Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Loi binomiale - Equation différentielle - SUite récurrente
Terminale générale, spécialité mathématiques
Loi binomiale - Equation différentielle - SUite récurrente
Devoir de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: suites, équation différentielle, primitives, convexité- Fichier
- Type: Corrigé de devoir
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- Description
- Devoir de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: suites, équation différentielle, primitives, convexité
- Niveau
- Terminale générale, spécialité mathématiques
- Table des matières
- Deux primtives
- Probabilité & loi binomiale
- Solution d'une équation différentielle, étude de fonction et convexité
- Suite récurrente
- Mots clé
- équation différentielle, primitives, convexité, suites
- Sujet du devoir
- Voir aussi:
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Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}} \cfoot{} \rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %\thispagestyle{empty} \vspace*{-2.5em} \ct{\bf\Large{Devoir de math\'ematiques}} \bgex $F(x)= -\dfrac32x^4+2\ln(x)+k$ et $G(x)= \dfrac29\ln\lp3x^3+5\rp+k$ \enex \bgex \bgen[a)] \item On répète $n=52$ fois (52 semaines dans une année) l'expérience aléatoire "jouer à ce jeu", dont le succès est d'y gagner avec la probabilité $p=1/50=0,02$. On peut raisonnablement supposer ces répétitions identiques et indépendantes, et on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès. On sait alors que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=52$ et $p=0,02$, et donc que la probabilité de gagner au moins une fois est \[P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0,98^{52}\simeq 0,65 = 65\%\] La probabilité de gagner en moins d'un an est au plus de 65\%, et donc tout joueur ne gagne pas en moins d'un an: l'annonce est fausse. \item On cherche cette fois le nombre $n$ de jours. De m\^eme que précédemment, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,02$, et la probabilité de gagner au moins une fois en $n$ jours est \[P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0,98^n\] On cherche donc $n$ tel que \[\bgar{rl}P(X\geq1)=1-0,98^n\geq0,99 \iff&0,98^n\leq1-0,99=0,01\\ \iff&n\ln(0,98)\leq\ln(0,01)\\ \iff&n\geq\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,98)}\enar\] car $\ln(0,98)<0$. \\ On trouve donc \[n\geq\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,98)}\simeq227,9\] et donc, il faudrait jouer au moins $n=228$ semaines consécutives, soit environ quatre ans et demi. \enen \enex \bgex On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par l'expression $f(x)=1-e^{-2x^2}$. \bgen \item On a $f=1-e^u$, avec $u(x)=-2x^2$ donc $u'(x)=-4x$, d'où $f'=-u'e^u$, ou encore $f'(x)=4xe^{-2x^2}$. On calcule alors \[f((x)+4xf(x)=4xe^{-2x^2}+4x\lp1-e^{-2x^2}\rp=4x\] ce qui montre que $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$. \item On a $\dsp\lim_{x\to-\infty}x^2=\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty$, et donc $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^{-x^2}=\lim_{x\to+\infty}e^{-x^2}=0$, d'où \[\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=1\] On en déduit que la droite d'équation $y=1$ est asymptote verticale à la courbe de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. \item On a trouvé que $f'(x)=4xe^{-2x^2}$. \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ &$-\infty$ && 0 && $+\infty$ \\\hline $4x$ && $-$ &0&$+$&\\\hline $e^{-2x^2}$ && $+$ &$|$&$+$&\\\hline $f'(x)$ && $-$ &0&$+$&\\\hline &1&&&&1\\ $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&0&&\\\hline \end{tabular}\] \item La convexité de $f$ est donnée par le signe de sa dérivée seconde: $f'=4uv$, avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$, et $v(x)=e^{-2x^2}$ donc $v'(x)=-4xe^{-x^2}$. On a alors $f''=4\lp u'v+uv'\rp$, soit \[\bgar{ll}f''(x)&=4\lp e^{-2x^2}-4x^2e^{-2x^2}\rp\\ &=4e^{-2x^2}\lp1-4x^2\rp\enar\] Le trin\^ome du second degré $1-4x^2$ admet deux racines: \[1-4x^2=0\iff x^2=\dfrac14\iff x=\pm\dfrac12\] et donc \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ &$-\infty$ && $-1/2$ && $1/2$ && $+\infty$ \\\hline $e^{-2x^2}$ && $+$ & $|$ & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline $1-4x^2$ && $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ & \\\hline $f"(x)$ && $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ & \\\hline $f$ && concave &$|$& convexe &$|$& concave & \\\hline \end{tabular}\] \enen \enex \bgex {\it D'après Bac S, 20 juin 2013} \begin{enumerate} %\item % \begin{enumerate}[a.] % \item On calcule les premiers termes, par exemple en utilisant le % mode r\'ecurrence de la calculatrice, et on obtient: % % $u_1 = 2+\dfrac13 \approx2,33$;\quad % $u_2 = 2+\dfrac89 \approx 2,89$;\quad % $u_3 = 3+\dfrac{16}{27} \approx 3,59$;\quad % $u_i = 4+\dfrac{32}{81} \approx 4,40$ % % \item On peut donc \'emettre la conjecture que la suite est % croissante. On pourra en tout cas affirmer qu'elle n'est pas % d\'ecroissante. % \end{enumerate} \item \begin{enumerate}[a.] \item Nous allons montrer par r\'ecurrence, pour tout entier naturel $n$, la propri\'et\'e $\mathcal{P}_n$: $u_n \leqslant n+3$. \emph{Initialisation} : Puisque l'on a $u_0 =2$ et $0 + 3 = 3$, on v\'erifie bien : $u_0 \leqslant 0 + 3$ : \emph{la propri\'et\'e }$\mathcal{P}_0$\emph{ est bien vraie.} \vspd \emph{H\'er\'edit\'e :} Pour un entier $k$ naturel donn\'e, on suppose la propri\'et\'e $\mathcal{P}_k$ vraie. On a $u_{k+1} = \dfrac23 u_k + \dfrac13 k+1$. Par hypoth\`ese de r\'ecurrence : $u_k \leqslant k+3$ En multipliant par un nombre positif: $\dfrac23 u_k \leqslant \dfrac23 (k+3)$, soit $\dfrac23 u_k \leqslant \dfrac23 k + 2$ Puis, en ajoutant un m\^eme nombre dans chaque membre : $\dfrac23 u_k + \dfrac13 k + 1\leqslant \dfrac23 k +2+ \dfrac13 k + 1$ Ce qui donne : $u_{k+1} \leqslant k + 3 \leqslant k+4$. On a donc $u_{k+1} \leqslant (k+1) + 3$, c'est \`a dire que la propri\'et\'e $\mathcal{P}_{k+1}$ est encore vraie. \emph{Conclusion:} Puisque la propri\'et\'e $\mathcal{P}_0$ est vraie et que nous avons prouv\'e l'h\'er\'edit\'e, on peut en d\'eduire que pour tout entier naturel $n$, on a $\mathcal{P}_n$ vraie, c'est \`a dire que pour tout entier naturel $n$, on a bien $u_n \leqslant n+3$. \item $u_{n+1}-u_n = \dfrac23 u_n + \dfrac13 n +1 - u_n = -\dfrac13 u_n + \dfrac13 n + \dfrac33 $ On a donc bien $u_{n+1}-u_n = \dfrac13 \times (- u_n + n +3) = \dfrac13(n+3 - u_n)$. \item Comme on l'a montr\'e \`a la question pr\'ec\'edente, pour tout $n$ naturel, on a $u_n \leqslant n+3$ ce qui \'equivaut \`a dire que la diff\'erence $n+3 - u_n$ est positive, et elle le reste en \'etant multipli\'ee par $\dfrac13$, donc la diff\'erence entre deux termes cons\'ecutifs \'etant positive, on confirme bien que notre conjecture \'etait correcte : la suite $(u_n)$ est bien croissante, d\`es le rang 0. \end{enumerate} \item \begin{enumerate}[a.] \item Exprimons, pour un entier $n$ naturel quelconque, $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$: $v_{n+1} = u_{n+1} - (n+1) = \dfrac23 u_n + \dfrac13 n +1 - n - 1 = \dfrac23 u_n - \dfrac23 n = \dfrac23 (u_n - n) $ Donc $v_{n+1} = \dfrac23 v_n$. La relation de r\'ecurrence obtenue confirme que la suite $(v_n)_{n \in \N}$ est bien g\'eom\'etrique de raison $q=\dfrac23$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 0 = 2$. \item On peut donc en d\'eduire que pour totu entier $n$, $v_n = v_0 \times q^n = 2\left(\dfrac23\right)^n$. Enfin, puisque l'on a, pour tout $n$, $v_n = u_n - n$, on en d\'eduit : $u_n = v_n + n= 2\left(\dfrac23\right)^n + n$. Puisque la raison $-1<q=2/3<1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac23\rp^n=0$, puis, par addition des limites, $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$. \end{enumerate} \enen \enex \label{LastPage} \end{document}
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