Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques, Bac blanc

Terminale générale, spécialité mathématiques

Bac blanc

Bac blanc de mathématiques, exponentielle, probabilité (arbre, conditionnelle et loi binomiale), géométrie dans l'espace, suite récurrente
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Type: Devoir
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Description
Bac blanc de mathématiques, exponentielle, probabilité (arbre, conditionnelle et loi binomiale), géométrie dans l'espace, suite récurrente
Niveau
Terminale générale, spécialité mathématiques
Table des matières
  • Fonction exponentielle
  • Géométrie dans l'espace
  • Probabilités, loi binomiale et arbre pondéré
  • Suite récurrente et python
Mots clé
géométrie dans l'espace, probabilité, arbre, probabilité conditionnelle, loi binomiale, exponentielle et suite

Corrigé du devoir

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    \documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
\usepackage[french]{babel}
\selectlanguage{french}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-all}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt       % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}   % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\large\bf Exercice \arabic{nex}}}}\,\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
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\voffset=-1.7cm
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\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.3cm

\usepackage{ifthen}
\usepackage{fancyhdr}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
{\pagestyle{empty}}%
{%
\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}
\vspace*{.5cm}
    \begin{center}
    \textbf{\Large BACCALAUREAT  BLANC \\
    \vspace{1cm}
    2022\\
    \vspace{1cm}
    MATHEMATIQUES\\
    \vspace{2cm}
    -- \'EPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SP\'ECIALIT\'E --}\\
    \vspace{2cm}
    \textbf{\textit{Durée de l'épreuve : 4 heures}}

    \vspace{1cm}

    \textbf{L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé}\\
    \textbf{L'usage de la calculatrice sans mémoire, \og type collège \fg\, est autorisé}

    \vspace{.6cm}
    \ct{\fbox{\bgmp{18cm}\textit{Le sujet comporte 4 exercices indépendants.\\
          Le candidat doit traiter \textbf{trois exercices} de ces exercices au choix. \\
Chaque exercice est noté sur six points; la clarté et la précision de l'argumentation ainsi que la qualité de la rédaction comptera à hauteur de deux points dans la note finale. \\
          Dans chaque exercice, le candidat peut admettre
          un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder
          les questions suivantes, à condition de l'indiquer
          clairement sur sa copie.\\
          Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute
          trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse qu'il
          aura développée.\\\, }\enmp}}
    \end{center}
    \vspace{2cm}
    \textbf{\textit{Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien \pageref{LastPage} pages numérotées de 1/\pageref{LastPage} à \pageref{LastPage}/\pageref{LastPage}.}}
    \vspace{0.5cm}\\
\clearpage

\newlength{\its}\newlength{\itsa}
\setlength{\its}{1.8em}\setlength{\itsa}{1.em}


\bgex %Antille-Guyane, 18 juin 2019, exercice 1
\textbf{\ul{Thème\!:} fonction exponentielle}

\medskip

\textbf{Partie A}

Soit $a$ et $b$ des nombres réels. On considère une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(x)=\dfrac{a}{1+e^{-bx}}.\]

La courbe $\mathcal{C}_f$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée
ci-dessous.

La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point A(0~;~0,5).
La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A passe par le point B(10~;~1).

\[\psset{xunit=0.675cm,yunit=4.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.05)(20,1,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(20,1.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{1 1 2.71828 x 0.2 mul neg exp add div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{14}{x 0.05 mul 0.5 add}
\psdots(10,1)\uput[ul](10,1){B}
\uput[u](17,0.95){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $a=1$.

On obtient alors, pour tout réel $x \geqslant 0$, \ 
$f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-bx}}$.

\item  On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction
dérivée.

Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0$
\[f'(x)=\dfrac{be^{-bx}}{\lp1+e^{-bx}\rp^2}.\]
\item  En utilisant les données de l'énoncé, déterminer $b$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

La proportion d'individus qui possèdent un certain type d'équipement dans une
population est modélisée par la fonction $p$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par
\[p(x)=\dfrac{1}{1+e^{-0,2x}}.\]
Le réel $x$ représente le temps écoulé, en année, depuis le 1\up{er} janvier 2000.

Le nombre $p(x)$ modélise la proportion d'individus équipés après $x$ années.

Ainsi, pour ce modèle, $p(0)$ est la proportion d'individus équipés au 1\up{er} janvier 2000 et $p(3,5)$ est la proportion d'individus équipés au milieu de l'année 2003.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est, pour ce modèle, la proportion d'individus équipés au 1er janvier
2010? On en donnera une valeur arrondie au centième.
\item 
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Déterminer le sens de variation de la fonction $p$ sur $[0~;~+\infty[$.
    \item Calculer la limite de la fonction $p$ en $+\infty$.
    \item Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
  \end{enumerate}
\item  On considère que, lorsque la proportion d'individus équipés dépasse 95\,\%, le
marché est saturé.
	
Déterminer, en expliquant la démarche, l'année au cours de laquelle cela se
produit.
\item
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0$,
    $p(x) = \dfrac{e^{0,2x}}{1 + e^{0,2x}}$. 
  \item En déduire une primitive $P$ de la fonction $p$. 
    
  \item La proportion moyenne d'individus équipés entre 2008 et 2010
    est donnée par le nombre 
    %\[m = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_8^{10} p(x)\:\text{d}x.\]
    \mbox{$m=\dfrac{P(10)-P(8)}2$}. 
    
    %Déterminer la valeur exacte de $m$ et son arrondi au centième.
    Déterminer une valeur arrondie au centième de $m$. 
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\enex

\bigskip


\bgex % Pondichéry, 4 mai 2018, exercice 4
\textbf{\ul{Thème\!:} géométrie dans l'espace}
\medskip

Dans l'espace muni du repère orthonormé $\lp O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\rp$ d'unité 1~cm, on considère les points
A, B, C et D de coordonnées respectives (2~;~1~;~4), $(4~;~-1~;~0)$, $(0~;~3~;~2)$ et $(4~;~3~;~-2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CD).
\item Soit M un point de la droite (CD).
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Déterminer les coordonnées du point M tel que la distance BM soit minimale.
  \item On note H le point de la droite (CD) ayant pour coordonnées $(3~;~3~;~- 1)$.
    Vérifier que les droites (BH) et (CD) sont perpendiculaires.
  \item Montrer que l'aire du triangle BCD est égale à 12 cm$^2$.
  \end{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$  est un vecteur normal au plan (BCD).
  \item Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).
  \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par A et orthogonale
    au plan (BCD).
  \item Démontrer que le point I, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (BCD) a pour
    coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{8}{3}\right)$.
  \end{enumerate}
\item  Calculer le volume du tétraèdre ABCD.
\end{enumerate}

\enex


\bigskip
\bgex %Centres étrangers 8 juin 2016, exercice 3
\textbf{\ul{Thème\!:} probabilités}
\medskip

Un institut effectue un sondage pour connaître, dans une population donnée, la proportion de personnes qui sont favorables à un projet d'aménagement du territoire. Pour cela, on interroge un échantillon aléatoire de personnes de cette population, et l'on pose une question à chaque personne.

\bigskip

\emph{Les deux parties sont relatives à cette même situation, mais peuvent être traitées de manière indépendante.}

\bigskip

\textbf{Partie A : Nombre de personnes qui acceptent de répondre au sondage}


\bigskip

On admet dans cette partie que la probabilité qu'une personne interrogée accepte de répondre à la question est égale à 0,6.
\begin{enumerate}
\item L'institut de sondage interroge 700 personnes. On note $X$ la variable aléatoire correspondant  au nombre de personnes interrogées qui acceptent de répondre à la question posée.

\begin{enumerate}[a)]
\item Quelle est la loi de la variable aléatoire $X$ ? Justifier la réponse.

\item Quelle est la meilleure approximation de $P(X\geqslant 400)$ parmi les nombres suivants ?
\[0,92\hspace{2cm} 0,93\hspace{2cm}0,94\hspace{2cm}0,95.\]
\end{enumerate}

\item Combien de personnes l'institut doit-il interroger au minimum pour garantir, avec une probabilité supérieure à 0,9, que le nombre de personnes répondant au sondage soit supérieur ou égal à 400.

\end{enumerate}


\bigskip


\textbf{Partie B : Correction due à l'insincérité de certaines réponses}

\medskip

Dans cette partie, on suppose que, parmi les personnes sondées qui ont accepté de répondre à la question posée, 29\:\% affirment qu'elles sont favorables au projet.

L'institut de sondage sait par ailleurs que la question posée pouvant être gênante pour les personnes interrogées, certaines d'entre elles ne sont pas sincères et répondent le contraire de leur opinion véritable. Ainsi, une personne qui se dit favorable peut :

\begin{itemize}
\item soit être en réalité favorable au projet si elle est sincère.
\item soit être en réalité défavorable au projet si elle n'est pas sincère.
\end{itemize}

Par expérience, l'institut estime à 15\:\% le taux de réponses non sincères parmi les personnes ayant répondu, et admet que ce taux est le même quelle que soit l'opinion de la personne interrogée.

Le but de cette partie est, à partir de ces données, de déterminer le taux réel de personnes favorables au projet, à l'aide d'un modèle probabiliste. On prélève au hasard la fiche d'une personne ayant répondu, et on définit :
 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $F$  l'évènement \og{}la personne est en réalité favorable au projet\fg{} ;
\item[$\bullet$] $\overline{F}$  l'évènement \og{}la personne est en réalité défavorable au projet\fg{} ;
\item[$\bullet$] $A$ l'évènement \og{}la personne affirme qu'elle est favorable au projet\fg{};
\item[$\bullet$] $\overline{A}$ l'évènement \og{}la personne affirme qu'elle est défavorable au projet\fg{}.
\end{itemize}
Ainsi, d'après les données, on a $p(A) = 0,29$.

\begin{enumerate}
\item En interprétant les données de l'énoncé, indiquer les valeurs de $P_F(A)$ et $P_{\overline{F}}(A)$.

\item \vspace{-7.5em}

  \parbox[t]{9cm}{On pose $x=P(F)$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilité ci-contre.

\item En déduire une égalité vérifiée par $x$
\end{enumerate}}\hfill\parbox{8cm}{
  \[\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.5cm}
  \begin{pspicture}(2,-3)(3,10)
    \psline(1.5,-1.5)(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$F$}\rput(0.8,1.2){$x$}
    \rput(1.75,-1.5){$\overline{F}$}\rput(0.8,-1.4){$1-x$}
    \psline(3.5,0.5)(2,1.5)(3.5,3.)\rput(3.75,3){$A$}
    \rput(3.75,0.5){$\overline{A}$}
    \psline(3.5,-0.5)(2,-1.5)(3.5,-3.)\rput(3.75,-3){$\overline{A}$}
    \rput(3.75,-0.5){$A$}
    \end{pspicture} \]
}

\medskip

\item Déterminer, parmi les personnes ayant répondu au sondage, la proportion de celles qui sont réellement favorables au projet.

\end{enumerate}

\enex



\bgex %
\textbf{\ul{Thème\!:} suites récurrentes}
\medskip

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par:
    \[f(x)=\dfrac{3x-1}{x+1}\]
On considère la suite $\lp u_n\rp$ définie par $u_0=4$ et,
pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\lp u_n\rp$.

\bgen
\item Déterminer le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$.
    (Les limites aux bornes ne sont pas demandées)
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item
  \bgen[a)]
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
  on a: $1\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 4$.
\item En déduire que la suite $\lp u_n\rp$ est convergente.
\item On appelle $L$ la limite de la suite $\lp u_n\rp$.
  Déterminer la valeur de $L$.
  \enen

\item
  \bgen[a)]
\item Recopier et compléter la fonction Python ci-dessous qui,
  pour tout réel positif $E$, détermine la plus petite valeur $p$ tel que
  $|1-u_p|<E$.\\[1em]
  \[\fbox{\bgmp{6cm}
    \texttt{def Seuil(E):}\\
    \hspace*{1em}\texttt{u=4}\\
    \hspace*{1em}\texttt{n=0}\\
    \hspace*{1em}\texttt{while \ \dots}\\
    \hspace*{2em}\texttt{u= \ \dots }\\
    \hspace*{2em}\texttt{n=n+1}\\
    \hspace*{1em}\texttt{return n}
    \enmp}\]
\item Donner la valeur renvoyée par ce programme dans le cas où $E = 10^{-1}$. 
  \enen

\item On considère la suite $\lp v_n\rp$ définie,
  pour tout entier naturel $n$, par:
  \[v_n=\dfrac1{u_n-1}\]
  \bgen[a)]
\item Démontrer que la suite $\lp v_n\rp$ est arithmétique
  dont vous donnerez le premier terme et la raison.
\item En déduire, pour tout entier naturel $n$,
  l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer la limite de la suite $\lp v_n\rp$.
\item Puis retrouver par le calcul la limite de la suite $\lp u_n\rp$. 
  \enen
\enen
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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