suite récurrente bornée

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Soit $(u_n)$ la suite défnie par $u_0=1$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$.
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  2. Démontrer que, pour tout entier $n$, $0<u_n<2$.
  3. Peut-on en déduire que la suite est convergente ?

Correction
  1. $u_1=\sqrt{2+u_0}=\sqrt{3}$ et $u_2=\sqrt{2+u_1}=\sqrt{2+\sqrt3}$
  2. On peut démontrer cette propriété par récurrence.
    Initialisation: La propriété est vraie pour $n=0$ car $0<u_0=1<2$.

    Hérédité: Supposons que la propriété soit vraie à un certain rang $n$, c'est-à-dire que $0<u_n<2$ alors, au rang suivant, on a
    \[\begin{array}{cccccc}&2&<&2+u_n&<&4\\ \iff& \sqrt2&<&\sqrt{2+u_n}&<&\sqrt4\\ \iff& 0<\sqrt2&<&u_{n+1}&<&2\enar\]

    ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang $n+1$ suivant.

    Conclusion: D'après le principe de récurrence, la propriété $0<u_n<2$ est donc vraie pour tout entier $n$.
  3. on vient de démontrer que la suite $(u_n)$ est bornée.
    On ne peut pas en déduire pour autant qu'elle converge, il faudrait, pour utiliser le résultat précédent, aussi connître son sens de variation (cf. théorème de convergence monotone).


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