Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques
Terminale générale, spécialité mathématiques
Devoir de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: intégrales
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- Type: Devoir
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- Description
- Devoir de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: intégrales
- Niveau
- Terminale générale, spécialité mathématiques
- Table des matières
- Calcul d'intégrales
- Interprétation graphique d'intégrales et suite d'intégrales
- Calcul d'un volume
- Mots clé
- intégrale, intégration, intégration par partie, aire sous une courbe, suite d'intégrale, limite, spécialité mathématiques, terminale générale
- Corrigé du devoir
- Voir aussi:
Documentation sur LaTeX- Source Latex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Generateur automatique de devoir, % % par Y. Morel % % https://xymaths.fr/Generateur-Devoirs/ % % % % Genere le: % % Wednesday 19 May 2021 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[12pt]{article} \usepackage[french]{babel} %\selectlanguage{francais} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{enumerate} \usepackage{array} \usepackage{pst-all} \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Yoann Morel}, pdfsubject={Devoir de mathématiques terminale générale, spécialité mathématiques: calcul intégrale}, pdftitle={Devoir de mathématiques}, pdfkeywords={intégrale, intégration, intégration par parties, devoir corrigé, Mathématiques, terminale générale, spécialité mathématiques} } \hypersetup{ colorlinks = true, linkcolor = blue, anchorcolor = red, citecolor = blue, filecolor = red, urlcolor = red } % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\ul}{\underline} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}{\overrightarrow} \newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}} \newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}} \newcommand{\ct}{\centerline} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} \def\C{{\rm C\kern-4.7pt \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} \def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} \newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}} \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{ \protect\vspace*{\fill}} \setlength{\columnsep}{30pt} % default=10pt \setlength{\columnseprule}{1pt} % default=0pt (no line) \setlength{\headsep}{0in} % default=0.35in \setlength{\parskip}{0ex} \setlength{\parindent}{0mm} \voffset=-1.8cm \textheight=25.6cm \textwidth=18.7cm \topmargin=0cm \headheight=-0.cm \footskip=1.cm \oddsidemargin=-1.2cm \usepackage{ifthen} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{.1pt} \lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}} \cfoot{} \rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}} \bgex Calculer les intégrales: $I_1=\dsp\int_{-2}^2 3x^5\,dx$, \ $I_2=\dsp\int_0^1 \dfrac{3}{(2x+1)^2}\,dx$ et, en utilisant une intégration par parties, $I_3=\dsp\int_0^1 (2x+1)e^{2x}\,dx$ \enex \bgex Les courbes C et C' donn\'ees ci-dessous repr\'esentent respectivement les fonctions $f$ et $g$ d\'efinies sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln x$ et $g(x)=\lp\ln x\rp^2$. \vspace{-.6em} \[\psset{xunit=3cm,yunit=1.2cm} \begin{pspicture*}(-1,-2.2)(4,3.2) \newcommand{\f}[1]{x ln} \newcommand{\fgg}[1]{x ln 2 exp} \pscustom{ \psplot{1}{2.718}{\f{x}} \gsave \psplot{2.718}{1}{\fgg{x}} \fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] %\fill[fillstyle=vlines] \grestore} \psline(-.2,0)(4,0) \psline(0,-3)(0,3) \multido{\i=1+1}{4}{\psline(\i,.1)(\i,-.1)\rput(\i,-.3){\i}} \multido{\i=-3+1}{7}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.1,\i){\i}} \psplot{.05}{4}{\f{x}} \psplot{.1}{4}{\fgg{x}} \end{pspicture*}\] \bgen \item On cherche \`a d\'eterminer l'aire A (en unit\'es d'aire) de la partie gris\'ee.\\ On note $I=\dsp\int_1^e\ln x\,dx$ et $J=\dsp\int_1^e\lp\ln x\rp^2\,dx$. \bgen[a)] \item V\'erifier que la fonction $F$ d\'efinie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $F(x)=x\ln x-x$ est une primitive de la fonction logarithme n\'ep\'erien. En d\'eduire $I$. \item D\'emontrer \`a l'aide d'une int\'egration par partie que $J=e-2I$. \item Donner la valeur de A. \enen \item Pour $x$ appartenant \`a l'intervalle $[1;e]$, on note $M$ le point de la courbe C d'abscisse $x$ et $N$ le point de la courbe C' de m\^eme abscisse. \\ Pour quelle valeur de $x$ la distance MN est-elle maxiale ? Calculer la valeur maximale de MN. \enen \enex \bgex Pour tout entier naturel $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a 1, on d\'esigne par $f_{n}$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par: \[f_{n}(x) = x^ne^{- x}\] On note $\mathcal{C}_{n}$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere orthogonal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$ du plan. \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip Sur le graphique ci-dessous, on a repr\'esent\'e une courbe $\mathcal{C}_{k}$ o\`u $k$ est un entier naturel non nul, sa tangente $T_{k}$ au point d'abscisse 1 et la courbe $\mathcal{C}_{3}$· \medskip La droite $T_{k}$ coupe l'axe des abscisses au point A de coordonn\'ees $\left(\dfrac{4}{5}~;~0\right)$. \medskip \[\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.2cm} \begin{pspicture}(-1,-1.7)(5,2.5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-1,-1.5)(5,2.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \uput[u](5,0){$x$}\uput[r](0,2.5){$y$} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vec{i}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{j}$} \uput[d](0.8,0){A} \psplot[plotpoints=400,linewidth=1.25pt]{-0.9}{5}{x 3 exp 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=400,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-0.99}{1.5}{x 6 exp 2.71828 x exp div} \uput[l](1.35,1.6){\blue $\mathcal{C}_{k}$}\uput[r](-0.8,-1.3){$\mathcal{C}_{3}$} \psplot[plotpoints=800,linewidth=1.pt]{-0.15}{2.2}{x 1.84 mul 1.4715 sub} \uput[r](2,2.15){$T_{k}$} \end{pspicture}\] \bgen \item \bgen[a)] %\item D\'eterminer les limites de la fonction $f_1$ en $-\infty$ et en $+\infty$. \item Étudier les variations de la fonction $f_1$ et dresser le tableau de variations de $f_1$. \item \`A l'aide du graphique, justifier que $k$ est un entier sup\'erieur ou \'egal \`a 2. \enen \item \bgen[a)] \item D\'emontrer que pour $n\geqslant1$, toutes les courbes $\mathcal{C}_n$ passent par le point O et un autre point dont on donnera les coordonn\'ees. \item V\'erifier que pour tout entier naturel $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a 2, et pour tout r\'eel $x$, \[f'_{n}(x) = x^{n-1} (n - x)e^{- x}.\] \enen \item Sur le graphique, la fonction $f_3$ semble admettre un maximum atteint pour $x=3$. Valider cette conjecture \`a l'aide d'une d\'emonstration. \item \bgen[a)] \item D\'emontrer que la droite $T_k$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonn\'ees $\left(\dfrac{k-2}{k-1}~;~0\right)$. \item En d\'eduire, \`a l'aide des donn\'ees de l'\'enonc\'e, la valeur de l'entier $k$. \enen \enen \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip On d\'esigne par $\lp I_n\rp$ la suite d\'efinie pour tout entier $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a 1 par \[I_n=\int_0^1 x^n e^{-x}\,dx\] \bgen \item Calculer $I_1$. \item Sur le graphique ci-dessous, on a repr\'esent\'e les portions des courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{C}_3$, $\mathcal{C}_{10}$, $\mathcal{C}_{20}$, $\mathcal{C}_{30}$ comprises dans la bande d\'efinie par $0\leqslant x\leqslant1$. \[\psset{xunit=9cm,yunit=7cm} \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.1,0.6) %\psgrid[subgriddiv=10] \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(1.1,0.6) \uput[d](1.1,0){$x$}\uput[l](0,0.6){$y$}\uput[dl](0,0){O} %\multido{\n=1+1}{3}{\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x \n exp 2.71828 x exp div}} \psplot[plotpoints=800,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=800,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 2 exp 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=800,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 3 exp 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=800,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 10 exp 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=800,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 20 exp 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=800,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 30 exp 2.71828 x exp div} \uput[l](0.2,0.17){$\mathcal{C}_{1}$} \uput[l](0.5,0.17){$\mathcal{C}_{2}$} \uput[l](0.7,0.18){$\mathcal{C}_{3}$} \uput[l](0.92,0.17){$\mathcal{C}_{10}$} \uput[l](0.93,0.08){$\mathcal{C}_{20}$} \uput[r](0.92,0.03){$\mathcal{C}_{30}$} \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.368) \end{pspicture}\] \bgen[a)] \item Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\lp I_n\rp$ en d\'ecrivant sa d\'emarche. \item D\'emontrer cette conjecture. \item En d\'eduire que la suite $\lp I_n\rp$ est convergente. \item D\'eterminer $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp I_n\rp$. \enen \enen \enex \label{LastPage} \end{document}
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