Source Latex: Exercices de mathématiques, Second degré

Spécialité mathématiques, 1ère générale

Second degré

Exercices de mathématiques - Trinôme du second degré et polynômes -
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Type: Exercices
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Description
Exercices de mathématiques - Trinôme du second degré et polynômes -
Niveau
Spécialité mathématiques, 1ère générale
Table des matières
  • Révisions
  • Résolution de l'équation du second degré
    • Définition générale et premiers exemples
    • Forme canonique
    • Résolution générale des équations du 2nd degré
  • Inéquation du second degré
  • Relation entre les coefficients d'un trinôme et ses racines
  • Polynômes
Mots clé
second degré, 2nd degré, trinôme, cours de mathématiques, maths, 1S, 1ère S, première

Quelques devoirs


Voir aussi:

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Source Latex 

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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
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\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

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\def\epsi{\varepsilon}
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\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
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\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


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  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
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  \vspq\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Trin\^ome du second degré - Exercices}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/premiere-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en première générale}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

%\vspace*{1em}


\hfill{%\LARGE \bf \TITLE}
\Large\bf
\TITLE
}
\hfill{\bgmp[m]{9em}Première générale\\spécialité maths\enmp}




\bgex
Développer et réduire les expressions: 
$A(x)=2x-3(3x-5)$ \qquad
$B(x)=2x(x-3)-4(x+2)$ \qquad
$C(x)=(2x-4)(2x+5)$ \qquad
$D(x)=(2x-3)^2$ \qquad
$E(x)=\lp\dfrac12x-1\rp^2$ \qquad
$F(x)=(2x-3)(2x+3)$
\enex

\bgex Vrai ou faux ? (en justifiant bien s\^ur\dots)\\[.3em]
\begin{tabular}{*2{p{8.3cm}}}
  a) $2$ est solution de l'équation $-x^2+3x-2=0$
  &b) $-3$ est solution de l'équation $x^2-2x+15=0$\\[.3em]
  c) Si $x=3$, $x^2+9x=(x+3)^2$ 
  &d) Pour tout réel $x$, $x^2+9x=(x+3)^2$\\[.3em]
  e)Si $2x^2=8$ alors $x=2$
\end{tabular}
\enex

\bgex
Simplifier: 
$a=\sqrt{16}$ ; \
$b=\sqrt8$ ; \ 
$c=\sqrt{75}$ ; \
$d=\dfrac{\sqrt{12}+\sqrt{36}}6$ ; \
$e=\dfrac{-6-\sqrt{27}}3$ ; \
$f=\dfrac{2-\sqrt{12}}2$
\enex

\bgex
Résoudre dans $\R$:
$E_1: x^2=8$ ; \
$E_2: 2x^2=-8$; \
$E_3: (x-1)^2=16$; \
$E_4: (3x+1)^2=5$; \\[.5em]
$E_5: (2x+1)(-3x+5)=0$; \
$E_6: (2x+3)^2-25=0$; \
$E_7: 3(x+2)^2-9=0$; \
$E_8: x^2+6x=0$; \
$E_9: 3x^2=7x$
\enex


\bgex
Pour chaque équation, identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$ puis la résoudre: 
$E_1: x^2-9=0$ ; \\[.5em]
$E_2: 2x^2+3x=0$ ; \hfill 
$E_3: (x+3)^2-4=0$ ; \hfill 
$E_4: -3(x-1)(x+2)=0$ ; \hfill 
$E_5: 2x^2+3=0$
\enex

\bgex
\bgen[$\bullet$]
\item Résolution de $(E_1):x^2+2x-8=0$. 

Compléter: $x^2+2x=(x+\dots)^2+\dots$, 
puis résoudre $(E_1)$. 

\vspd
\item Résolution de $(E_2):x^2+4x+5=0$. 

Compléter: $x^2+4x+5=(x+\dots)^2+\dots$, 
puis résoudre $(E_2)$.

\vspd
\item Résolution de $(E_3):2x^2-x-3=0$. 

Compléter: 
$2x^2-x-3=2\Bigl[\ \ \dots\ \ \Bigr]=2\Bigl[ (x+\dots)^2+\ \dots\ \Bigr]$,
puis résoudre $(E_3)$.
\enen
\enex


\bgex
Tracer l'allure des courbes représentatives des fonctions trin\^omes: \\[.4em]
  $P(x)=x^2+4x+3$ ; \ $P(x)=x^2-6x+5$ ; \ $P(x)=3x^2+3x+2$ ; \ $P(x)=-2x^2-8x+3$
\enex
  
\bgex
a) \'Ecrire sous forme canonique les trin\^omes: \\
  $P(x)=x^2+4x+3$ ; \ $P(x)=x^2-6x+5$ ; \ $P(x)=x^2+3x+2$ ; \ $P(x)=x^2-3x+3$
\\[.5em]
b) Résoudre alors les équations $P(x)=0$.
\enex

\bgex 
Calculer le discriminant des trinômes: 

\medskip
\begin{tabular}{*3{p{5.6cm}}}
a) $P(x)=x^2+x+1$ 
& b) $Q(x)=3x^2-2x+1$ 
& c) $R(x)=-x^2+3x-1$
\\[0.1cm]
d) $S(x)=-x^2-2x+10$
& e) $T(x)=-3x^2-x+2$
& f) $U(x)=x^2-2x+1$
\end{tabular}
\enex


\bigskip
\bgex Résoudre dans $\R$ l'équation $P(x)=0$, avec: \\[.1cm]
\begin{tabular}{*2{p{5.6cm}}p{6cm}}
a) $P(x)=x^2-3x+4$ 
&b) $P(x)=3x^2-\dfrac{7}{2}x+\dfrac{49}{48}$
&c) $P(x)=3x^2-x-4$ 
\\[0.2cm]
d) $P(x)=3x^2-27$
&e) $P(x)=6x^2-24x$
& f) $P(x)=3x^2-12+(x-2)(x+3)$
\end{tabular}
\enex

\bgex Factoriser les expressions suivantes: \\
a) $x^2-3x+2$
\hfill b) $x^2-7x+10$ 
\hfill c) $2x^2-5x+2$ 
\hfill d) $-3x^2+4x+4$
\hfill e) $-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x+1$
\hfill
\enex


\bgex
1. Déterminer un trinôme du second degré admettant $2$ et $-5$
  comme racines. \\\hspace*{7.6em}Quel est le signe de son discriminant ? \\
\hspace*{1em}2. Déterminer la fonction trinôme du second degré $f$ vérifiant: $f(2)=0$, $f(-3)=0$ et $f(1)=4$.
\enex
\clearpage
\bgex
Résoudre les équations: 

\begin{tabular}{llll}
  a) $x^3+6x^2-7x=0$
  &b) $x^4-3x^2+2=0$ 
& c) $2x^4+9x^2+4=0$ 
& d) $x^2-\dfrac{1}{x^2}=12$
\end{tabular}
\enex

\vspace{-.2cm}
\bgex
  Soit le polynôme 
  $P(x)=x^{4}+6x^{3}-11x^{2}-60x+100$\,.

  \bgen
  \item Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que la fonction
  trinôme du second degré $Q(x)=ax^2+bx+c$ vérifie la relation:
    $P(x)=(Q(x))^{2}$. 
  \item Résoudre alors l'équation $P(x)=0$.
  \item
    \bgen[a)]
    \item Trouver trois réels $a$, $b$, $c$ tels que 
      $x^{3}+6x^{2}+6x+5=(x+5)(ax^{2}+bx+c)$\,.
    \item Déterminer l'ensemble de définition de la fonction
  rationnelle $f$ suivante et la simplifier
  \vspace{-.2cm}
      \[f(x)=\dfrac{x^{4}+6x^{3}-11x^{2}-60x+100}{x^{3}+6x^{2}+6x+5}\]
    \enen
  \enen
\enex

\vspace{-.4cm}
\bgex
Déterminer le signe de $P(x)$ où, 

\begin{tabular}{llll}
a) $P(x)=x^2+4x-5$ 
& b) $P(x)=-x^2+x+6$ 
& c) $P(x)=3-2x+x^2$
& d) $P(x)=-x^2+x\sqrt{2}-1$
\end{tabular}
\enex

\bgex
Résoudre les inéquations: 

\begin{tabular}{lll}
a) $x^2+4x-4\leqslant0$ 
& b) $-x^2+x+6>0$ 
& c) $-2x^2+x+1<0$\\
 d) $2x^2-24x+12<-60$
& e) $29x\geqslant x^2-96$
& f) $m^2+m-20\leqslant0$
\end{tabular}
\enex

\vspace{-.2cm}
\bgex
Déterminer le réel $m$ pour que le trinôme 
$f(x)=-x^2+2x-m$ soit négatif pour tout~$x$. 
\enex


\vspace{-.3cm}
\bgex
Dresser le tableau de signe des expressions suivantes:
a) $f(x)=\dfrac{x^2+3x-4}{2x+1}$\\
b) $g(x)=2x+3+\dfrac1x$
\hfill c) $h(x)=x-\dfrac1x$
\hfill d) $k(x)=1-\dfrac{2}{2x^2-4x+5}$
\hfill e) $l(x)=-2x^3+3x^2-x$
\enex

\bgex
Soit $m$ un nombre réel, et $f$ la fonction trinôme définie par 
$f(x)=mx^2+4x+2(m-1)$. 

\bgen
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ l'équation $f(x)=0$ admet-elle
  une seule racine ? 
  Calculer alors cette~racine. 

\item Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ l'équation $f(x)=0$ admet-elle
  deux racines distinctes ? 

\item Quel est l'ensemble des réels $m$ pour lesquels 
  $f(x)<0$ pour tout réel $x$ ?
\enen
\enex

\vspace{-.2cm}
\bgex
Dans cet exercice, $f(x)$ désigne le trinôme $ax^{2}+bx+c$, avec $a\neq 0$.
Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses en justifiant les réponses :
\bgen
\item  Si pour tout réel $x$, $f(x)<0$, alors $\Delta<0$.
\item  S'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $f(\alpha)f(\beta)<0$,
  alors $\Delta\geq0$.
\item  Si $\Delta<0$, alors pour tout réel $x$, $f(x)<0$.
\item  Si $\Delta>0$ et si $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels tels que 
  $x'<\alpha<x''<\beta$ ($x'$ et $x''$ étant les racines du polynôme), alors
  $f(\alpha)f(\beta)<0$.
\enen
\enex

\bgex
Pour chacun des trinômes suivants, rechercher une racine évidente puis
calculer la deuxième racine. 
Vérifier les résultats à l'aide du calcul du discriminant. 

\vspd\noindent
\begin{tabular}{llll}
a) $P(x)=x^2+4x-5$  
& b) $Q(x)=x^2+7x+6$ 
& c) $R(x)=-x^2+x+6$ 
& d) $S(x)=x^2+x\sqrt{2}-4$
\end{tabular}
\enex

\bgex
Donner deux nombres réels dont la somme vaut $12$ et le produit $35$. 
\enex

\bgex
Quelles sont les dimensions d'un rectangle de périmètre $50m$ et
d'aire $114 m^2$ ?
\enex


\bgex
Soit $P(x)=6x^3-x^2-4x+3$. 
Calculer $P(-1)$ et en déduire une factorisation de $P(x)$ puis toutes
les solutions de l'équation $P(x)=0$.
\enex

\bgex
Soit $P(x)=2x^3+x^2-13x+6$. 
Vérifier que 2 est une racine de $P$ puis factoriser $P$.

Résoudre alors l'inéquation $P(x)\leqslant0$. 
\enex
% P(2)=16+4-26+6=0
% P(x)=(x-2)(2x-1)(x+3)

\bgex
Soit le polynôme $P(x)=2x^3-2x^2-8x+8$. 
Calculer $P(1)$ et $P(2)$ puis factoriser $P(x)$. 
Déterminer alors le signe de $P(x)$ suivant les valeurs de~$x$. 
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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