Test d'un graphologue

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Un graphologue prétend être capable de déterminer le sexe d'une personne d'après son écriture dans 90% des cas.
Personnellement, j'en doute. Pour préciser mon idée, je lui soumet 20 exemples d'écriture.
Je suis prêt à reconnaître sa compétence s'il réussit au moins 90% des identifications du sexe, soit au moins 18 sur les 20.
  1. Quelle est la probabilité que je reconnaisse la compétence du graphologue alors qu’il s'est prononcé 20 fois complètement au hasard ?
  2. Quelle est la probabilité que je rejette l'affirmation du graphologue alors qu’elle est totalement fondée ? Quel inconvénient présente ce test ?

Correction
  1. Supposons que le graphologue réponde complètement au hasard et indépendanmment pour chacune des 20 écritures. La probabilité de bonne réponse du graphologue, c'est-à-dire d'une bonne identification de sexe de la personne, est $p=1/2$.
    En notant $X$ la varaible aléatoire égale au nombre de bonnes réponses du graphologue sur les 20 identifications, on a donc que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=1/2$.
    Je reconnais alors sa compétence avec une probabilité de $P\left( X\geqslant18\rp$.
    Avec la calculatrice, on peut soit calculer $P\left( X\geqslant18\rp=P\left( X=18\rp+P\left( X=19\rp+P\left( X=20\rp\simeq2.10^{-4}$, soit $P\left( X\geqslant18\rp=1-P\left( X\leqslant17\rp\simeq1-0,9998\simeq2.10^{-4}$.
    Avec ce test, la probabilité que je reconnaisse la compétence de quelqu'un qui répond au hasard est très faible.
  2. Si le graphologue a bien la compétence qu'il annonce, il identifie correctement le sexe avec une probabilité $p=0,9$.
    En notant cette fois $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de bonnes identifications, $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,9$ et la probabilité que je rejette son affirmation est $P\left( Y\leqslant17\rp\simeq0,32$.
    Il y a donc environ une chance sur trois (environ 33%) pour que je me trompe !


    Avec ce test j'ai très peu de chance de me tromper face à un charlatant. Par contre, j'ai beaucoup de chances de considérer comme charlatant un graphologue qui sait réellement reconnaître le sexe d'une personne d'après son écriture (et qui sait se tromper dans quelques 10% des cas).


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