Source Latex
sujet du devoir
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% Generateur automatique de devoir, %
% par Y. Morel %
% https://xymaths.fr/Generateur-Devoirs/ %
% %
% Genere le: %
% mardi 06 décembre 2022 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
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\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
{\pagestyle{empty}}%
{%
\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
On consid\`ere un cube ABCDEFGH
et on appelle K le milieu du segment [BC].
On se place dans le rep\`ere
$\lp A~;~\V{AB},~\V{AD},~\V{AE}\rp$
et on consid\`ere le t\'etra\`edre EFGK.
On rappelle que le volume d'un t\'etra\`edre est donn\'e par:
\[V=\dfrac13\tm\mathcal{B}\tm h\]
o\`u $\mathcal{B}$ d\'esigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative \`a cette base.
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.5,5.8)
\psframe(0.2,0.2)(3.7,3.7)%ABFE
\psline(3.7,0.2)(5,1.9)(5,5.4)(3.7,3.7)%BCGF
\psline(5,5.4)(1.5,5.4)(0.2,3.7)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.5,1.9)(5,1.9)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.5,1.9)(1.5,5.4)%DH
\pspolygon[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](0.2,3.7)(5,5.4)(4.35,1.05)%EGK
\uput[dl](0.2,0.2){\small A}\uput[dr](3.7,0.2){\small B}\uput[r](5,1.9){\small C}
\uput[dr](1.5,1.9){\small D}\uput[l](0.2,3.7){\small E}\uput[r](3.7,3.7){\small F}
\uput[ur](5,5.4){\small G}\uput[ul](1.5,5.4){\small H}\uput[dr](4.35,1.05){\small K}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Pr\'eciser les coordonn\'ees des points E, F, G et K.
\item Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}\phantom{-}2\\-2\\\phantom{-}1\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan (EGK).
\item D\'emontrer que le plan (EGK) admet pour \'equation cart\'esienne : $2x - 2y + z - 1 = 0.$
\item D\'eterminer une repr\'esentation param\'etrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan (EGK)
passant par F.
\item Montrer que le projet\'e orthogonal L de F sur le plan (EGK) a pour coordonn\'ees $\lp\dfrac59~;~\dfrac49~;~\dfrac79\rp$.
\item Justifier que la longueur LF est \'egale \`a $\dfrac23$.
\item Calculer l'aire du triangle EFG. En d\'eduire que le volume du t\'etra\`edre EFGK est \'egal \`a $\dfrac16$.
\item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes l'aire du triangle EGK.
\item On consid\`ere les points P milieu du segment [EG], M milieu du segment [EK] et N milieu du segment[GK]. D\'eterminer le volume du t\'etra\`edre FPMN.
\end{enumerate}
\enex
\bigskip
\bgex
\paragraph{Partie I.}
Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par:
$g(x)=x^3-3x-4$.
\vsp
\bgen
\item \'Etudier le sens de variation de $g$ sur $\R$.
\vsp
\item D\'emontrer que l'\'equation $g(x)=0$ admet dans $\R$ une
solution unique que l'on notera $\alpha$.
Donner une valeur approch\'ee de $\alpha$ \`a $10^{-2}$ pr\`es.
\item D\'eterminer le signe de $g$ sur $\R$.
\enen
\vspace{-0.5cm}
\paragraph{Partie II.}
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R\setminus\la-1;1\ra$ par:
$\dsp f(x)=\frac{x^3+2x^2}{x^2-1}$. \\
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere orthonormal.
\vsp
\bgen
\item \'Etudier les limites de $f$ aux bornes de ses intervalles de
d\'efinition: en $-\infty$, $+\infty$, $-1$ et $1$.
En d\'eduire l'existence de deux asymptotes verticales dont on donnera
les \'equations.
\vsp
%\item Calculer la d\'eriv\'ee de $f$ sur $\R\setminus\la-1;1\ra$ et
% d\'eterminer son signe.
% \vsp
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\vsp
%\item Montrer que pour tout $x$ de $\R\setminus\la-1;1\ra$,
% $\dsp f(x)=x+2+\frac{x+2}{x^2-1}$.
% \vsp
\item On note $\Delta$ la droite d'\'equation $y=x+2$.
Déterminer la limite en $-\infty$ et $+\infty$ de
$f(x)-(x+2)$. \\
Interpréter graphiquement ces limites.
%\item \'Etudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$.
% \vsp
\item D\'eterminer les abscisses des points de $\mathcal{C}_f$
admettant une tangente parall\`ele \`a $\Delta$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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