Source Latex: Exercices de mathématiques, Probabilités conditionnelles

Spécialité mathématiques, 1ère générale

Probabilités conditionnelles

Exercices sur les probabilités conditionnelles en spécialité mathématiques en première générale. Formules et calculs de probabilités conditionnelles, grâce notamment à l'utilisation d'arbres de probabilités.
Inversion des conditionnements: formule de Bayes et de nombreux exercices d'application.
Fichier
Type: Exercices
File type: Latex, tex (source)
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Description
Exercices de mathématiques - probabilités conditionnelles et indépendance
Niveau
Spécialité mathématiques, 1ère générale
Mots clé
probabilités conditionnelles, indépendance, sachant que, formule de Bayes, cours de mathématiques, maths, spécialité mathématiques, première générale

Quelques devoirs


Voir aussi:

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices de mathématiques: probabilités conditionnelles, indépendance},
    pdftitle={Probabilités conditionnelles, indépendance - Exercices},
    pdfkeywords={exercices, Mathématiques, spécialité mathématiques en première générale, 
      probabilités, conditionnelle, sachant que, répétition d'expériences}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
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\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


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\newcounter{ntheo}
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  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

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  \noindent
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  \stepcounter{nprop}
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  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Probabilités conditionnelles Indépendance}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/premiere-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths.fr - première générale, spé maths}}
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\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}



\hfill{\LARGE\bf\bgmp{10cm}\TITLE\\\ct{Exercices}\enmp}
\hfill{\bgmp{9em}Première générale\\spécialité maths\enmp}




\definecolor{grayp}{gray}{0.9}


\noindent
\bgmp{13cm}
\bgex
On considère deux événements $A$ et $B$. \\On donne les probabilités: 
$P(A)=0,75$, $P(B)=0,2$ et $P(A\cap B)=0,1$. 

\bgen
\item Reproduire et compléter le diagramme de Venn ci-contre. 
\item Donner les probabilités 
  $P(\overline{A})$, $P(A\cup B)$ et $P(A\cap\overline{B})$.
\enen
\enex
\enmp\quad
\bgmp{5cm}
\[\fbox{\psset{unit=.6cm}\begin{pspicture}(-5.2,-2.8)(4.5,3.8)
  \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=grayp](-2,0)(3,2)
  \psellipse(1.5,.5)(2.5,3)
  \rput(-4.5,.5){$A$}
  \rput(2.4,-1.8){$B$}
%\begin{psclip}{\psellipse(-2,0)(3,2)}
% Dans le clip, on colorie l'intersection:
%\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,.5)(2.5,3)
%\end{psclip}
\end{pspicture}}\]
\enmp

\bgex 
Une étude dans une grande ville a donné les résultats suivants: 
73\,\% des personnes ont un velo, 
19\,\% ont des rollers et 17\,\% possèdent les deux. 

On note $R$ l'événement: "la personne a des rollers" 
et $V$:"la personne a un vélo". 

\bgen
\item Compléter le tableau: \vspace{-2em}
  \[\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
    \begin{tabular}{|p{1.5cm}|*3{p{2cm}|}}\hline
     & \hfill $V$\hfill\, &  \hfill$\overline{V}$\hfill\,& \hfill Total\hfill\, \\\hline
    $R$ & & &  \\\hline
    $\overline{R}$ & & &  \\\hline
    Total & & & \hfill100\%\hfill\, \\\hline
  \end{tabular}\]
\item On désigne une personne au hasard dans l'annuaire de la ville. 
  \bgen[a)]
  \item Déterminer la probabilité que cette personne ait soit un velo
    soit des rollers.

  \item Déterminer la probabilité que cette personne n'ait ni velo ni
    roller ?

  \item Quelle est la probabilité que cette personne ait des rollers mais
    pas de velo?
  \item La personne contactée affirme tout de suite posséder un vélo. 
    Quelle est la probabilité qu'elle ait alors aussi des rollers ? 

  \enen

  \item Je travaille dans un magasin de cycle. 
    Un potentiel client entre dans mon magasin en rollers. 
    Quelle est la probabilité qu'il ait déjà un vélo ? 
\enen
\enex


\bgex
\bgen[a)]
\item Je lance deux fois de suite une pièce bien équilibrée.
  Représenter la situation à l'aide d'un arbre. \\
  Quelle est la probabilité d'obtenir 2 fois Pile exactement ? 
\item M\^eme question que précédemment mais en lan\c cant cette fois trois de suite cette pièce. 
\enen
\enex
  
\bgex
La probabilité qu'un jeune réussisse l'examen du permis de conduire
l'année de ses 18 ans est de 0,625 et celle qu'il soit reçu au
baccalauréat cette même année est de 0,82. 

De plus, la probabilité d'être à la fois reçu au baccalauréat et à
l'examen du permis de conduire la même année est de 0,56. 
\bgen
\item Calculer la probabilité qu'un jeune soit reçu à au moins un
  des deux examens. 
\item En déduire la probabilité qu'il ne soit reçu à aucun des
  deux examens. 
\item Déterminer la probabilité qu'un jeune réussisse au baccalauréat
  sachant qu'il a déjà eu son permis la même année.
\enen
\enex


\clearpage
\bgex
Dans un jeu de 52 cartes, on tire au hasard une carte et on considère les événements: 
\bgit
\item A: "la carte tirée est un As"
\item B: "la carte tirée est un pique"
\item C: "la carte tirée est une figure (valet, dame, roi, ou as)"
\enit

\bgen[a)]
\item Donner les probabilités de ces trois événements. 
\item J'ai tiré une carte au hasard et j'ai entr'aper\c cu que la carte tirée est un pique. Quelle est la probabilité que ce soit un As.

  
  \'Ecrire cette probabilité en utilisant les événements $A$ et $B$. 

\item J'ai tiré une carte au hasard et j'ai entr'aper\c cu cette fois que la carte tirée est une figure. Quelle est alors la probabilité que ce soit un As.
  
  \'Ecrire cette probabilité en utilisant les événements $A$ et $C$. 

\item Que peut-on dire des événements $A$ et $B$ d'une part, et $A$ et $C$ d'autre part ?  
\enen
\enex


\bgex
Les probabilités des événements indépendants $A$ et $B$ sont 
$P(A)=0,8$ et $P(B)=0,5$.

Quelle est la probabilité $P(A\cup B)$ ?
\enex

\bgex
On considère deux événements $A$ et $B$ tels que 
$P(A)=0,8$, $P(B)=0,35$ et $P(A\cap B)=0,28$. 
\bgen
\item Montrer que $A$ et $B$ sont indépendants.
\item Calculer $P(A\cup B)$ puis $P(\overline{A}\cap B)$. 
\enen
\enex

\bgex
Deux événements sont indépendants et ont, indépendamment donc, la m\^eme probabilité. De plus, il y a une chance sur quatre que ces deux événements se réalisent simultanément. 

Quelle est la probabilité de ces événements ?
\enex


\bgex
Une branche présente 10 fleurs: 2 blanches et 8 roses.\\
On cueille, successivement et au hasard, 3 fleurs.
\bgen[a)]
\item Représenter la situation par un arbe pondéré.
\item Quelle est la probabilité d'avoir 3 fleurs roses ? \\
  Quelle est la probabilité d'avoir les 2 fleurs blanches ? \\
\enen
\enex

%\vspace{-1em}

\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex
On considère une expérience aléatoire modélisée par l'arbre ci-contre. 

\bgen
\item Compléter cet arbre. 
\item Déterminer $P(A\cap B)$ et $P(B)$. 
\item Déterminer $P_A(B)$ et $P_B(A)$. 
\enen
\enex
\enmp\qquad
\bgmp{4cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(4,2.8)
  \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.7,1.5){$A$}
  \rput(0.65,1){$0,6$}
  \rput(0.6,-1.2){\dots}
  \psline(2,1.5)(3.5,2)\rput(3.9,2){\dots}
  \psline(2,1.5)(3.5,1)\rput(3.7,1){$\overline{B}$}
  \rput(2.7,2.2){\dots}
  \rput(2.7,.7){$0,7$}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.7,-1.5){$\overline{A}$}
  \psline(2,-1.5)(3.5,-1)\rput(3.7,-1){$B$}
  \psline(2,-1.5)(3.5,-2)\rput(3.9,-2){\dots}
  \rput(2.7,-2.2){$0,9$}
  \rput(2.7,-1){\dots}
\end{pspicture}
\enmp

\bigskip

\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex
Une expérience aléatoire est représentée par l'arbre pondéré ci-contre. 
On sait de plus que $P(B)=0,39$. 

\bgen
\item Déterminer la probabilité de $B$ sachant $A$.  
\item Calculer la probabilité de l'événement $A\cap B$. 
\item Calculer la probabilité de $A$ sachant $B$. 
\enen
\enex
\enmp\qquad
\bgmp{4cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(4,2.8)
  \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.7,1.5){$A$}
  \rput(0.65,1){$0,1$}
  \psline(2,1.5)(3.5,2)\rput(3.7,2){$B$}
  \psline(2,1.5)(3.5,1)\rput(3.7,1){$\overline{B}$}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.7,-1.5){$\overline{A}$}
  \psline(2,-1.5)(3.5,-1)\rput(3.7,-1){$B$}
  \psline(2,-1.5)(3.5,-2)\rput(3.7,-2){$\overline{B}$}
  \rput(2.7,-1){$0,4$}
\end{pspicture}
\enmp



\clearpage
\bgex
Tous les élèves d'une promotion ont passé un test de certification en
anglais. 
\bgit
\item $80\,\%$ ont réussi le test. 
\item Parmi ceux qui ont réussi le test, $95\,\%$ le passaient pour la
  1ère fois.
\item Parmi ceux qui ont échoué au test, $2\,\%$ le passaient pour la
  1ère fois. 
\enit
On considère les événements $R$:"l'élève a réussi au test", 
et $F$:"l'élève a passé le test plusieurs fois". 
\bgen
\item Traduire l'énoncé en termes de probabilité et dresser un arbre pondéré décrivant la situation. 
\item Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait passé
  le test pour la 1ère fois et l'ait réussi. 
\item Déterminer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait passé
  plusieurs fois le test. 
\item On choisit au hasard un élève ayant passé plusieurs fois le
  test. 
  Quelle est la probabilité qu'il ait réussi ? 
\enen
\enex





\bgex {\bf Formule de Bayes.}\\
Soit $A$ et $B$ deux événements de probabilité non nulle. 
Représenter la situation par un arbre et montrer la formule  
$P_B(A)=\dfrac{P_A(B)\tm P(A)}{P(B)}$, 
puis la formule \ $P_B(A)=\dfrac{P_A(B)\tm P(A)}
{P_A(B)\tm P(A)+P_{\overline{A}}(B)\tm P(\overline{A})}$. 
\enex



\bgex {\bf Applications de la formule de Bayes} 
\bgen
\item On dispose de 100 pièces de monnaie. 
  Une pièce sur quatre est truquée. 
  Une pièce truquée indique Pile avec une probabilité de $\dfrac45$. 

  \noindent
  On choisit au hasard une pièce parmi les 100, on la lance et on
  obtient Pile. 
  Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une pièce truquée ?

\item Dans une population, une personne sur quatre triche. 
  Lorsqu'on fait tirer une carte d'un jeu de 52 cartes à un tricheur, 
  il
  tire à tous les coups un as. 

  \noindent $\alpha)$ On demande à une personne au hasard de tirer 
  une carte, quelle est la probabilité qu'un as soit tiré ? 

  \noindent $\beta)$ Un as a été tiré. 
  Quelle est la probabilité que j'ai eu affaire à un tricheur ?

\item \textbf{Peur des coupures de courant ?}\\
  Le système électrique dans un b\^atiment est quasi-certainement  
  endommagé lors d'un incendie; 
  plus précisément, il y a 99 chances sur 100 pour que le courant 
  soit coupé lors d'un incendie. 

  Hors incendie, les normes électriques permettent d'avoir des 
  systèmes assez fiables et la probabilité d'une coupure de courant 
  reste de l'ordre d'une chance sur 1000. 

  Enfin, statistiquement, un incendie se déclare tous les 3 ou 4 ans, 
  c'est-à-dire que, plus précisément, un incendie survient un jour 
  donné avec une probabilité de $10^{-3}$. 

  \medskip
  Les lumières viennent de s'éteindre brusquement ! 
  Quelle est la probabilité pour que se soit un incendie ?



\enen
\enex




\bgex \textbf{Voitures rouges volées}

Une étude statistique donne les valeurs:
20\% des voitures sont rouges, 1\% des voitures rouges se font voler.
Pour les autres voitures, toutes couleurs confondues, le double se font voler, soit 2\%. 

\bgen[a)]
\item Représenter la situation par un arbre.
\item Quelle est la probabilité qu'une voiture se fasse voler ?
\item Un ami m'annonce qu'il vient de se faire voler sa voiture.
  Quelle est la probabilité que sa voiture (ou plut\^ot son ancienne voiture, maintenant) ne soit pas rouge ?
\enen
\enex



\clearpage
\bgex {\bf Test de dépistage} 

\noindent
On définit, pour un test de dépistage d'une maladie: 

\noindent\bgmp{\textwidth}
\bgit
\item sa {\sl sensibilité}: la probabilité qu'il soit positif
  si la personne est atteinte de la maladie (vrai positif).
\item sa {\sl spécificité}: la probabilité qu'il soit négatif
  si la personne est indemne de la maladie (vrai~négatif). 
\item sa valeur prédictive positive (ou valeur diagnostique): la probabilité que
  la personne soit réellement malade si son test est~positif. 
\item sa valeur prédictive négative: la probabilité que
  la personne n'ait pas la maladie si son test est négatif.
\enit\enmp\\[.3em]
Les deux premières sont des valeurs
caractérisant un test, du point de vue du concepteur (laboratoire). \\
Les valeurs prédictives sont quant à elles des données intéressantes
du point de vue de l'usager (patient). \\
Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes: 
\bgit
\item la probabilité qu'un individu malade ait un test positif est
  $0,98$ (sensiblité du test); 
\item la probabilité qu'un individu non malade ait un test négatif est
  $0,99$ (spécificité du test). 
\enit

On notera par la suite les événements 
$M$:"l'individu est malade" et 
$T$:"le test est positif". 

\bgen
\item On utilise ce test pour dépister une maladie qui touche 30\% de
  la population. 
\bgen[a)]
  \item Dresser un arbre pondéré décrivant la situation. 
  \item Calculer la probabilité de l'événement $T$. 
  \item Déterminer les valeurs prédictives positive et négative du
    test. 
\enen

\item Calculer de m\^eme les valeurs prédictives positives de ce test 
  pour une maladie qui toucherait 0,1\% de la population. 

\enen
\enex

\bgex \textbf{Oubli de la fréquence de base}\\
 Dans une ville d'un million d'habitants, 100 individus sont fichés dangereux. La mairie installe un système de surveillance algorithmique capable de détecter automatiquement le visage des personnes qui passent dans son champ.
Bien s\^ur, comme tout système de mesure, celui-ci n'est pas infaillible: on suppose ici que le système est de bonne qualité avec un taux d'erreur de seulement 1\%.\\
Une personne a commis un méfait dans le champ d'une caméra, et l'alarme s'est déclenchée.

Quelle est la probabilité que ce soit effectivement un des délinquants listés ?

Avec le taux d'erreur annoncé, on est tenté de répondre 99\%, et 1\% d'erreur que ce ne soit pas un délinquant~fiché\dots

Calculer ces probabilités exactement: à savoir la probabilité, une fois que l'alarme s'est déclenchée, que ce soit par un des délinquants fichés. \\
Calculer de m\^eme la probabilité, sachant que l'alarme s'est déclenchée, que ce soit du fait d'un citoyen non fiché comme délinquant. 
\enex



\label{LastPage}
\end{document}

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