Variations et courbe d'une fonction avec une exponentielle, convexité

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(1+x)e^x$.
  1. Étudier les variations de $f$.
  2. Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$.
  3. Étudier la convexité de $f$ et préciser les éventuels points d'inflexion.

Correction
  1. On a un produit $f=uv$ avec $u(x)=1+x$ donc $u'(x)=1$, et $v(x)=e^x$ donc $v'(x)=e^x$.
    Ainsi, $f'=u'v+uv'$, soit $f'(x)=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x$.
    Le sens de variation est alors donné par le signe de la dérivée.
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$&$-\infty$&&$-2$&&$+\infty$\\\hline $2+x$&&$-$&\zb&$+$&\\\hline $e^{x}$&&$+$&$|$&$+$&\\\hline $f'(x)$&&$+$&\zb&$-$&\\\hline &&&&&\\ $F$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&$-e^{-2}$&&\\\hline \end{tabular}\]


  2. \[\psset{xunit=1cm,yunit=2cm,arrowsize=8pt}\begin{pspicture*}(-5,-1)(5,3) \psline{->}(-5,0)(5,0) \psline{->}(0,-1)(0,3) \psplot{-5}{5}{1 x add 2.718 x exp mul} \psline(-2,-.05)(-2,.05)\rput(-2,.1){$-2$} \psline(-.1,1)(.1,1)\rput[r](-.2,1){$1$} \end{pspicture*}\]

  3. La convexité est donnée par le signe de la dérivée seconde. On dérive donc $f'$.
    On a $f et donc
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$&$-\infty$&&$-3$&&$+\infty$\\\hline $3+x$&&$-$&\zb&$+$&\\\hline $e^{x}$&&$+$&$|$&$+$&\\\hline $f

    Ainsi, $f$ est concave sur $]-\infty;-3]$, tandis qu'elle est convexe sur $[-3;+\infty[$.
    Enfin, le point d'abscisse $-3$ est le seul point d'inflexion de la courbe de $f$.


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