Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques

Terminale générale, spécialité mathématiques

Devoir de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: intégrales
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Type: Devoir
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Description
Devoir de mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale: intégrales
Niveau
Terminale générale, spécialité mathématiques
Table des matières
  • Calcul d'intégrales
  • Interprétation graphique d'intégrales et suite d'intégrales
  • Calcul d'un volume
Mots clé
intégrale, intégration, intégration par partie, aire sous une courbe, suite d'intégrale, limite, spécialité mathématiques, terminale générale

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    %                                                 %
    %   Generateur automatique de devoir,             %
    %   par Y. Morel                                  %
    %   https://xymaths.fr/Generateur-Devoirs/    %
    %                                                 %
    %      Genere le:                                 %
    %   Wednesday 19 May 2021                         %
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    
    \documentclass[12pt]{article}
    
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    \hypersetup{
        pdfauthor={Yoann Morel},
        pdfsubject={Devoir de mathématiques terminale générale, spécialité mathématiques: calcul intégrale},
        pdftitle={Devoir de mathématiques},
        pdfkeywords={intégrale, intégration, intégration par parties, devoir corrigé, Mathématiques, terminale générale, spécialité mathématiques}
    }
    \hypersetup{
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        linkcolor = blue,
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        citecolor = blue,
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    % Raccourcis diverses:
    \newcommand{\nwc}{\newcommand}
    \nwc{\dsp}{\displaystyle}
    \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
    \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
    \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
    \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
    
    \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
    \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
    \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
    
    \nwc{\ul}{\underline}
    \nwc{\tm}{\times}
    \nwc{\V}{\overrightarrow}
    \newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
    \newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
    \newcommand{\ct}{\centerline}
    
    \nwc{\bgsk}{\bigskip}
    \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
    \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
    \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
    \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
    
    \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
    \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
    \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
    \def\C{{\rm C\kern-4.7pt
    \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
    \def\Q{\mathbb{Q}}
    \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
    \def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
    
    \newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
    \newenvironment{EX}{%
    \stepcounter{nex}
    \bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
    }{}
    \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
    
    \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
    \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
    \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
    \newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
    	\protect\vspace*{\fill}}
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    \pagestyle{fancyplain}
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    \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
    \renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
    \lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
    \cfoot{}
    \rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \begin{document}
    
    \ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
    
    \bgex
    Calculer les intégrales: 
    $I_1=\dsp\int_{-2}^2 3x^5\,dx$, \ 
    $I_2=\dsp\int_0^1 \dfrac{3}{(2x+1)^2}\,dx$ 
    
    et, en utilisant une intégration par parties, 
    $I_3=\dsp\int_0^1 (2x+1)e^{2x}\,dx$
    \enex
    
    \bgex
    Les courbes C et C' donn\'ees ci-dessous repr\'esentent respectivement les fonctions $f$ et $g$ d\'efinies sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln x$ et $g(x)=\lp\ln x\rp^2$. 
    \vspace{-.6em}
    \[\psset{xunit=3cm,yunit=1.2cm}
    \begin{pspicture*}(-1,-2.2)(4,3.2)
    \newcommand{\f}[1]{x ln}
    \newcommand{\fgg}[1]{x ln 2 exp}
    \pscustom{
      \psplot{1}{2.718}{\f{x}} \gsave
      \psplot{2.718}{1}{\fgg{x}} 
      \fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
      %\fill[fillstyle=vlines]
      \grestore}
    \psline(-.2,0)(4,0)
    \psline(0,-3)(0,3)
    \multido{\i=1+1}{4}{\psline(\i,.1)(\i,-.1)\rput(\i,-.3){\i}}
    \multido{\i=-3+1}{7}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.1,\i){\i}}
    \psplot{.05}{4}{\f{x}}
    \psplot{.1}{4}{\fgg{x}}
    \end{pspicture*}\]
    
    \bgen
    \item On cherche \`a d\'eterminer l'aire A (en unit\'es d'aire) de la partie gris\'ee.\\
      On note $I=\dsp\int_1^e\ln x\,dx$ et $J=\dsp\int_1^e\lp\ln x\rp^2\,dx$. 
      \bgen[a)]
      \item V\'erifier que la fonction $F$ d\'efinie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par 
        $F(x)=x\ln x-x$ est une primitive de la fonction logarithme n\'ep\'erien. 
        En d\'eduire $I$. 
      \item D\'emontrer \`a l'aide d'une int\'egration par partie que $J=e-2I$. 
      \item Donner la valeur de A. 
      \enen
    \item Pour $x$ appartenant \`a l'intervalle $[1;e]$, on note $M$ le point de la courbe C d'abscisse $x$ et $N$ le point de la courbe C' de m\^eme abscisse. \\
      Pour quelle valeur de $x$ la distance MN est-elle maxiale ? 
      Calculer la valeur maximale de MN. 
    \enen
    
    \enex
    
    
    \bgex
    Pour tout entier naturel $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a 1, on d\'esigne par $f_{n}$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par:
    \[f_{n}(x) = x^ne^{- x}\]
    On note $\mathcal{C}_{n}$  sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere orthogonal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$ du plan.
    
    \medskip
    
    \textbf{PARTIE A}
    
    \medskip
    
    Sur le graphique ci-dessous, on a repr\'esent\'e une courbe $\mathcal{C}_{k}$ o\`u $k$ est un entier naturel non nul, sa tangente $T_{k}$ au point d'abscisse 1 et la courbe $\mathcal{C}_{3}$·
    
    \medskip
    
    La droite $T_{k}$ coupe l'axe des abscisses au point A de coordonn\'ees $\left(\dfrac{4}{5}~;~0\right)$.
    
    \medskip
    
    \[\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.2cm}
    \begin{pspicture}(-1,-1.7)(5,2.5)
    \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-1,-1.5)(5,2.5)
    \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
    \uput[u](5,0){$x$}\uput[r](0,2.5){$y$}
    \uput[dl](0,0){O}
    \uput[d](0.5,0){$\vec{i}$}
    \uput[l](0,0.5){$\vec{j}$}
    \uput[d](0.8,0){A}
    \psplot[plotpoints=400,linewidth=1.25pt]{-0.9}{5}{x 3 exp  2.71828 x exp div}
    \psplot[plotpoints=400,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-0.99}{1.5}{x 6 exp  2.71828 x exp div}
    \uput[l](1.35,1.6){\blue $\mathcal{C}_{k}$}\uput[r](-0.8,-1.3){$\mathcal{C}_{3}$}
    \psplot[plotpoints=800,linewidth=1.pt]{-0.15}{2.2}{x 1.84 mul 1.4715 sub}
    \uput[r](2,2.15){$T_{k}$}
    \end{pspicture}\]
    
    \bgen
    \item
      \bgen[a)]
      %\item D\'eterminer les limites de la fonction $f_1$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
      \item Étudier les variations de la fonction $f_1$ et dresser le tableau de variations de $f_1$.
      \item \`A l'aide du graphique, justifier que $k$ est un entier sup\'erieur ou \'egal \`a 2.
      \enen
    \item
      \bgen[a)]
      \item D\'emontrer que pour $n\geqslant1$, toutes les courbes $\mathcal{C}_n$ 
        passent par le point O et un autre point dont on donnera les coordonn\'ees.
      \item V\'erifier que pour tout entier naturel $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a 2, et pour tout r\'eel $x$,
        \[f'_{n}(x) = x^{n-1} (n - x)e^{- x}.\]
    
      \enen
    \item Sur le graphique, la fonction $f_3$ semble admettre un maximum atteint 
      pour $x=3$.
    
      Valider cette conjecture \`a l'aide d'une d\'emonstration.
    \item
      \bgen[a)]
      \item D\'emontrer que la droite $T_k$ coupe l'axe des abscisses au point 
        de coordonn\'ees $\left(\dfrac{k-2}{k-1}~;~0\right)$.
      \item En d\'eduire, \`a l'aide des donn\'ees de l'\'enonc\'e, la valeur de l'entier $k$.
      \enen
    \enen
    
    \bigskip
    
    \textbf{PARTIE B}
    
    \medskip
    
    On d\'esigne par $\lp I_n\rp$ la suite d\'efinie pour tout entier $n$ sup\'erieur 
    ou \'egal \`a 1 par
    \[I_n=\int_0^1 x^n e^{-x}\,dx\]
    
    \bgen
    \item Calculer $I_1$.
    \item Sur le graphique ci-dessous, on a repr\'esent\'e les portions des courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{C}_3$, $\mathcal{C}_{10}$, 
    $\mathcal{C}_{20}$, $\mathcal{C}_{30}$ comprises dans la bande d\'efinie par 
    $0\leqslant x\leqslant1$.
    \[\psset{xunit=9cm,yunit=7cm}
    \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.1,0.6)
    %\psgrid[subgriddiv=10]
    \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(1.1,0.6)
    \uput[d](1.1,0){$x$}\uput[l](0,0.6){$y$}\uput[dl](0,0){O}
    %\multido{\n=1+1}{3}{\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x \n exp 2.71828 x exp div}}
    \psplot[plotpoints=800,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x  2.71828 x exp div}
    \psplot[plotpoints=800,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 2 exp 2.71828 x exp div}
    \psplot[plotpoints=800,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 3 exp 2.71828 x exp div}
    \psplot[plotpoints=800,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 10 exp 2.71828 x exp div}
    \psplot[plotpoints=800,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 20 exp 2.71828 x exp div}
    \psplot[plotpoints=800,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 30 exp 2.71828 x exp div}
    \uput[l](0.2,0.17){$\mathcal{C}_{1}$}
    \uput[l](0.5,0.17){$\mathcal{C}_{2}$}
    \uput[l](0.7,0.18){$\mathcal{C}_{3}$}
    \uput[l](0.92,0.17){$\mathcal{C}_{10}$}
    \uput[l](0.93,0.08){$\mathcal{C}_{20}$}
    \uput[r](0.92,0.03){$\mathcal{C}_{30}$}
    \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.368)
    \end{pspicture}\]
    
    \bgen[a)]
    \item Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\lp I_n\rp$ 
      en d\'ecrivant sa d\'emarche.
    \item D\'emontrer cette conjecture.
    \item En d\'eduire que la suite $\lp I_n\rp$ est convergente.
    \item D\'eterminer $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp I_n\rp$.
    \enen
    \enen
    
    \enex
    
    \label{LastPage}
    \end{document}
    

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