Vrai ou faux dans l'espace

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal, on considère les points

et le plan $\mathcal{P}$ d'équation

.
Pour chacune des affirmations suivantes, dire, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

Affirmation 1: La droite est incluse dans le plan $\mathcal{P}$ .
Affirmation 2: Les droites et sont orthogonales.
Affirmation 3: La droite a pour représentation paramétrique $\la\begin{array}{l}x=1+2t\\y=-\dfrac{1}{2}+3t\\z=1-4t\enar\right.\,, t\in\R$
Affirmation 4: La droite passant par le point et de vecteur directeur $\vec{u}(1;-1;1)$ est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$ .

Correction

Affirmation 1.
Les points et appartiennent au plan $\mathcal{P}$ car pour le point : $2-2\times 1+(-1)+1=2-2-1+1=0$ , et pour le point : $0-2\times 2+3+1=-4+3+1=0$ .
Par conséquent la droite est incluse dans le plan $\mathcal{P}$ : l'affirmation 1 est vraie.
Affirmation 2.
$\overrightarrow{AB}(-3;1;5)$ et $\overrightarrow{CD}(1;3;-5)$ , et donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=-3+3-25=-25\neq 0$ .
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas orthogonaux et par conséquent les droites et ne sont pas orthogonales non plus.
L'affirmation 2 est donc fausse.
Affirmation 3.
La représentation paramétrique $\la\begin{array}{l}x=1+2t\\y=-\dfrac{1}{2}+3t \\z=1-4t\enar\right.\, t\in\R$ est celle d'une droite .
On cherche si les points et appartiennent à cette droite, ce qui signifierait exactement que .
On cherche une valeur de telle que $\begin{cases} 2=1+2t\\1=-\dfrac{1}{2}+3t\\-1=1-4t\end{cases}$ La solution de ce système est $\dfrac{1}{2}$ . Donc le point appartient à la droite .
On cherche une valeur de telle que $\begin{cases} 0=1+2t\\-2=-\dfrac{1}{2}+3t\\3=1-4t\end{cases}$
La solution de ce système est $-\dfrac{1}{2}$ . Donc le point appartient à la droite . Les deux points et appartiennent à la droite . L'affirmation 3 est donc vraie.
Affirmation 4.
Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\vec{n}(1;-2;1)$ .
Les vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{u}(1;-1;1)$ ne sont pas colinéaires.

L'affirmation 4 est fausse.

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Tag:Géométrie dans l'espace

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