Source Latex: Exercices de mathématiques, Probabilités, variables aléatoires
Spécialité mathématiques, 1ère générale
Probabilités, variables aléatoires
Exercices de mathématiques - probabilités, variables aléatoires, loi de probabilité et espérance, variance et écart type- Fichier
- Type: Exercices
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- Exercices de mathématiques - probabilités, variables aléatoires, loi de probabilité et espérance, variance et écart type
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- Spécialité mathématiques, 1ère générale
- Mots clé
- loi de probabilités, variables aléatoires, espérance, écart-type, variance, linéarité de l'espérance, cours de mathématiques, maths, spécialité mathématiques, première générale
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Morel} \date{} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage{lastpage} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt} \lhead{}\chead{}\rhead{} \lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/premiere-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths.fr - première générale, spé maths}} \rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}} \cfoot{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \vspace*{-0.5cm} \hfill{\LARGE\bf\bgmp{11cm}\TITLE\enmp} \hfill{\bgmp{9em}Première générale\\spécialité maths\enmp} \bgex Deux élèves ont eu les notes suivantes:\\ \'Elève A: 9; 10; 15; 17; 11; 5; 3; 10 \\ \'Elève B: 9; 10; 11; 10; 9; 10; 11; 10 \\ \'Elève C: 12; 13; 9; 10; 9; 8; 9; 10 Comparer les notes de ces élèves en calculant leur moyenne. \enex \bgex Un jeu consiste à lancer deux fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée.\\ Pour jouer à ce jeu on mise 2 euros. Lorsqu'on obtient deux fois pile, on gagne 6 euros, et on gagne 3 euro pour deux fois face. Dans tous les autres cas, on ne gagne rien et on perd notre mise. Représenter la situation à l'aide d'un arbre, et remplir un tableau des gains et de leur probabilité. Ce jeu semble-t-il avantageux pour le joueur ? Combien gagne-t-il, ou perd-il, en moyenne sur une partie ? \enex \bgex Lors d'un examen, un élève doit répondre à un QCM. Ce QCM comporte trois questions et, pour chaque question, trois réponses différentes sont proposées, dont une seule est exacte. \bgen \item Représenter toutes les issues possibles à l'aide d'un arbre. \item Chaque réponse exacte rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève 0,5 point. %L'élève peut choisir de ne pas répondre, et dans ce cas, il ne perd ni %ne gagne de point. Une note totale négative est ramenée à 0. \medskip On appelle $X$ le total des points que l'élève a obtenu pour cet exercice. %Si $X$ est négatif, le résultat est ramené à $0$. Déterminer les différentes valeurs prises par $X$, et donner le tableau de la loi de probabilité de $X$ %et calculer son espérance. \enen \enex \bgex Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est: \[\renewcommand{\arraystretch}{1.7} \begin{tabular}{|*5{c|}}\hline $x_i$ & $-2$ & $0$ & $1$ & 3\\\hline $p_i=P(X=x_i)$ & $0.4$ & $0.2$ & $0.3$ & $0.1$ \\\hline \end{tabular}\] \enex \bgex On donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$: \[\renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{tabular}{|*4{c|}}\hline $x_i$ & $-2$ & $a$ & 3\\\hline $P(X=x_i)$ & $\dfrac25$ & $\dfrac3{10}$ & $b$ \\\hline \end{tabular}\] Déterminer les valeurs possibles de $a$ et $b$ pour que l'espérance de $X$ soit 2. \enex \bgex Donner l'espérance du QCM de l'exercice 3. \enex \bgex Une société d'assurance classe les sinistres en trois catégories, A, B et C, pour lesquelles une étude statistique, parmi ses assurés, a établi les probabilités: %$P(A)=0,5$, $P(B)=0,35$ et $P(C)=0,15$. \\ $P(A)=0,2$, $P(B)=0,1$ et $P(C)=0,02$. \\ Pour les victimes de ces sinistres, la société d'assurance rembourse respectivement 100 euros, 500 euros et 1500 euros. Les assurés auprès de cette assurance paient tous la m\^eme cotisation annuelle. \\ On note $X$ la variable aléatoire égale à la différence entre la cotisation et le remboursement. \medskip Quel doit \^etre le montant de la cotisation pour avoir $E(X)=0$. \enex \clearpage \bgex Une usine fabrique des objets destinés à \^etre commercialisés. Les objets fabriqués peuvent éventuellement avoir deux défauts, le défaut A et le défaut B. \\ On estime que, en moyenne à la sortie de cette usine, 15\% des objets ont %uniquement le défaut A, 7\% ont %uniquement le défaut B, et 3\% ont les deux défauts à la fois. Le co\^ut de production d'un objet est de 30 euros. La réparation du défaut A revient à 5 euros, et la réparation du défaut B revient à 8 euros. \medskip \bgen \item \bgen[a)] \item Quel est le pourcentage d'objets défectueux (c'est-à-dire ayant au moins un défaut) ? \item J'ai pris un objet à la sortie de cette usine et je m'aper\c cois qu'il a le défaut A. Quelle est la probabilité qu'il ait aussi le défaut B. \enen \item On note $X$ la variable aléatoire qui associe à un objet au hasard de la production son co\^ut: fabrication et réparations éventuelles. \bgen[a)] \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer $E(X)$ et interpréter la valeur trouvée. \item On suppose que tous les objets fabriqués sont vendus. Quel doit \^etre le prix de vente de chaque objet pour que l'usine réalise un bénéfice de 20 euros par objet ? \enen \enen \enex \bgex Pour me rendre au travail, je prends le bus. Le trajet comporte 4 arr\^ets; le bus ne s'y arr\^ete pas forcément, ce qui rend mon trajet plus ou moins rapide. \\ On note $S$ le nombre d'arr\^ets que le bus fait effectivement. Une étude statistique montre que la loi de probabilité de $S$ est \[\renewcommand{\arraystretch}{1.7} \begin{tabular}{|*6{c|}}\hline $x_i$ & $0$ & $1$ & $2$ & 3 & 4\\\hline $P(S=x_i)$ & $0,05$ & $0,15$ & $0,3$ & $0,35$ & $0,15$ \\\hline \end{tabular}\] \bgen \item Calculer $P(S\geqslant3)$ et interpréter dans le contexte de l'exercice. \item Calculer $E(S)$ et interpréter ce résultat. \item Le trajet direct, sans arr\^et, dure 20 minutes. Chaque arr\^et prend 3 minutes.\\ On note $T$ la variable aléatoire égale à la durée du trajet. \bgen[a)] \item Quelle relation lie $S$ et $T$ ? \item Déterminer le temps de trajet moyen pour me rendre à mon travail. \item Je monte dans le bus et j'ai 25 minutes pour arriver à mon travail à l'heure. Quelle est la probabilité que je sois en retard ? \enen \enen \enex \bgex Calculer la variance et l'écart-type de la variable aléatoire de l'exercice 4. \enex \bgex Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de la variable aléatoire $Y$ dont la loi de probabilité est: \[\renewcommand{\arraystretch}{1.7} \begin{tabular}{|*7{c|}}\hline $x_i$ & $-3$ & $-1$ & 0 & $2$ & 5\\\hline $P(Y=x_i)$ & $0,2$ & $0,1$ & $0,4$ & $0,25$ & $0,05$ \\\hline \end{tabular}\] \enex \clearpage \bgex On considère la variable aléatoire $N$ dont la loi de probabilité est: \[\renewcommand{\arraystretch}{1.7} \begin{tabular}{|*5{c|}}\hline $x_i$ & $2$ & $3$ & $5$ & 8\\\hline $P(N=x_i)$ & $0,1$ & $0,35$ & $0,4$ & $0,15$ \\\hline \end{tabular}\] \bgen[a)] \item Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de $N$. \item Les valeurs de $N$ sont en fait les notes obtenues à un devoir noté sur 8.\\ Pour ramener ces notes sur 20, le professeur décide de simplement multiplier chaque note par 2 et d'y ajouter ensuite 4 points. \\ Déterminer l'espérance, variance et écart-type de ces nouvelles notes. \enen \enex \bgex Un client cherche à joindre par téléphone un service de dépannage. La probabilité que son appel soit pris sans attente est de $ 0,25$ . Si son appel n'est pas pris sans attente, le client raccroche son téléphone et fait une autre tentative. Le client fait au maximum trois tentatives. On note $X$ la variable aléatoire égale au rang de son premier appel aboutissant sans attente. Si au bout de trois appels le client n'a pas réussi à joindre le service de dépannage sans attente, on convient alors que $ X=0$ . On note $ R$ l'événement: "Le client est mis en relation avec le service de dépannage sans attente." \bgen \item Représenter la situation par un arbre de probabilités. \item Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire $ X$ ? Déterminer alors la loi de probabiltié de $ X$ (présenter les résultats dans un tableau). \item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $ X$ , et interpréter ce résultat. \enen \enex \bgex \textbf{Politique de naissances} Dans un pays fictif, on impose la loi de naissance suivante : chaque couple peut avoir au maximum trois enfants et ne peut avoir qu'un seul gar\c con. On suppose que les probabilités de naissance gar\c con/fille sont égales, et que tout le monde respecte la loi (et donc ne cherche plus à avoir d'enfant après la naissance d'un gar\c con). On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'enfants qu'a un couple, et $F$ et $G$ le nombre de filles et de gar\c cons. \medskip \`A l'aide d'un arbre de probabilité, donner les lois de probabilités de $X$, $F$ et $G$. En déduire $E(X)$, $E(F)$ et $E(G)$. Commenter. \enex \bgex Un jeu de hasard sur ordinateur est con\c cu de la façon suivante: \bgit \item Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est $\dfrac14$ \item Si le joueur perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est $\dfrac12$ \item La probabilité de gagner la première partie est $\dfrac14$ \enit Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note l'événement $G_n$: "la n-ième partie est gagnée" et on note $p_n$ la probabilité de cet événement. On a donc en particulier $p_1=\dfrac14$. \bgen \item Montrer que $p_2=\dfrac7{16}$ \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $p_{n+1}-\dfrac14p_n+\dfrac12$ \item On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $(u_n)$ par $u_n=p_n-\dfrac25$. \bgen[a)] \item Démontrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $p_n=\dfrac25-\dfrac3{20}\lp-\dfrac14\rp^{n-1}$ \enen \enen \enex \clearpage \bgex Un joueur pioche dans un jeu de 52 cartes autant de cartes qu'il le désire sans les regarder.\\ Une fois qu'il décide de s'arr\^eter, il prend connaissance de toutes les cartes qu'il a pioché. Si parmi elle, il a tiré l'as de pique, il perd 10 euros. Sinon, il gagne 1 euro par carte tirée. \medskip Combien doit-il piocher de cartes pour maximiser son gain moyen ? Combien peut-il alors espérer gagner ? \enex \bgex \textbf{Loi de Poisson - Exponentielle} Au 19ème siècle, Denis Poisson publie son livre "Recherches sur la probabilité des jugments en matière criminelle et en matière civile" dans lequel il aborde une nouvelle loi de probabilité, qui restera connue par la suite comme la "loi de Poisson". \\ Pour un réel $\lambda>0$, une variable aléatoire $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ lorsque, pour tout entier $k$ naturel, $P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$, où $k!$ est le produit de tous les entiers de 1 à $k$ (par exemple, $4!=1\tm2\tm3\tm4$, et on précise que, par convention $0!=1$). \bgen \item On suppose dans cette question que $\lambda=0,1$. Calculer les probabilités $P(X=2)$ et $P(X\leqslant2)$. \item On considère deux variables aléatoires $X$ et $Y$ indépendantes qui suivent chacune une loi de Poisson de paramètres respectifs $\lambda$ et $\mu$. \bgen[a)] \item Calculer $P(X+Y=0)$. \item Calculer de m\^eme $P(X+Y=1)$ et $P(X+Y=2)$. \item Quelle loi semble suivre la variable aléatoire $X+Y$ ? \enen \enen \enex \label{LastPage} \end{document}
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Quelques devoirs
Géométrie avec le produit scalaire, et probabilités conditionnelles et arbres de probabilités
une étude des variations d'une fonction - Calcul de la valeur approchée d'un angle avec le produit scalaire dans un repère - Probabilités conditionnelles et réunion / intersection d'événements
une étude des variations d'une fonction - Calcul de la valeur approchée d'un angle avec le produit scalaire dans un repère - Probabilités conditionnelles et réunion / intersection d'événements
dérivée et sens de variation d'une fonction rationnelle - Calculs algébriques et équations avec exponentielles - Probabilités conditionnelles et arbre de probabilité
équations et inéquations avec exponentielles, variation de fonctions avec exponentielle, probabilités conditionnelle et arbre de probabilité