Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Géométrie plane - Fonction exponentielle

Terminale générale, spécialité mathématiques

Géométrie plane - Fonction exponentielle

Devoir maison corrigé de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: géométrie plane analytique, vecteurs et équations de droites, exponentielle, tangente
Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
Télécharger le document pdf compilé pdficon
Description
Devoir maison corrigé de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: géométrie plane analytique, vecteurs et équations de droites, exponentielle, tangente
Niveau
Terminale générale, spécialité mathématiques
Table des matières
  • Orthogonalité dans un carré
  • Équation de droite parallèle, équation d'une hauteur
  • Équation d'une médiatrice - Intersection de deux droites
  • Géométrie avec des tangentes et des exponentielles
Mots clé
géométrie plane, géométrie analytique du plan, équations de droite, équations cartésienne, exponentielle, tangente, spécialité mathématiques, terminale générale

Sujet du devoir

Quelques autres devoirs


Voir aussi:

Documentation sur LaTeX lien vers la documentation Latex
Source Latex LaTex icone

Source Latex 

\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques terminale générale: calcul algébrique, dérivée, sens de variation, suite récurrence},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={calcul algébrique, dérivée, sens de variation, suite récurrence, devoir corrigé, Mathématiques, terminale générale spécialité mathématiques}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = blue,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1.4cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt       % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}   % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in}		% default=0.35in
\setlength{\parskip}{0ex}
\setlength{\parindent}{0mm}
\textheight=26.5cm
\textwidth=18.5cm
\topmargin=0cm
\headheight=-0.2cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.cm

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
\cfoot{}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Correction du devoir maison de math\'ematiques}}

\bigskip
{\Large{\bf Géométrie plane vectorielle et analytique}}

\noindent
\bgmp{13.6cm}
\bgex
$ABCD$ est un carré, et 
$\V{BI}=\dfrac{1}{5}\V{BC}$ et $\V{CJ}=\dfrac{1}{5}\V{CD}$. 

On calcule les coordonnées de $I$ et $J$. 

Soit $I\lp x_I;y_I\rp$, 
alors 
\[\V{BI}=\dfrac{1}{5}\V{BC}
\iff\la\bgar{l}
x_I-1=\dfrac15(1-1)=0\\
y_I-1=\dfrac15(0-1)=-\dfrac15\enar\right.
\iff\la\bgar{l}x_I=1\\y_I=\dfrac45\enar\right.\]

De m\^eme, soit $J\lp x_J;y_J\rp$, 
alors 
\[\V{CJ}=\dfrac{1}{5}\V{CD}
\iff\la\bgar{l}
x_J-1=\dfrac15(0-1)=-\dfrac15\\
y_J-0=\dfrac15(0-0)=0\enar\right.
\iff\la\bgar{l}x_J=\dfrac45\\y_J=0\enar\right.\]

\vsp
On a alors $\V{AI}(1;-\frac15)$ et $\V{BJ}(-\dfrac15;-1)$ et on peut calculer 
le produit scalaire 
\[\V{AI}.\cdot\V{BJ}=1\tm\lp-\dfrac15\rp+\lp-\dfrac15\rp\tm(-1)=0\]
ce qui montre que les vecteurs $\V{AI}$ et $\V{BJ}$ sont
orthogonaux. 
\enex
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1.2cm,arrowsize=9pt}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.2)(4,2.5)
  \pspolygon(0,0)(2.5,0)(2.5,2.5)(0,2.5)
  \psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{->}(0,0)(2.5,0)
  \psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,2.5)
  \rput(-0.2,2.7){$A(0,1)$}
  \rput(2.7,2.7){$B(1,1)$}
  \rput(2.7,-0.3){$C(1,0)$}\rput(-0.2,-0.2){$D(0,0)$}
  \psline(0,2.5)(2.5,2)\rput(2.7,2){$I$}
  \psline(2,0)(2.5,2.5)\rput(1.9,-0.25){$J$}
\end{pspicture}
\enmp



\bgex
$ABC$ est un triangle tel que 
$A(3;-2)$, $B(0;-1)$ et $C(1;3)$. 

\vsp
\bgen[a)]
\item Soit $M(x;y)$ un point quelconque de la droite parallèle à $(AB)$ passant par $C$,
  alors
  \[\bgar{ll}
  &\V{CM} \text{ et } \V{AB} \text{ sont colinéaires }\\
  \iff & \det\lp\V{CM},\V{AB}\rp=0\enar\]
  soit, avec $\V{CM}(x-1;y-3)$ et $\V{AB}(-3;1)$,
  on obtient l'équation de la droite: 
  \[\det\lp\V{CM},\V{AB}\rp
  =1(x-1)-(y-3)(-3)
  =x+3y-10=0
  \]
  
\item La hauteur $d'$ issue de $C$ dans le
  triangle $ABC$ est la droite qui passe par $C$ et perpendiculaire à $[AB]$. 

  \medskip
  Soit $M(x;y)$ un point quelconque de $d'$, alors 
  \[\bgar{ll}\V{CM}\cdot\V{AB}=0
  &\iff\lp x-1\rp\tm(-3)+\lp y-3\rp\tm1=0\\
  &\iff -3x+y=0 
  \enar\]
  qui est l'équation cartésienne de la hauteur $d'$ 
  (son équation réduite est alors 
  $y=3x$). 
\enen 
\enex



\bgex
\bgen
\item Soit $C$ le milieu de $[AB]$, alors $C$ a pour coordonn\'ees 
  $C\lp\dfrac{2+1}{2};\dfrac{-1+3}{2}\rp$, 
  soit $C\lp\dfrac{3}{2};1\rp$. 

  De plus, 
  $M(x;y)\in T\iff \V{CM}\perp\V{AB}
  \iff \V{CM}\cdot\V{AB}=0$. 

  On a les coordonn\'ees des vecteurs: 
  $\V{CM}\lp x-\dfrac{3}{2};y-1\rp$ et 
  $\V{AB}(-1;4)$, 
  d'o\`u, 
  \[\V{CM}\cdot\V{AB}=0
  \iff 
  \lp x-\dfrac{3}{2}\rp\tm(-1)+\lp y-1\rp\tm(4)=0
  \iff
  -x+4y-\dfrac{5}{2}=0
  \]
  La m\'ediatrice $T$ a donc pour \'equation: 
  $-x+4y-\dfrac{5}{2}=0$.

\item \ 

  \begin{pspicture}(-4,-4)(4,3.5)
    \psline[arrowsize=5pt]{->}(-3.5,0)(3.5,0)
    \psline[arrowsize=5pt]{->}(0,-3.5)(0,3.5)
    \multido{\i=-3+1}{7}{
      \psline(-0.1,\i)(0.1,\i)\rput(-0.3,\i){$\i$}
      \psline(\i,-0.1)(\i,0.1)\rput(\i,-0.3){$\i$}
    }
    \psplot{-3}{3}{-1 x mul -1 add}\rput(-3,1.7){$D$}
    \psplot{-3.2}{3}{0.25 x mul 5 8 div add}\rput(3,1.6){$T$}
    \psline(2,-1)(1,3)
    \rput(2,-1){$\tm$}\rput(2.2,-1.2){$A$}
    \rput(1,3){$\tm$}\rput(1.2,3.2){$B$}
    \rput(-1.2,0.6){$I$}
  \end{pspicture}

\item Soit $I(x;y)$, 
  alors, 
  \[
  I\in D\cup T
  \iff
  \la\bgar{ll}
  x+y+1=0 \\
  -x+4y-\dfrac{5}{2}=0
  \enar\right.
  \iff
  \la\bgar{ll}
  x+y=-1 \\
  -x+4y=\dfrac{5}{2}
  \enar\right.
  \iff 
  \la\bgar{ll}
  x=-\dfrac{13}{10} \\
  y=\dfrac{3}{10}
  \enar\right.
  \]
  Ainsi, les coordonn\'ees de $I$ sont 
  $I\lp -\dfrac{13}{10};\dfrac{3}{10}\rp$. 

\enen
\enex


\vspace{2em}

{\Large{\bf Analyse}}



\bgex
\textit{D'après Bac Antilles Guyane 2017}
\bgen[a)]
\item 
  \[\psset{unit=2.6cm,arrowsize=8pt}\begin{pspicture*}(-3.2,-1.5)(3.2,3.5)
    \psline{->}(-3.3,0)(3.5,0)
    \psline{->}(0,-1.3)(0,3.4)
    \multido{\i=-3+1}{7}{\psline(\i,-.05)(\i,.05)\rput(\i,-.2){$\i$}}
    \multido{\i=-1+1}{5}{\psline(-.05,\i)(.05,\i)\rput[r](-.05,\i){$\i$}}
    \psplot[linewidth=1.6pt]{-5}{3}{2.718 x exp}
    \psplot[linewidth=1.6pt]{-3}{5}{2.718 -1 x mul exp}
    \psline[linestyle=dashed](.5,0)(!.5\space 2.718 .5 exp)
    \rput(.5,-.2){$x$}
    \rput(.65,.7){$N$}\rput(.65,1.6){$M$}
    \psplot{-3}{3}{2.718 .5 exp x .5 add mul}
    \psplot{-3}{3}{2.718 -.5 exp -1 mul x 1.5 sub mul}
    \rput(-.45,-.2){$P$}
    \rput(1.5,-.2){$Q$}
  \end{pspicture*}\]
\item 
La tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ a pour équation 
\[\bgar{ll}y&=f'(a)(x-a)+f(a)=e^a(x-a)+e^a\\[.4em]
&=e^ax+e^a(1-a)\enar\]
Une équation cartésienne de cette droite est 
$e^ax-y+e^a(1-a)=0$, 
et donc $\vec{u}\lp e^a;-1\rp$ est un vecteur normal à cette droite. 

\medskip
De m\^eme, la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$ a pour équation 
\[\bgar{ll}y&=g'(a)(x-a)+g(a)=-e^{-a}(x-a)+e^{-a}\\[.4em]
&=-e^{-a}x+e^{-a}(1+a)\enar\]
Une équation cartésienne de cette droite est 
$e^{-a}x+y-e^{-a}(1+a)=0$ 
et donc 
$\vec{v}\lp e^{-a};1\rp$ est un vecteur normal à cette droite. 

\medskip
On a $\vec{u}\cdot\vec{v}=e^ae^{-a}-1=1-1=0$, 
ce qui montre que ces vecteurs sont orthogonaux, comme ces deux tangentes, 
qui sont donc perpendiculaires. 

\item On détermine les abscisses des points $P$ et $Q$, qui sont à 
  l'intersection des deux tangentes et de l'axe des abscisses. 

  On a donc, pour le point $Q$, 
  $y=0=-e^{-a}x+e^{-a}(1+a)\iff x=1+a$. 

  De m\^eme, pour le point $P$, 
  $y=0=e^ax+e^a(1-a)\iff x=-1+a$.

  On en déduit donc que $PQ=1+a-(-1+a)=2$ et ne dépend 
  donc pas de l'abscisse $a$ des points $M$ et $N$. 
\enen
\enex




\label{LastPage}
\end{document}

Télécharger le fichier source Latex