Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques, Etude de fonction et convexité

Terminale générale, spécialité mathématiques

Etude de fonction et convexité

Devoir de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: convexité, position relative, TVI
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Type: Devoir
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Description
Devoir de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: convexité, position relative, TVI
Niveau
Terminale générale, spécialité mathématiques
Table des matières
  • QCM (Baccalauréat général, spécialité mathématiques, Métropole 7 juin 2021)
  • Intersection et position relative - Distane maximale entre deux points sur deux courbes (Baccalauréat, terminale générale spécialité mathématiques, 15 mars 2021)
  • Étude fonction et convexité (Baccalauréat général, spécialité mathématiques, Métropole 8 juin 2021)
Mots clé
convexité, point d'inflexion, position relative, TVI

Corrigé du devoir

Quelques autres devoirs


Voir aussi:

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques: convexité - position relative},
    pdftitle={Devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={convexité, position relative, devoir corrigé, Mathématiques, terminale générale spécialité mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt       % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}   % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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	\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \href{/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/Sujets-Devoirs-Corriges/2020-2021/}{xymaths - Terminale, spécialité maths/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\vspace*{-.5cm}
\hfill{\bf\Large{Devoir de math\'ematiques}}\hfill\fbox{B}

\vspace*{.5cm}

\bgex %\textbf{QCM - Baccalauréat général, spécialité mathématiques, Métropole 7 juin 2021}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
 Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
 Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni
n'enlève de point.\\
 Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de
la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.}

\vspace{0.7cm}

Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par:
$f(x) =\dfrac{e^{2x}}{x}$. 
\\[.4em]
On donne l'expression de la dérivée seconde $f''$ de $f$, définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par:
\[f''(x)=\dfrac {2e^{2x} (2x^2-2x+1)}{x^3}\]


\begin{enumerate}
\item La fonction $f'$, dérivée de $f$, est définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par:

\begin{tabular}{*2{lp{7cm}}}
\textbf{a.}& $f'(x) = 2e^{2x}$
&\textbf{b.}& $f'(x)=\dfrac{e^{2x}(x-1)}{x^2} $\\[0.35cm]
\textbf{c.}& $ f'(x) = \dfrac{e^{2x}(2x - 1)}{x^2}$
& \textbf{d.}& $f'(x)=\dfrac{e^{2x}(1 + 2x)}{x^2} $.\\
\end{tabular}

\item La fonction $f$ :

\begin{tabular}{*2{lp{7cm}}}
\textbf{a.}& est décroissante sur $]0~;~+\infty[$ 
&\textbf{b.}& est monotone sur $]0~;~+\infty[$\\
\textbf{c.}& admet un minimum en $\dfrac{1}{2}$
& \textbf{d.}& admet un maximum en $\dfrac{1}{2}$.
\end{tabular}
\item La fonction $f$ admet pour limite en $+\infty$ :

\begin{tabular}{*2{lp{7cm}}}
\textbf{a.}& $+\infty $ 
&\textbf{b.}& $0$\\
\textbf{c.}&$1$
& \textbf{d.}& $e^{2x}$.
\end{tabular}
\item La fonction $f$ :

\begin{tabular}{*2{lp{7cm}}}
\textbf{a.}& est concave sur $]0~;~+\infty[$ 
&\textbf{b.}& est convexe  $]0~;~+\infty[$\\
\textbf{c.}& est concave sur $\left]0~;~\frac{1}{2}\right]$
& \textbf{d.}& est représentée par une courbe
admettant un point d'inflexion.\\
\end{tabular}


\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, \, $u_{n+1} = 0,75u_n +5$.

On considère la fonction \og seuil \fg{} suivante écrite en Python :

\[\begin{tabular}{|l|}\hline
def seuil () :\\
\quad u = 2\\
\quad n = 0\\
\quad while u $<$ 45 :\\
\qquad u = 0,75*u + 5\\
\qquad n = n+1\\
\quad return n\\ \hline
\end{tabular}\]

Cette fonction renvoie :

\begin{tabular}{*2{lp{7.8cm}}}
\textbf{a.}& la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n \geqslant  45$ 
&\textbf{b.}& la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n  < 45$
\\
\textbf{c.}& la plus grande valeur de $n$ telle que $u_n \geqslant 45$.
\end{tabular}
\end{enumerate}
\enex

\clearpage
\bgex
Le graphique suivant représente, dans un repère orthogonal, les courbes 
$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par:
\[f(x) = x^2e^{-x}\quad \text{ et } \quad g(x) = e^{-x}\]
\[\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1)(2.5,9)
\multido{\n=0+2}{5}{\psline[linewidth=0.1pt,linestyle=dashed](-2.5,\n)(2.5,\n)}
\multido{\n=-2+1}{5}{\psline[linewidth=0.1pt,linestyle=dashed](\n,-1)(\n,9)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2]{->}(0,0)(-2.5,-1)(2.5,9)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{-2.5}{2.5}{x dup mul 2.71828 x exp div}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=2000]{-2.5}{2.5}{2.71828 x neg exp}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](-0.6,-1)(-0.6,9)
\psdots(-0.6,0.656)(-0.6,1.822)
\uput[r](-0.6,0.656){\footnotesize $N$}\uput[r](-0.6,1.822){\footnotesize $M$}
\uput[r](-1.4,7){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[l](-2.1,7.4){\red $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture*}
\]

%\textbf{La question 3 est indépendante des questions 1 et 2.}
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
  \item \'Etudier la position relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
  \end{enumerate}
\item  Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-1~;~1]$, 
  on considère les points $M$ de coordonnées $(x~;~f(x))$ et $N$ 
  de coordonnées $(x~;~g(x))$, et on note $d(x)$ la distance $MN$. 
  On admet que : $d(x)= e^{-x} - x^2e^{-x}$.

  On admet que la fonction $d$ est dérivable sur l'intervalle $[-1~;~1]$ et on note $d'$ sa fonction dérivée.
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Montrer que $d'(x) = \text{e}^{-x}\left(x^2 - 2x - 1\right)$. 
  \item En déduire les variations de la fonction $d$ sur l'intervalle $[-1~;~1]$.
  \item Déterminer l'abscisse commune $x_0$ des points $M_0$ et $N_0$ permettant d'obtenir une distance $d\left(x_0\right)$ maximale, et donner une valeur approchée à $0,1$ près de la distance $M_0N_0$.
  \end{enumerate}
\item  Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = x + 2$.

  On considère la fonction $h$ dérivable sur $\R$ et définie par: 
  $h(x) = e^{-x} - x - 2$.

  En étudiant le nombre de solutions de l'équation $h(x) = 0$, 
  déterminer le nombre de points d'intersection de la droite $\Delta$ 
  et de la courbe $\mathcal{C}_g$.
\end{enumerate}
\enex


\clearpage
\bgex
\begin{center}\textbf{Partie 1}\end{center}

On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la
fonction dérivée $f'$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$.

\`A l'aide de cette courbe, conjecturer, en justifiant les réponses : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
\item La convexité de la fonction $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\[\psset{unit=1.2cm,arrowsize=8pt 3}
\begin{pspicture*}(-3.25,-2)(5.25,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt](-2,-1)(4,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-2,-1.25)(4,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{4}{1 x add 2.71828 x exp div  neg}
\rput(1,-1.5){Courbe représentant la \textbf{dérivée} $f'$ de la fonction $f$.}
\end{pspicture*}\]

\smallskip

\begin{center}\textbf{Partie 2}\end{center}

\smallskip

On admet que la fonction $f$ mentionnée dans la Partie 1 est définie sur $\R$ par :
\[f(x) = (x + 2)e^{-x}\]
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\lp O;\vec{i},\vec{i}\rp$.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$, 
et on note $f'$ et $f''$ les fonctions dérivées première et seconde 
de $f$ respectivement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$,
  $f(x) = \dfrac{x}{e^{x}}+ 2e^{-x}$. 

  En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.

  Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l'on précisera.

  On admet que $\dsp\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
\item 
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$,\, $f'(x)=(-x-1)e^{-x}$.
  \item \'Etudier les variations sur $\R$ de la fonction $f$ 
    et dresser son tableau de variations.
  \item Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ 
    sur l'intervalle $[-2~;~-1]$ dont on donnera une valeur approchée 
    à $10^{-1}$ près.
  \end{enumerate}
\item Déterminer, pour tout nombre réel $x$, l'expression de $f''(x)$ et étudier la convexité de la fonction~$f$. 

Que représente pour la courbe $\mathcal{C}$ son point A d'abscisse $0$ ?
\end{enumerate}

\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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