donc une équation cartésienne de la forme
      \[x + y - z + d = 0\]

      Comme $G(1;1;1)\in(GBD)$, on a aussi
      \[1 + 1 - 1 + d = 0\iff d=-1\]

      d'où l'équation cartésienne
      \[x + y - z - 1 = 0\]


    2. Soit $I(x;y;z)\in (GBD)\cap(EC)$, alors en utilisant les équations de la représentation paramétrique ainsi que l'équation cartésienne précédente, on obtient
      \[t+t-(1-t)-1=0\iff t=\dfrac23\]

      Finalement, avec la représentation paramétrique de $(EC)$ on obtient les coordonnées
      \[I\la\begin{array}{lcl} x&=&t=\frac23\\ y&=&t=\frac23\\ z&=&1-t=\frac13 \enar\right.\]

      c'est-à-dire $I\lp\dfrac23~;~\dfrac23~;~\dfrac23\rp$.
    3. La distance du point $E$ au plan $(GBD)$ est égale à $EI$ car $(EC)\perp(GBD)$ et donc $I$ est le projeté orthogonal de $E$ sur $(GBD)$.
      Cette distance est alors
      \[\begin{array}{ll}EI&=\sqrt{\lp\dfrac23-0\rp^2+\lp\dfrac23-0\rp^2+\lp\dfrac13-1\rp^2}\\ &=\sqrt{3\tm\lp\dfrac23\rp^2}=\dfrac23\sqrt3\enar\]


    1. On a pour les trois côtés $BD=BG=DG=\sqrt2$ car ce sont les diagonales des faces du cube, donc des diagonales de carrés de côté 1.
      Ce triangle $BDG$ est donc bien équilatéral.
    2. On a $J(1/2;1/2;0)$ qui est le pied de la médiane issue de $G$ dans le triangle $BDG$. Mais comme ce triangle est équilatéral, cette médiane est aussi la médiatrice et la hauteur, et en particulier le triangle $BJG$ est rectangle en $J$ et
      \[\mathcal{A}_{BDG}=2\tm\mathcal{A}_{BGJ}\]

      avec
      \[\mathcal{A}_{BGJ}=\dfrac{BJ\times JG}2\]

      et $BJ=\dfrac12\sqrt2$ et
      \[JG=\sqrt{\lp1-\dfrac12\rp^2+\lp1-\dfrac12\rp^2+(1-0)^2} =\sqrt{\dfrac32}\]


      Ainsi, finalement,
      \[\mathcal{A}_{BDG}=\dfrac12\sqrt2\tm\sqrt{\dfrac32}=\dfrac{\sqrt3}2\]

  6. En utilisant comme base $BDG$ et comme hauteur $EI$ (qui sont bien orthogonaux d'après les questions précédentes), on trouve
    \[\begin{array}{ll}\mathcal{V}_{EGBD}&=\dfrac13\tm\mathcal{A}_{BDG}\tm EI\\[1em] &=\dfrac13\tm\dfrac{\sqrt3}2\tm\dfrac23\sqrt3\\[1em] &=\dfrac13\enar\]




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Voir aussi:
ccc